7 数上 练难点
1 简化有理数的计算
类型 1 归类 —— 同号相加，同分母相加
1. 计算： −16 − (−21) + (−12) − 35 − (−3) .
解： −16 − (−21) + (−12) − 35 − (−3) = −16 + 21 − 12 − 35 + 3 = −(16 + 12 + 35) + (21
+ 3) = −39 .
2. 计算： (−
3
2 ) + (−
5
12 ) +
5
2 + (−
7
12 ) .
解：原式 = [(−
3
2 ) +
5
2 ] + [(−
5
12 ) + (−
7
12 )] = 1 + (−1) = 0 .
类型 2 凑整 —— 将和（积）为整数的数相结合
3. 计算： 2
1
2 − 0.6 + 2 − 2.5 + 10 − 1
2
5 .
解：原式 = [2
1
2 + (−2.5)] + [(−0.6) + (−1
2
5 ) + 2] + 10 = 0 + 0 + 10 = 10 .
4. 计算： (−1.25) ×
5
7 × (−4) × (−
7
5 ) .
解：原式 = [(−1.25) × (−4)] × [
5
7 × (−
7
5 )] = 5 × (−1) = −5 .
类型 3 变序 —— 方便约分和计算
5. 计算 : 45 × (−25) ×
7
8 × (−
11
15 ) ÷
1
4 × (−1
1
7 ) .
解：原式 = −(45 ×
11
15 ) × (25 × 4) × (
7
8 ×
8
7 ) = −33 × 100 × 1 = −3300 .
6. 计算： 4 × (−3
6
7 ) − 3 × (−3
6
7 ) − 6 × 3
6
7 .
解：原式 = −
27
7 × (4 − 3 + 6) = −
27
7 × 7 = −27 .
类型 4 组合 —— 找出规律，重新组合，然后通过约分或抵消简化计算
7. 计算： 1 − 3 × 2 + 5 + 7 − 9 × 2 + 11 + 13 − 15 × 2 + 17 + ⋯ + 2011 − 2013 × 2 + 2015
+ 2017 .
解：原式 = (1 − 3 × 2 + 5) + (7 − 9 × 2 + 11) + (13 − 15 × 2 + 17) + ⋯ + (2011 − 2013 × 2
+ 2015) + 2017 = 2017 .
8. 计算： (−
1
2 ×
3
2 ) × (−
2
3 ×
4
3 ) × (−
3
4 ×
5
4 ) × ⋯ × (−
2021
2022 ×
2023
2022 ) .
解：原式 = −
1
2 × (
3
2 ×
2
3 ) × (
4
3 ×
3
4 ) × (
5
4 ×
4
5 ) × ⋯ × (
2022
2021 ×
2021
2022 ) ×
2023
2022
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7 数上 练难点
= −
1
2 × 1 × 1 × 1 × ⋯ × 1 ×
2023
2022 = −
2023
4044 .
类型 5 拆分 —— 将带分数拆分
9. 用简便方法计算：
（ 1 ） (−2024
5
6 ) + 4046
2
3 + (−2025
2
3 ) + 1
5
6 .
解： (−2024
5
6 ) + 4046
2
3 + (−2025
2
3 ) + 1
5
6
= [(−2024) + (− 5
6 )] + (4046 + 2
3 ) + [(−2025) + (− 2
3 )] + (1 + 5
6 )
= [(−2024) + 4046 + (−2025) + 1] + [(− 5
6 ) + 2
3 + (− 2
3 ) + 5
6 ]
= −2 + 0 = −2.
（ 2 ） (−199
37
38 ) × 76 .
解： (−199
37
38 ) × 76 = (−200 +
1
38 ) × 76 = −200 × 76 +
1
38 × 76 = −15200 + 2 = −15198 .
类型 6 裂项 —— 拆项相消
10. 阅读下面的解答过程 .
计算：
1
1×2 +
1
2×3 +
1
3×4 + ⋯ +
1
9×10 .
解：因为
1
1×2 = 1 −
1
2 ，
1
2×3 =
1
2 −
1
3 ，
1
3×4 =
1
3 −
1
4 ， ⋯ ，
1
9×10 =
1
9 −
1
10 ，
所以原式 = (1 −
1
2 ) + (
1
2 −
1
3 ) + (
1
3 −
1
4 ) + ⋯ + (
1
9 −
1
10 )
= 1 + (− 1
2 + 1
2 ) + (− 1
3 + 1
3 ) + ⋯ + (− 1
9 + 1
9 ) − 1
10
= 1 − 1
10
= 9
10
根据以上解题方法计算：
（ 1 ）
1
𝑛(𝑛+1) = ________ （ 𝑚? 为正整数）；
答案：
1
𝑛 −
1
𝑛+1
（ 2 ） 1 −
1
2 −
1
6 −
1
12 −
1
20 −
1
30 −
1
42 ；
解： 1 −
1
2 −
1
6 −
1
12 −
1
20 −
1
30 −
1
42 = 1 −
1
1×2 −
1
2×3 −
1
3×4 −
1
4×5 −
1
5×6 −
1
6×7
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7 数上 练难点
= 1 − 1 +
1
2 −
1
2 +
1
3 − ⋯ −
1
6 +
1
7 =
1
7 .
