方法指导

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专项 1 一元二次方程的解法归纳

类型 1 直接开平方法

形如 𝑥 ² = 𝑝(𝑝 ≥ 0) 或 (𝑚𝑥 + 𝑛) ² = 𝑝(𝑝 ≥ 0) 的方程 ， 用直接开平方法求解 .

1. 解下列方程：

（ 1 ） (𝑥 − 2) ² = 3 ；

解：两边直接开平方 , 得 𝒙 − 𝟐 = ±√𝟑 ,

所以 𝒙 − 𝟐 = √𝟑 或 𝒙 − 𝟐 = −√𝟑 ,

所以 𝒙𝟏 = 𝟐 + √𝟑 , 𝒙𝟐 = 𝟐 − √𝟑 .

（ 2 ） 2(2𝑥 − 3) ² = 72 .

原方程可化为 (𝟐𝒙 − 𝟑) ^𝟐 = 𝟑𝟔 ,

两边直接开平方 , 得 𝟐𝒙 − 𝟑 = ±𝟔 ,

所以 𝟐𝒙 − 𝟑 = 𝟔 或 𝟐𝒙 − 𝟑 = −𝟔 ,

所以 𝒙 𝟏 =

𝟗 , 𝒙

𝟐

= −

𝟑 .

𝟐

类型 2 配方法

当方程可化为二次项系数为 1 ， 且一次项系数为偶数时 ， 用配方法求解 .

2. 解下列方程：

（ 1 ） −𝑥 ² + 2𝑥 + 3 = 0 ；

解：原方程可化为 𝒙 ^𝟐 − 𝟐𝒙 = 𝟑 ,

配方 , 得 𝒙 ^𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟏 = 𝟒 , 即 (𝒙 − 𝟏) ^𝟐 = 𝟒 ,

两边直接开平方 , 得 𝒙 − 𝟏 = ±𝟐 ,

所以 𝒙 − 𝟏 = 𝟐 或 𝒙 − 𝟏 = −𝟐 ,

所以 𝒙 𝟏 = 𝟑 , 𝒙 𝟐 = −𝟏 .

?

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（ 2 ）

1

2 𝑥 ^{2 − 8𝑥 +}

1 = 0 .

2

原方程可化为 𝒙 ^𝟐 − 𝟏𝟔𝒙 = −𝟏 ,

配方 , 得 𝒙 ^𝟐 − 𝟏𝟔𝒙 + 𝟔𝟒 = −𝟏 + 𝟔𝟒 , 即 (𝒙 − 𝟖) ^𝟐 = 𝟔𝟑 ,

两边直接开平方 , 得 𝒙 − 𝟖 = ±𝟑 √𝟕 ,

所以 𝒙 − 𝟖 = 𝟑 √𝟕 或 𝒙 − 𝟖 = −𝟑 √𝟕 ,

所以 𝒙𝟏 = 𝟖 + 𝟑 √𝟕 , 𝒙𝟐 = 𝟖 − 𝟑 √𝟕 .

类型 3 因式分解法

当方程可化为一边为 0 ， 另一边为两个一次因式的积的形式或缺少常数项时 ， 用因式分解法求

解 .

3. 解下列方程：

（ 1 ） 𝑥 ² − 4𝑥 = 0 ；

解：因式分解 , 得 𝒙(𝒙 − 𝟒) = 𝟎 ,

所以 𝒙 = 𝟎 或 𝒙 − 𝟒 = 𝟎 ,

所以 𝒙 𝟏 = 𝟎 , 𝒙 𝟐 = 𝟒 ．

（ 2 ） 𝑥 ² − 16 = 𝑥 + 4 ；

移项 , 得 𝒙 ^𝟐 − 𝒙 − 𝟐𝟎 = 𝟎 ,

因式分解 , 得 (𝒙 − 𝟓)(𝒙 + 𝟒) = 𝟎 ,

所以 𝒙 − 𝟓 = 𝟎 或 𝒙 + 𝟒 = 𝟎 ,

所以 𝒙 𝟏 = 𝟓 , 𝒙 𝟐 = −𝟒 .

