第一章 勾股定理 知识归纳与题型突破（十一类题型清单）
一、勾股定理
1. 勾股定理：
直角三角形两直角边
的平方和等于斜边
的平方 . （即：
）
二、勾股定理的逆定理
1. 勾股定理的逆定理
a
、 b
c
2
2
2
a
b
c
+
=
01 思维导图
02 知识速记
如果三角形的三边长
，满足
，那么这个三角形是直角三角形 .
要点： 应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤：
（ 1 ）首先确定最大边，不妨设最大边长为
；
（ 2 ）验证：
与
是否具有相等关系：
若
，则 △ ABC 是以∠ C 为 90° 的直角三角形；
若
时， △ ABC 是锐角三角形；
若
时， △ ABC 是钝角三角形．
2. 勾股数
满足不定方程
的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以
为三边长的三角形一定是直角三角形 .
要点： 常见的勾股数：① 3 、 4 、 5 ； ② 5 、 12 、 13 ；③ 8 、 15 、 17 ；④ 7 、 24 、 25 ；⑤ 9 、 40 、 41.
如果 (
) 是勾股数，当 t 为正整数时，以
为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形 .
观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征：
1. 较小的直角边为连续奇数；
2. 较长的直角边与对应斜边相差 1.
3. 假设三个数分别为
，且
，那么存在
成立 . （例如④中存在
＝ 24 ＋ 25 、
＝
40 ＋ 41 等）
三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系
区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；
联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关 .
四、勾股定理的应用
勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：
（ 1 ）已知直角三角形的两边，求第三边；
（ 2 ）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题；
（ 3 ）解决与勾股定理有关的面积计算；
（ 4 ）勾股定理在实际生活中的应用．
题型一 用勾股定理解三角形
例题
1 ．若一个直角三角形的两条直角边长分别是 6 和 8 ，则斜边长是（ ）
A ． 6
B ． 7
C ． 8
D ． 10
【答案】 D
a
b
c
、 、
2
2
2
a
b
c
+
=
c
2
2
a
+ b
2 c
2
2
2
a
b
c
+
=
2
2
2
a
b
c
+
＞
2
2
2
a
b
c
+
＜
2
2
2
x
y
z
+
=
x
y
z
、 、
a
b
、 、 c
at
bt
ct
、 、
a
b
、 、 c
a
b
c
<
<
a 2
b
c
=
+
7 2
2
9
03 题型归纳
【分析】根据勾股定理计算即可得出答案．
【解析】∵一个直角三角形的两直角边长分别是 6 和 8
∴斜边长是
2
2
6
8
10
+
=
故选： D ．
【点睛】本题主要考查勾股定理，掌握勾股定理的内容是解题的关键．
巩固训练
2 ．在直角 ABC
V
中，
90
Ð B
=
° ，
3
AB = ，
AC = 4
，则 BC 的长为（ ）
A ． 5
B ．
7
C ． 5 或
7
D ． 5 或
3
【答案】 B
【分析】根据勾股定理计算即可．
【解析】解：因为
90
Ð B
=
° ，
3
AB = ，
AC = 4
，
所以
2
2
2
2
4
3
7
BC
AC
BA
=
-
=
-
=
，
故选： B ．
【点睛】本题考查了勾股定理，解题关键是熟记勾股定理，准确进行计算．
3 ．如图，在 Rt
△ ABC
中，
90
Ð A
=
° ，
BC = 2
，则
2
2
2
AC
AB
BC
+
+
的值为（ ）
A ． 8
B ． 2
C ． 4
D ． 2 2
【答案】 A
【分析】利用勾股定理进行求解即可．
【解析】解：∵
90
Ð A
=
° ，
BC = 2
，
∴
2
2
2
2
2
8
A
BC
C
AB
BC
BC
+
+
=
+
=
；
故选 A ．
【点睛】本题考查勾股定理．熟练掌握直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方，是解题的关键．
4 ．如图所示，已知 ABC
V
中，
AB = 6
，
AC = 9
， AD
^ BC
