第一章 勾股定理 知识归纳与题型突破（十一类题型清单）
一、勾股定理
1. 勾股定理：
直角三角形两直角边
的平方和等于斜边
的平方 . （即：
）
二、勾股定理的逆定理
a
、 b
c
2
2
2
a
b
c
+
=
01 思维导图
02 知识速记
1. 勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长
，满足
，那么这个三角形是直角三角形 .
要点： 应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤：
（ 1 ）首先确定最大边，不妨设最大边长为
；
（ 2 ）验证：
与
是否具有相等关系：
若
，则 △ ABC 是以∠ C 为 90° 的直角三角形；
若
时， △ ABC 是锐角三角形；
若
时， △ ABC 是钝角三角形．
2. 勾股数
满足不定方程
的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以
为三边长的三角形一定是直角三角形 .
要点： 常见的勾股数：① 3 、 4 、 5 ； ② 5 、 12 、 13 ；③ 8 、 15 、 17 ；④ 7 、 24 、 25 ；⑤ 9 、 40 、 41.
如果 (
) 是勾股数，当 t 为正整数时，以
为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形 .
观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征：
1. 较小的直角边为连续奇数；
2. 较长的直角边与对应斜边相差 1.
3. 假设三个数分别为
，且
，那么存在
成立 . （例如④中存在
＝ 24 ＋ 25 、
＝
40 ＋ 41 等）
三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系
区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；
联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关 .
四、勾股定理的应用
勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：
（ 1 ）已知直角三角形的两边，求第三边；
（ 2 ）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题；
（ 3 ）解决与勾股定理有关的面积计算；
（ 4 ）勾股定理在实际生活中的应用．
题型一 用勾股定理解三角形
例题
1 ．若一个直角三角形的两条直角边长分别是 6 和 8 ，则斜边长是（ ）
A ． 6
B ． 7
C ． 8
D ． 10
巩固训练
a
b
c
、 、
2
2
2
a
b
c
+
=
c
2
2
a
+ b
2 c
2
2
2
a
b
c
+
=
2
2
2
a
b
c
+
＞
2
2
2
a
b
c
+
＜
2
2
2
x
y
z
+
=
x
y
z
、 、
a
b
、 、 c
at
bt
ct
、 、
a
b
、 、 c
a
b
c
<
<
a 2
b
c
=
+
7 2
2
9
03 题型归纳
2 ．在直角 ABC
V
中，∠ B=90 ° ，
3
AB = ，
AC = 4
，则 BC 的长为（ ）
A ． 5
B ．
7
C ． 5 或
7
D ． 5 或
3
3 ．如图，在 Rt
△ ABC
中，
90
Ð A
=
° ，
BC = 2
，则
2
2
2
AC
AB
BC
+
+
的值为（ ）
A ． 8
B ． 2
C ． 4
D ． 2 2
4 ．如图所示，已知 ABC
V
中，
AB = 6
，
AC = 9
， AD
^ BC
于 D ， M 为 AD 上任一点，则
2
2
MC
- MB
等于
．
题型二 勾股定理逆定理 勾股数
例题
5 ．下列给出的四组数中，能构成直角三角形三边的一组是（ ）
A ． 5 ， 12 ， 14
B ． 6 ， 8 ， 9
C ． 7 ， 24 ， 25
D ． 8 ， 13 ， 15
巩固训练
6 ．由下列条件不能判定 ABC
V