（ 3 ） (2𝑥 − 1) ² = (3𝑥 + 2)(2𝑥 − 1) ；

移项 , 得 (𝟐𝒙 − 𝟏) ^𝟐 − (𝟑𝒙 + 𝟐)(𝟐𝒙 − 𝟏) = 𝟎 ,

因式分解 , 得 (𝟐𝒙 − 𝟏)[(𝟐𝒙 − 𝟏) − (𝟑𝒙 + 𝟐)] = 𝟎 ,

即 (𝟐𝒙 − 𝟏)(−𝒙 − 𝟑) = 𝟎 ,

所以 𝟐𝒙 − 𝟏 = 𝟎 或 −𝒙 − 𝟑 = 𝟎 ,

所以 𝒙 𝟏 =

𝟏 , 𝒙

𝟐

? ^{= −𝟑 .}

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（ 4 ） (𝑥 + 2) ² − 10(𝑥 + 2) + 25 = 0 .

因式分解 , 得 (𝒙 + 𝟐 − 𝟓) ^𝟐 = 𝟎 ,

即 (𝒙 − 𝟑) ^𝟐 = 𝟎 ,

所以 𝒙 𝟏 = 𝒙 𝟐 = 𝟑 .

类型 4 公式法

方程中含有无理数或用其他方法不简洁的方程用公式法求解 .

4. 解下列方程：

（ 1 ） 𝑥2 − 2 √3𝑥 + 1 = 0 ；

解： ∵ 𝒂 = 𝟏 , 𝒃 = −𝟐 √𝟑 , 𝒄 = 𝟏 ,

∴ 𝜟 = 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 = (−𝟐 √𝟑)𝟐 − 𝟒 × 𝟏 × 𝟏 = 𝟖 > 𝟎 ,

∴

方程有两个不相等的实数根，

∴ 𝒙 =

𝟐 √𝟑±√𝟖 = √𝟑 ± √𝟐 ,

𝟐

∴ 𝒙𝟏 = √𝟑 + √𝟐 , 𝒙𝟐 = √𝟑 − √𝟐 .

（ 2 ）

1−𝑥 ²

+

2−𝑥 =

2 .

2

3

3

原方程可化为 𝟑𝒙 ^𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟑 = 𝟎 ,

∵ 𝒂 = 𝟑 , 𝒃 = 𝟐 , 𝒄 = −𝟑 ,

∴ 𝜟 = 𝒃 ^𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 = 𝟐 ^𝟐 − 𝟒 × 𝟑 × (−𝟑) = 𝟒𝟎 > 𝟎 ,

∴

方程有两个不相等的实数根，

∴ 𝒙 =

−𝟐±√𝟒𝟎 =

−𝟏±√𝟏𝟎 ,

∴

𝒙 𝟏

𝟐×𝟑

=

−𝟏+

√ 𝟏𝟎

, 𝒙

𝟑

𝟑

=

−𝟏−√𝟏𝟎 .

𝟑

?

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类型 5 换元法

若方程中出现一些相同的式子 ， 把它们用某一个字母代替后能得到一个较简单的一元二次方程 ，

用换元法求解 .

5. 已知方程 𝑥 ² + 2𝑥 − 3 = 0 的解是 𝑥 1 = 1 ， 𝑥 2 = −3 ，则给出另一个方程 (2𝑥 + 3) ² + 2(2𝑥 + 3

) − 3 = 0 ，它的解是 (

)

A. −1 或 3

B.1 或 3

C. −1 或 −3

D.1 或 −3

【解析】 由题意 , 得 2𝑥 + 3 = 1 或 2𝑥 + 3 = −3 , ∴ 𝑥 = −1 或 𝑥 = −3

. 6. 已知实数 𝑥 满足 (𝑥 ² + 𝑥 + 1)(𝑥 ² + 𝑥 − 1) = 3 ，则 𝑥 ² + 𝑥 的值为 .