（ 3 ）
1
2×4 +
1
4×6 +
1
6×8 + ⋯ +
1
2018×2020 .
解：原式 =
1
4 × (1 −
1
2 +
1
2 −
1
3 +
1
3 −
1
4 + ⋯ +
1
1009 −
1
1010 ) =
1
4 × (1 −
1
1010 ) =
1
4 ×
1009
1010 =
1009
4040 .
类型 7 换位 —— 将被除数与除数颠倒位置
11. 阅读下列材料，回答问题 .
计算： 50 ÷ (
1
3 −
1
4 +
1
12 ) .
解法 1 ：原式 = 50 ÷
1
3 − 50 ÷
1
4 + 50 ÷
1
12 = 50 × 3 − 50 × 4 + 50 × 12 . 该解法对吗？
答： _______________________________________________________ .
解法 2 ：先计算原式的倒数， (
1
3 −
1
4 +
1
12 ) ÷ 50 =
1
3 ×
1
50 −
1
4 ×
1
50 +
1
12 ×
1
50 =
1
300 ，故原式 = 300 .
解：因为除法没有分配律，所以解法 1 不对 . 故答案为不对 .
（ 1 ）请你用解法 2 的方法计算： (−
1
30 ) ÷ (
2
3 −
1
10 +
1
6 −
2
5 ) ；
解：先计算原式的倒数，
(
2
3 −
1
10 +
1
6 −
2
5 ) ÷ (−
1
30 ) =
2
3 × (−30) −
1
10 × (−30) +
1
6 × (−30) −
2
5 × (−30) = −20 − (−3) +
(−5) − (−12) = −20 + 3 − 5 + 12 = −10 ，故原式 = −
1
10 .
（ 2 ）计算： (1
3
4 −
7
8 −
7
12 ) ÷ (−
7
8 ) + (−
7
8 ) ÷ (1
3
4 −
7
8 −
7
12 )
解： (1
3
4 −
7
8 −
7
12 ) ÷ (−
7
8 ) =
7
4 × (−
8
7 ) −
7
8 × (−
8
7 ) −
7
12 × (−
8
7 ) = −2 − (−1) − (−
2
3 ) = −2 + 1
+
2
3 = −
1
3 ，所以 (−
7
8 ) ÷ (1
3
4 −
7
8 −
7
12 ) = −3 ，所以原式 = −
1
3 + (−3) = −
10
3
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7 数上 练难点
2 规律探索
类型 1 递推型规律探索
1. 一只小球落在数轴上的某点 𝑀? 0 = 𝑎 处，第一次从 𝑀? 0 处向右跳 1 个单位到 𝑀? 1 处，第二次从 𝑀? 1 处
向左跳 2 个单位到 𝑀? 2 处，第三次从 𝑀? 2 处向右跳 3 个单位到 𝑀? 3 处，第四次从 𝑀? 3 处向左跳 4 个单位
到 𝑀? 4 处， ⋯ . 若小球按以上规律跳了 (2𝑚? + 3) 次，
则它落在数轴上的点 𝑀? 2𝑛+3 处所表示的数是 ( )
A. 𝑎 + 𝑚? B. 𝑎 + 𝑚? + 2 C. 𝑎 + 𝑚? − 1 D. 𝑎 + 𝑚? + 3
解析： 因为点 𝑀? 0 所表示的数是 𝑎 ，所以点 𝑀? 1 所表示的数是 𝑎 + 1 ，点 𝑀? 2 所表示的数是 𝑎 + 1 − 2
= 𝑎 − 1 ，点 𝑀? 3 所表示的数是 𝑎 − 1 + 3 = 𝑎 + 2 ，点 𝑀? 4 所表示的数是 𝑎 + 2 − 4 = 𝑎 − 2 ，点 𝑀? 5 所
表示的数是 𝑎 − 2 + 5 = 𝑎 + 3 ，点 𝑀? 6 所表示的数是 𝑎 + 3 − 6 = 𝑎 − 3 ， ⋯ ，由上可得，当 𝑚? 为奇
数时，点 𝑀? 𝑛 表示的数为 𝑎 +
𝑛+1
2 ; 当 𝑚? 为偶数时，点 𝑀? 𝑛 表示的数为 𝑎 −
𝑛
2 (𝑚? ≥ 1) . 因为 2𝑚? + 3 是奇
数，所以 𝑀? 2𝑛+3 表示的数为 𝑎 +
2𝑛+4
2
= 𝑎 + 𝑚? + 2 . 故选 B.
2. 有一组正整数： 𝑎 1 , 𝑎 2 , ⋯ , 𝑎 2024 , 𝑎 2025 ，从 𝑎 3 开始，满足 𝑎 3 = |𝑎 1 − 2𝑎 2 | ， 𝑎 4 = |𝑎 2 − 2𝑎 3 | ，
𝑎 5 = |𝑎 3 − 2𝑎 4 | ， ⋯ ， 𝑎 2025 = |𝑎 2023 − 2𝑎 2024 | ，当 𝑎 1 = 𝑚 ， 𝑎 2 = 1(𝑚 ≥ 3 ， 𝑚 为整数 ) 时，
𝑎 2025 = ________________ .