于 D ， M 为 AD 上任一点，则
2
2
MC
- MB
等于
．
【答案】 45
【分析】在 Rt △ ABD 和 Rt ADC
V
中，分别表示出
2
BD 和
2
CD ，在 Rt BDM
V
和 Rt
△ CDM
中，表示出
2
MB 和
2
MC ，
代入求解即可；
【解析】解：∵ AD
^ BC
于 D ，
∴
90
ADB
ADC
Ð
= Ð
=
° ，
在 Rt △ ABD 和 Rt ADC
V
中，
2
2
2
BD
AB
AD
=
-
，
2
2
2
CD
AC
AD
=
-
，
在 Rt BDM
V
和 Rt
△ CDM
中，
2
2
2
2
2
2
MB
BD
MD
AB
AD
MD
=
+
=
-
+
2
2
2
2
2
2
MC
CD
MD
AC
AD
MD
=
+
=
-
+
，
2
2
2
2
2
2
2
2
MC
MB
AC
AD
MD
AB
AD
MD
\
-
=
-
+
-
-
+
，
2
2
AC
AB
=
-
，
= 45
．
故答案为： 45 ．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，准确分析计算是解题的关键．
题型二 勾股定理逆定理 勾股数
例题
5 ．下列给出的四组数中，能构成直角三角形三边的一组是（ ）
A ． 5 ， 12 ， 14
B ． 6 ， 8 ， 9
C ． 7 ， 24 ， 25
D ． 8 ， 13 ， 15
【答案】 C
【分析】根据勾股定理的逆定理逐项验证即可得到答案．
【解析】 A 、
2
2
4 2
5
12
1
+
¹
，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
B 、
2
2
2
6
8
9
+
¹
，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
C 、
2
2
2
7
24
25
+
=
，能构成直角三角形，故此选项符合题意；
D 、
2
2
2
8
13
15
+
¹
，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
故选： C ．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理计算三角形两边的平方和是否等于第三边的
平方是解决问题的关键．
巩固训练
6 ．由下列条件不能判定 ABC
V
为直角三角形的是（ ）
A ．
A
C
B
Ð + Ð
= Ð
B ．
1
a = 3
，
1
b = 4
，
1
5
c =
C ．
2
b
a
b
a
c
+
-
=
D ．
5
:
:
:3: 2
A
B
C
Ð
Ð
Ð
=
【答案】 B
【分析】根据三角形内角和 180 ° 及
A
C
B
Ð + Ð
= Ð 即可判断 A ，根据勾股定理逆定理即可判断 B ，根据平方
差公式及勾股定理逆定理即可判断 C ，根据三角形内角和 180 ° 及
5
:
:
:3: 2
A
B
C
Ð
Ð
Ð
=
即可得到答案．
【解析】解：∵
180
A
B
Ð + Ð + Ð C
=
° ，
A
C
B
Ð + Ð
= Ð ，
∴
90
Ð B
=
° ，
∴ ABC
V
为直角三角形，故 A 不符合题意；
∵
2
2
2
1
1
1
( )
( )
( )
4
5
3
+
¹
，
∴不能判定三角形为直角三角形，故 B 符合题意；
∵
2
2
2
b
a
b
a
b
a
c
+
-
=
-
=
，
∴ ABC
V
为直角三角形，故 C 符合题意；
∵
180
A
B
Ð + Ð + Ð C
=
° ，
5
:
:
:3: 2
A
B
C
Ð
Ð
Ð
=
，
∴
90
Ð A
=
° ，
∴ ABC
V
为直角三角形，故 D 符合题意，
故选 B ．
【点睛】本题考查三角形内角和定理及勾股定理逆定理，解题的关键是熟练掌握直角三角形边角关系．
7 ．在下列四组数中，属于勾股数的是（ ）
A ． 0.3 ， 0.4 ， 0.5
B ． 3 ， 4 ， 5
C ． 2 ， 8 ， 10
D ． 1 ，
2 ，
3
【答案】 B
【分析】利用勾股数的定义进行分析即可．
【解析】解： A ． 0.3 ， 0.4 ， 0.5 不是整数，不是勾股数，不符合题意；
B ．
2
2
2
3
4
5
+
=
Q
，
3
\ 、 4 、 5 是勾股数，符合题意；
C ．
2
2
2
2
8
10
+
¹
，
2
\ ， 8 ， 10 不是勾股数，不符合题意；
D ．
2
2
2
1
( 2)
( 3)
+
=
，
2 ，
3 均不是整数，
1
\ ，
2 ，
3 不是勾股数，不符合题意；
故选： B ．
【点睛】此题主要考查了勾股数，关键是掌握满足
2
2
2
+
=
a
b
c 的三个正整数，称为勾股数．