【解析】 设 𝑥 ² + 𝑥 = 𝑦 , 则 (𝑦 + 1)(𝑦 − 1) = 3 , ∴ 𝑦 ² − 1 = 3 , 解得 𝑦 = 2 或 𝑦 = −2 . 当 𝑦 = 2 时 ,

𝑥 ² + 𝑥 = 2 ,Δ = 1 ² − 4 × 1 × (−2) = 9 > 0 , ∴

方程有实数根；当 𝑦 = −2 时 , 𝑥 ² + 𝑥 = −2 ,Δ =

1 ² − 4 × 1 × 2 = −7 < 0 , ∴

方程无实数根（舍去） . 综上 , 𝑥 ² + 𝑥 的值为 2. （勿忘检验方程有

无实数根）

专项 2 根的判别式的热门考向

类型 1 判断一元二次方程根的情况

1. 以下一元二次方程有两个相等实数根的是 (

)

A. ² − 6 = 0

B. ² − 9 = 0

C. ² − 6 + 6 = 0

D. ² − 6 + 9 = 0

【解析】 Δ = ( − 6) ² − 4 × 1 × 0 = 36 > 0 ，该方程有两个不相等的实数根，故 A 选项不符

合题意； Δ = 0 ² − 4 × 1 × ( − 9) = 36 > 0 ，该方程有两个不

相等的实数根，故 B 选项不符合题意； Δ = ( − 6) ² − 4 × 1 × 6 = 12 > 0 ，该方程有两个不相

等的实数根，故 C 选项不符合题意； Δ = ( − 6) ² − 4 × 1 × 9 = 0 ，该方程有两个相等的实数

根，故 D 选项符合题意 .

2. 已知，，为常数，点 (, ) 在第四象限，则关于 的方程 ² + + = 0 的根 的情况是 (

)

A. 有两个不相等的实数根

B. 有两个相等的实数根

C. 没有实数根

D. 无法判断

【解析】 ∵ 点 (, ) 在第四象限 , ∴ > 0 , < 0 , ∴ < 0 , ∴

方程 ² + + = 0 的判别式

Δ = ² − 4 > 0 , ∴ 方程 ² + + = 0 有两个不相等的实数根．

类型 2 求字母的取值范围（或值）

3. 关于的一元二次方程 9 ² − 6 + = 0 有两个相等的实数根，则 = (

)

A. −9

B.4

C. −1

D.1

【解析】 ∵ 关于的一元二次方程 9

2 − 6 + = 0 有两个相等的实数根， ∴ Δ = ( − 6) 2 − 4

× 9 × = 36 − 36 = 0 ，解得 = 1 .

4. 关于 的一元二次方程 ( − 2) ² + 4 + 2 = 0 有两个实数根，则 的取值范围是 (

)

A. ≤ 4

B. ≥ 4

C. ≥− 4 且 ≠ 2

D. ≤ 4 且 ≠ 2

【解析】 ∵ 关于的一元二次方程 ( − 2) ² + 4 + 2 = 0 有两个实数根， ∴ − 2 ≠ 0 且

Δ ≥ 0 ，即 4 ² − 4 × ( − 2) × 2 ≥ 0 ，解得 ≤ 4 ， ∴ 的取值范围是 ≤ 4 且 ≠ 2 .

类型 3 与根与系数关系的综合应用

5. 已知关于 的一元二次方程

2 + 2 + 2 − + 2 = 0 有两个不相等的实数根 1 ， 2 ，且 1 + 2 + 1 ⋅ 2 = 2 ，则实 数

= .

【解析】解题思路：先根据根与系数的关系 , 得 1 + 2 =− 2 , 1 ⋅ 2 = ² − + 2 , 结合 1 +

2 + 1 ⋅ 2 = 2 , 得到 = 0 或 3, 此时需要结合 Δ > 0 , 确定 的取值 . 特别提醒：做题时要特 别注意运

用根与系数的关系时 , 要保证方程有根 .

∵ 1 , 2 是关于的一元二次方程 ² + 2 + ² − + 2 = 0 的两个实数根 , ∴ 1 + 2 =− 2 ,

1 ⋅ 2 = ² − + 2. ∵ 1 + 2 + 1 ⋅ 2 = 2 ,

∴− 2 + ² − + 2 = 2 , 解得 1 = 0 , 2 = 3. ∵

原方程有两个不相等的实数根 , ∴ Δ =

(2) ² − 4 × 1 × ( ² − + 2) > 0 , ∴ > 2 ， ∴ 实数 的值为 3 ．

6. 关于的一元二次方程 ² + 2 + 3 − = 0 有两个不相等的实数根 .