为直角三角形的是（ ）
A ．
A
C
B
Ð + Ð
= Ð
B ．
1
a = 3
，
1
b = 4
，
1
5
c =
C ．
2
b
a
b
a
c
+
-
=
D ．
5
:
:
:3: 2
A
B
C
Ð
Ð
Ð
=
7 ．在下列四组数中，属于勾股数的是（ ）
A ． 0.3 ， 0.4 ， 0.5
B ． 3 ， 4 ， 5
C ． 2 ， 8 ， 10
D ． 1 ，
2 ，
3
8 ．下列各组数中，是勾股数的是（ ）．
A ． 1 ， 2 ， 3
B ．
3,2, 10
C ． 5, 7, 12
D ． 9 ， 12 ， 15
题型三 勾股定理及其逆定理解三角形 解答题
例题
9 ．（ 1 ）如图，在 ABC
V
中， AD
^ BC
，求证：
2
2
2
2
AB
AC
BD
CD
-
=
-
；
（ 2 ）在 ABC
V
中，
AB = 8
，
AC = 5
， BC 边上的高
AD = 4
，求边 BC 的值．
巩固训练
10 ．如图，已知等腰 ABC
V
的底边
BC = 25cm
， D 是腰 AB 上一点，连接 CD ，且
24cm
7cm
CD
BD
=
=
，
．
(1) 求证： BDC
V
是直角三角形；
(2) 求 AB 的长．
11 ．如图，已知在 ABC
V
中， CD
^ AB
于点 D ，
AC = 20
，
BC = 15
，
DB = 9
，
(1) 求 DC 、 AB 的长；
(2) 求证： ABC
V
是直角三角形．
12 ．已知在 Rt ABC
V
中，
90
Ð ACB
=
° ，
AC = 9
，
AB = 15
，
BD = 5
，过点 D 作 DH
^ AB
于点 H ．
(1) 求 CD 的长；
(2) 求 DH 的长．
题型四 勾股定理逆定理拓展性质
例题
13 ．下列由三条线段 a 、 b 、 c 构成的三角形： ①
2
a
= mn
，
2
2
b
m
n
=
-
，
2
2
0
c
m
n
m
n
=
+
>
>
，
②
2
1
a
= n
+ ，
2 2
2
1
b
n
n
=
+
+ ，
2 2
2
0
c
n
n n
=
+
>
， ③
3
a
= k
，
4
b
= k
，
5
0
c
= k k
>
， ④
:
:
1:
3 : 2
a
b
c =
，
其中能构成直角三角形的有（ ）
A ． 1 个
B ． 2 个
C ． 3 个
D ． 4 个
巩固训练
14 ．以下四组代数式作为 ABC
V
的三边： ① 3 4 5
n n n
， ， （ n 为正整数）； ②
1
2
n
n
n
+
+
，
，
（ n 为正整数）； ③
2
2
1 2
1
n
n
- ， ， n +
（
n ³ 2
， n 为正整数）； ④
2
2
2
2
2
m
n
mn
m
n
-
+
，
，
（ m
> n
， m ， n 为正整数）．其中能使 ABC
V
为直角三角形的有（ ）
A ． 0 组
B ． 1 组
C ． 2 组
D ． 3 组
15 ．下列命题 ① 如果 a
b
c
、 、 为一组勾股数，那么 4
4
4
a
b
c
、 、 仍是勾股数； ② 如果直角三角形的两边是 3 ， 4 ，
那么斜边必是 5 ； ③ 如果一个三角形的三边是 12 、 25 、 7 ，那么此三角形必是直角三角形； ④ 一个等腰直角
三角形的三边 a
b
c
、 、 ，（ a
b
c
>
=
），那么
2
2
2
:
:
2:1:1
a
b
c =
，其中正确的是（ ）
A ． ①②
B ． ①③
C ． ①④
D ． ②④
题型五 勾股定理与数轴上的实数
例题
16 ． 如图，在数轴上点 A 表示的实数是 （ ）
A ．
7
B ． 8
C ． 9
D ． 10
巩固训练
17 ．如图， OA
= OB
，
(1) 写出数轴上点 A 表示的数；
(2) 比较点 A 表示的数与 1.5
-
的大小；
(3) 在数轴上作出 5 所对应的点．
18 ．如图，在数轴上以 1 个单位长度画一个正方形，以原点为圆心，以正方形的对角线长为半径画弧，与
正半轴的交点为 B ，且点 B 表示的是一个无理数，因此我们得出一个结论．
(1) 点 B 表示的数为 _________ ；得出的结论是： _________ 与数轴上的点是一一对应的．