解析： 当 𝑎 1 = 𝑚 ， 𝑎 2 = 1(𝑚 ≥ 3 ， 𝑚 为整数 ) 时， 𝑎 3 = 𝑚 − 2 ， 𝑎 4 = 2𝑚 − 5 ， 𝑎 5 = 3𝑚 − 8 ，
𝑎 6 = 4𝑚 − 11 ， ⋯ ， 𝑎 𝑛 = (𝑚? − 2)𝑚 − 3𝑚? + 7 ，所以 𝑎 2025 = (2025 − 2)𝑚 − 3 × 2025 + 7 =
2023𝑚 − 6068 ，故答案为 2023𝑚 − 6068.
3. 观察下列单项式： −𝑥 ， 3𝑥 2 ， −5𝑥 3 ， 7𝑥 4 ， ⋯ ， −37𝑥 19 ， 39𝑥 20 ， ⋯ ，写出第 𝑚? 个单项式，为
了解这个问题，特提供下面的解题思路 .
（ 1 ）这组单项式的系数依次为多少？系数的绝对值的规律是什么？
解：这组单项式的系数依次为 −1 ， 3 ， −5 ， 7 ， ⋯ ， −37 ， 39 ， ⋯ ，
系数的绝对值的规律是从 1 开始的连续的奇数 .
（ 2 ）这组单项式的次数的规律是什么？
解：这组单项式的次数依次为 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， ⋯ ， 19 ， 20 ， ⋯ ，
所以这组单项式的次数的规律是从 1 开始的连续的整数 .
（ 3 ）根据上面的归纳，你可以猜想出第 𝑚? 个单项式是什么吗？
解：根据上面的归纳，猜想出第 𝑚? 个单项式是 (−1) 𝑛 ⋅ (2𝑚? − 1)𝑥 𝑛 .
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7 数上 练难点
（ 4 ）请你根据猜想，写出第 2024 个和第 2025 个单项式 .
解：当 𝑚? = 2024 时，这个单项式是 (−1) 2024 ⋅ (2 × 2024 − 1)𝑥 2024 = 4047𝑥 2024 ；
当 𝑚? = 2025 时，这个单项式是 (−1) 2025 ⋅ (2 × 2025 − 1)𝑥 2025 = −4049𝑥 2025 .
类型 2 累加型规律探索
4. 观察下列图形，第 1 个图形中有 7 个空心点，第 2 个图形中有 11 个空心点，第 3 个图形中
有 15 个空心点， ⋯ ，按此规律排列下去，第 𝑚? 个图形中有 ______ 个空心点（用含 𝑚? 的式子表示） .
解析： 因为第 1 个图形中空心点的个数为 7 = 3 + 4 = 3 + 4 × 1 ，第 2 个图形中空
心点的个数为 11 = 3 + 4 + 4 = 3 + 4 × 2 ，第 3 个图形中空心点的个数为
15 = 3 + 4 + 4 + 4 = 3 + 4 × 3 ， ⋯ , 所以第 𝑚? 个图形中空心点的个数为 4𝑚? + 3 .
5. 将正方形 𝐴𝐴?𝐴?𝐴? （如图（ 1 ））作如下划分：第 1 次划分：分别连接正方形 𝐴𝐴?𝐴?𝐴? 对边的中点
（如图（ 2 ）），得线段 𝐴?𝐴? 和 𝐴?𝐴? ，它们交于点 𝑀 ，此时图（ 2 ）中
共有 5 个正方形；第 2 次划分：将图（ 2 ）左上角正方形 𝐴𝐴?𝑀𝐴? 再划分，得图（ 3 ），则图（ 3 ）
中共有 9 个正方形 .
（ 1 ）若把左上角的正方形依次划分下去，则第 100 次划分后，图中共有 _____ 个正方形 .
解： 因为第 1 次划分可得 5 个正方形，第 2 次划分可得 9 个正方形，第 3 次划分可得 13 个正
方形， ⋯ ，所以第 𝑚? 次划分可得 (4𝑚? + 1) 个正方形，所以第 100 次划分后，图中共有 4 × 100 + 1
= 401 （个）正方形 . 故答案为 401.
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7 数上 练难点
（ 2 ）继续划分下去，第 𝑚? 次划分后图中共有 _________ 个正方形 .
解析： 由（ 1 ）得第 𝑚? 次划分后，图中共有 (4𝑚? + 1) 个正方形 . 故答案为 (4𝑚? + 1) .
（ 3 ）能否将正方形 𝐴𝐴?𝐴?𝐴? 划分成有 2020 个正方形的图形？如果能，请算出是第几次划分；如
果不能，需说明理由．
解：不能 . 理由：令 4𝑚? + 1 = 2020 ，所以 𝑚? = 504.75 . 因为 𝑚? 不是整数，所以不能将正方形 𝐴𝐴?𝐴?𝐴?
划分成有 2020 个正方形的图形 .
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