（ 1 ）求 的取值范围；

解： ∵

方程有两个不相等的实数根 , ∴ = − 𝑎 = − × 1 × ( − ) =− + > ,

解得 > .

（ 2 ）若方程的两个根为 ， ，且 ² = + 3 ，求 的值 .

∵ 方程的两个根为 , , ∴ = = − ,

𝑎

∴ = − + , 解得 1 = , =− 1 （舍去） . 综上， 的值为

3.

类型 4 与几何图形的综合应用

7. 已知平行四边形 𝐵𝐷 的两边 𝐵 ， 𝐵 的长是关于 的方程 ² − ( + 3) + 2 + 2 = 0 的两个实数根 .

（1） 当为何值时，四边形 𝐵𝐷 是菱形？求出这时菱形的边长 . 解：

因为四边形 𝐵𝐷 是菱形 , 所以 𝐵 = 𝐵 .

因为 𝐵 , 𝐵 的长是方程 − ( + ) + + = 的两个实数根 , 所以

= [ − ( + )] − ( + ) = ( − 1) = ,

所以 = 1 ,

所以原方程为 − + = , 解得 1 = = .

故当 = 1 时 , 四边形 𝐵𝐷 是菱形 , 这时菱形的边长为 2.

（2） 若 𝐵 的长为 3 ，则平行四边形 𝐵𝐷 的周长是多少？将 =

代入方程 − ( + ) + + = ,

得 − ( + ) + + = , 解得 = ,

所以原方程为 − + = ,

解得 1 = , = , 所以 𝐵 = ,

故平行四边形 𝐵𝐷 的周长为 × ( + ) = 1 ．

8. 一题多解已知关于的方程 ² − (3 + 1) + 2 ² + 2 = 0 .

（ 1 ）求证：无论 取何值，方程总有实数根；

证明： = [ − ( + 1)] − × 1 × ( + ) = − + 1 = ( − 1) ,

∵ 无论取何值 , ( − 1) ≥ , ∴ ≥ ,

∴ 无论 取何值 , 方程总有实数根 .

（ 2 ）若等腰三角形 𝐵 的一边长 = 6 ，另两边长， 恰好是这个方程 的两个根，

求此三角形的周长 .

解：解法一 ∵ = ( − 1) ,

∴ = ^+1±|−1| , ∴ 1 = , = + 1 .

∵ , 恰好是这个方程的两个实数根 ,

∴ 不妨设 = , = + 1 ,

当 𝑎 , 为腰长时 , 𝑎 = = , ∴ = , ∴ = , ∴ = ,

∴ 三角形的周长为 + + = 1 ； 当 , 为腰

长时 , + 1 = , 解得 = 1 ,

∴ = = . ∵ + < , ∴

这种情况不成立；

当 𝑎 , 为腰长时 , + 1 = , ∴ = , ∴ = 1 ,

∴ 三角形的周长为 + + 1 = .

综上 , 此三角形的周长为 16 或 22.

解法二 当 𝑎 为底边长时 ,, 为腰长 ,

则方程有两个相等的实数根 . ∴ = ( − 1) = , ∴ = 1 ,

∴ 原方程为 − + = , 解得 1 = = ,

∴ = = , ∵ + < , ∴

这种情况不成立 .

当 𝑎 为腰长时 , = 或 = ,

即方程的一个实数根是 = ,

把 = 代入 , 得 − ( + 1) + + = ,

解得 = 或 = ,

当 = 时 , 原方程为 − 1 + = ,

解得 1 = , = , ∴

三角形的三边长为 6,6,4,

∴ 三角形的周长为 + + = 1 .

当 = 时 , 原方程为 − 1 + = ,

解得 1 = , = 1 ,

∴

三角形的三边长为 6,6,10,

∴ 三角形的周长为 + + 1 = .

综上 , 此三角形的周长为 16 或 22.