8 ．下列各组数中，是勾股数的是（ ）．
A ． 1 ， 2 ， 3
B ．
3,2, 10
C ． 5, 7, 12
D ． 9 ， 12 ， 15
【答案】 D
【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边
的平方．
【解析】解： A 、 1 2 +2 2 ≠3 2 ，不能构成直角三角形，故不符合题意；
B 、 2 2 + （
3 ） 2 ≠ （ 10 ） 2 ，不能构成直角三角形，故不符合题意；
C 、（ 5 ） 2 + （
7 ） 2 ＝（ 12 ） 2 ，能构成直角三角形，但不是整数、故不符合题意；
D 、 9 2 +12 2 =15 2 ，能构成直角三角形且是整数，是勾股数，故符合题意．
故选： D ．
【点睛】本题主要考查了勾股数的定义及勾股定理的逆定理，已知 △ ABC 的三边满足 a 2 + b 2 = c 2 ，则 △ ABC 是
直角三角形．
题型三 勾股定理及其逆定理解三角形 解答题
例题
9 ．（ 1 ）如图，在 ABC
V
中， AD
^ BC
，求证：
2
2
2
2
AB
AC
BD
CD
-
=
-
；
（ 2 ）在 ABC
V
中，
AB = 8
，
AC = 5
， BC 边上的高
AD = 4
，求边 BC 的值．
【答案】（ 1 ）见解析；（ 2 ） 4
3
3
+
【分析】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
（ 1 ）利用勾股定理证明即可；
（ 2 ）利用勾股定理求解即可．
【解析】解：（ 1 ）在 Rt ABD
V
， Rt ACD
V
中，根据勾股定理得：
2
2
2
AB
BD
AD
-
=
，
2
2
2
AC
CD
AD
-
=
，
∴ A
2
2
2
2
B
BD
AC
CD
-
=
-
，
∴
2
2
2
2
AB
AC
BD
CD
-
=
-
；
（ 2 ）在 Rt ABD
V
， Rt ACD
V
中，根据勾股定理得：
2
2
2
2
8
4
4 3
BD
AB
AD
=
-
=
-
=
，
2
2
2
2
5
4
3
DC
AB
AD
=
-
=
-
=
，
∴
4
BC
BD
DC
=
+
=
3
3
+ ．
巩固训练
10 ．如图，已知等腰 ABC
V
的底边
BC = 25cm
， D 是腰 AB 上一点，连接 CD ，且
24cm
7cm
CD
BD
=
=
，
．
(1) 求证： BDC
V
是直角三角形；
(2) 求 AB 的长．
【答案】 (1) 见解析
(2) 625 cm
14
【分析】（ 1 ）根据勾股定理的逆定理进行判断即可得到答案；
（ 2 ）设
cm
AB
= x
，根据等腰三角形的性质可得
cm
AB
AC
x
=
=
，在直角三角形
△ ADC
中，由勾股定理可
得
2
2
2
7
24
x
= x
-
+
，解方程即可得到答案．
【解析】（ 1 ）证明：
25cm
24cm
7cm
BC
CD
BD
=
=
=
Q
，
，
，
2
25 2
625
BC =
=
\
，
2
2
2
2
7
24
49
576
625
BD
+ CD =
+
+
=
=
，
即
2
2
2
BC
BD
CD
=
+
\ V BDC
为直角三角形；
（ 2 ）解：设
cm
AB
= x
，
QV ABC
是等腰三角形，
cm
AB
AC
x
\
=
=
．
QV BDC
为直角三角形，
\ V ADC
为直角三角形，
2
2
2
AD
CD
AC
\
+
=
，
即
2
2
2
7
24
x
= x
-
+
，
解得：
625
x = 14
，
故 AB 的长为： 625 cm
14
．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用，解题的关键是熟练
掌握勾股定理的逆定理．
11 ．如图，已知在 ABC
V
中， CD
^ AB
于点 D ，
AC = 20
，
BC = 15
，
DB = 9
，
(1) 求 DC 、 AB 的长；
(2) 求证： ABC
V
是直角三角形．
【答案】 (1)
AB = 25
，
12
CD =
(2) 见解析
【分析】（ 1 ）在 Rt BCD
V
中，利用勾股定理求得 CD 的长，然后在 Rt ADC
V
中，再利用勾股定理求得 AD 的
长，根据 AB
AD
DB
=
+
即可求解；
（ 2 ）利用勾股定理的逆定理即可判断．
【解析】（ 1 ）解：∵在 Rt BCD
V
中，
BC = 15
，
BD = 9
，
2
2
2
2
15
9
12
CD
BC
CD
\
=
-
=
-
=
，
在 Rt ADC
V
中，
AC = 20
，
CD = 12
，
2
2
2
2
20
12
16
AD
AC
CD
\
=
-
=
-
=
．