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专项 3 二次函数与线段长、图形面积的综合

类型 1 线段的最值问题

1. 求斜线段 𝑀𝑃 ， 竖直线段 𝑁𝑃 长的最值的步骤 （ 如图 ）：

① 设点 𝑃(𝑡, 𝑎𝑡 ² + 𝑏𝑡 + 𝑐) ， 𝑀(𝑝, 𝑚𝑝 + 𝑛) ， 𝑁(𝑡, 𝑚𝑡 + 𝑛) ;

② 表示线段 𝑀𝑃 ， 𝑁𝑃 的长 ： 𝑀𝑃 ² = (𝑡 − 𝑝) ² + (𝑎𝑡 ² + 𝑏𝑡 + 𝑐 − 𝑚𝑝 − 𝑛) ² ，

𝑁𝑃 = 𝑎𝑡 ² + 𝑏𝑡 + 𝑐 − 𝑚𝑡 − 𝑛 ；

③ 化简 𝑀𝑃 ， 𝑁𝑃 ， 利用二次函数的性质求最值 .

2. 求线段之和 （ 周长 ） 最小 ： 根据二次函数图象的对称性 ， 作对称点 ， 结合 “ 将军饮马 ” 模型求

最值 .

3. 求线段之差最大 ： 将两定点转化到定线的同侧 ， 当两定点与动点共线时 ，

线段之差最大 .

1. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 𝑦 = −𝑥 ² + 𝑏𝑥 + 𝑐 与 𝑥 轴的交点分别为 𝐴 和 𝐵(1,0) （点 𝐴 在

点 𝐵 的左侧），与 𝑦 轴交于点 𝐶(0,3) ，点 𝑃 是直线 𝐴𝐶 上方抛物线上一动点 .

（ 1 ）求抛物线的解析式；

解：把 𝑩(𝟏, 𝟎) ， 𝑪(𝟎, 𝟑) 的坐标分别代入 𝒚 = −𝒙 ^𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 ，

得 { ^{−𝟏 + 𝒃 + 𝒄 = 𝟎,}

𝒃 = −𝟐,

𝒄 = 𝟑,

解得 {𝒄 = 𝟑,

∴ 抛物线的解析式为 𝒚 = −𝒙 ^𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟑 .

（ 2 ）过点 𝑃 作 𝑥 轴的平行线交 𝐴𝐶 于点 𝐸 ，过点 𝑃 作 𝑦 轴的平行线交 𝑥 轴于点 𝐷 ，求 𝑃𝐸 + 𝑃𝐷 的最

大值及点 𝑃 的坐标 .

在 𝒚 = −𝒙 ^𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟑 中，令 𝒚 = 𝟎 ，得 𝟎 = −𝒙 ^𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟑 ，

解得 𝒙 = −𝟑 或 𝒙 = 𝟏 ， ∴ 𝑨(−𝟑, 𝟎) .

由 𝑨(−𝟑, 𝟎) ， 𝑪(𝟎, 𝟑) 易得直线 𝑨𝑪 的解析式为 𝒚 = 𝒙 + 𝟑 .

设 𝑷(𝒕, −𝒕 ^𝟐 − 𝟐𝒕 + 𝟑) ，则 𝑫(𝒕, 𝟎) ， 𝑬(−𝒕 ^𝟐 − 𝟐𝒕, −𝒕 ^𝟐 − 𝟐𝒕 + 𝟑) ，其中 −𝟑 < 𝒕 < 𝟎 ，

∴ 𝑷𝑫 + 𝑷𝑬 = −𝒕 ^𝟐

− 𝟐𝒕 + 𝟑 + (−𝒕 ^𝟐 − 𝟐𝒕) − 𝒕 = −𝟐𝒕 ^𝟐 − 𝟓𝒕 + 𝟑 = −𝟐(𝒕 + ^𝟓 ) 𝟐

𝟒

+

𝟒𝟗 .

𝟖

∵ −𝟐 < 𝟎 ，且 −𝟑 < 𝒕 < 𝟎 ，

∴ 当 𝒕 = −

𝟓 时， 𝑷𝑫 + 𝑷𝑬 取得最大值，最大值为

𝟒𝟗 . 此时 𝑷(−

𝟓 ，

𝟔𝟑 ) ．

𝟒

𝟖

𝟒

𝟏𝟔