16
9
25
AB
AD
DB
\
=
+
=
+
=
．
（ 2 ）证明：
Q AB = 25
，
AC = 20
，
BC = 15
，
2
25 2
625
\ AB
=
=
，
2
2
2
2
20
15
625
AC
+ BC
=
+
=
，
2
2
2
AB
AC
BC
\
=
+
，
\ V ABC
是直角三角形．
【点睛】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，正确理解定理的内容是关键．
12 ．已知在 Rt ABC
V
中，
90
Ð ACB
=
° ，
AC = 9
，
AB = 15
，
BD = 5
，过点 D 作 DH
^ AB
于点 H ．
(1) 求 CD 的长；
(2) 求 DH 的长．
【答案】 (1) 7
(2) 3
【分析】本题考查了勾股定理；
（ 1 ） Rt ABC
V
中，由勾股定理得
BC = 12
，进而根据 CD
CB
BD
=
-
，即可求解；
（ 2 ）根据等面积法，即可求解．
【解析】（ 1 ）解：
90
Q Ð ACB
=
° ，
AC = 9
，
AB = 15
，
\ Rt ABC
V
中，由勾股定理得：
2
2
2
2
15
9
12
BC
AB
AC
=
-
=
-
=
，
12
5
7
CD
CB
BD
\
=
-
=
-
=
．
（ 2 ）
DH
^ AB
Q
，
\
1
1
2
2
S ADB
AB DH
BD AC
=
×
=
×
△
，
\ 1
1
15
5 9
2
2
DH
´
×
=
´ ´ ，
3
\ DH
=
．
题型四 勾股定理逆定理拓展性质
例题
13 ．下列由三条线段 a 、 b 、 c 构成的三角形：①
2
a
= mn
，
2
2
b
m
n
=
-
，
2
2
0
c
m
n
m
n
=
+
>
>
，②
2
1
a
= n
+ ，
2 2
2
1
b
n
n
=
+
+ ，
2 2
2
0
c
n
n n
=
+
>
，③
3
a
= k
，
4
b
= k
，
5
0
c
= k k
>
，④
:
:
1:
3 : 2
a
b
c =
，其中能构成直角三角形的有（ ）
A ． 1 个
B ． 2 个
C ． 3 个
D ． 4 个
【答案】 C
【分析】判断一组数能否成为直角三角形的三边，就是看是否满足两较小边的平方和等于最大边的平方，
将题目中的各题一一做出判断即可．
【解析】解：①∵
2
2
2
2
2
4
4
2
2
2
2
4
4
2
2
2
2
2
2
4
2
m
n
mn
m
n
m n
m n
m
n
m n
m
n
-
+
=
+
-
+
=
+
+
=
+
，
∴能成为直角三角形的三边长；
②∵
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
n
n
n
n
n
+
+
=
+
+
，
∴能成为直角三角形的三边长；
③
2
2
2
3
4
5
k
k
k
+
=
，
∴能成为直角三角形的三边长；
④∵
2
2
2
1
3
4
a
b
c
= +
=
=
+
，即 a
b
c
+
=
，
∴ a ， b ， c 不构成三角形
∴能构成直角三角形的有 3 组，
故选： C ．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，在应用时注意是两较短边的平方和等于最长边的平方．
巩固训练
14 ．以下四组代数式作为 ABC
V
的三边：① 3 4 5
n n n
， ， （ n 为正整数）；②
1
2
n
n
n
+
+
，
，
（ n 为正整数）；③
2
2
1 2
1
n
n
- ， ， n +
（
n ³ 2
， n 为正整数）；④
2
2
2
2
2
m
n
mn
m
n
-
+
，
，
（ m
> n
， m ， n 为正整数）．其中能使 ABC
V
为直角三角形的有（ ）
A ． 0 组
B ． 1 组
C ． 2 组
D ． 3 组
【答案】 D
【分析】根据勾股定理的逆定理对各选项进行计算判断即可．
【解析】解：①中
2
2
2
2
3
4
25
5
n
n
n
n
+
=
=
（ ） （
）
（ ） ，能构成直角三角形，故符合要求；
②中，
2
2
2
2
2
1
2
2
2
1
4
4
n
n
n
n
n
n
n
=
+
+
+
¹
+
+
=
+
（ +
）
（
） ，不能构成直角三角形，故不符合要求；
③中
2
2
2
4
2
2
2
1
2
2
1
1
n
n
n
n
n
+
+
-
=
+ =
+
（
） （
）
（
） ，能构成直角三角形，故符合要求；
④中
2
2 2
2
4
2
2
4
2
2 2
2
2
m
n
mn
m
m n
n
m
n
+
=
+
+
=
+
-
（
） （
）
（
） ，能构成直角三角形，故符合要求．
