第一章 勾股定理 （压轴专练）（九大题型）
题型 1 ： 折叠问题
1 ．如图，在 Rt
△ ABC
中，
90
Ð C
=
° ，
AB = 10
，
8
BC = ．点 F 是 AC 上的点，且 CF
= 2AF
，点 D 和点 E 分
别是 BC 边和 AB 边上的两点，连接 DE ．将 BDE
V
沿 DE 折叠，使得点 B 恰好落在 AC 上的点 F 处， BF 与 DE
交于点 H ，则 DH 的长为
．
【答案】 5
【分析】根据勾股定理，得出
AC = 6
，再根据 CF
= 2AF
，
6
AF
CF
AC
+
=
=
，得出
CF = 4
，再根据勾股定
理，得出
BF = 4 5
，再根据折叠的性质，得出
1
2 5
2
BH
FH
BF
=
=
=
， BD
= FD
， DE
^ BF
，然后设
BD
FD
x
=
=
，则
8
CD
x
=
-
，再根据勾股定理，得出
2
2
2
4
8
x
x
+
-
=
，解出即可得出
BD = 5
，再根据勾股
定理，即可得出 DH 的长．
【解析】解：∵
90
Ð C
=
° ，
AB = 10
，
8
BC = ，
∴
2
2
100
64
6
AC
AB
BC
=
-
=
-
=
，
∵ CF
= 2AF
，
6
AF
CF
AC
+
=
=
，
∴
2
6
AF
+ AF
=
，
∴
AF = 2
，
∴
CF = 4
，
在 Rt BCF
V
中，
2
2
64 16
4 5
BF
BC
CF
=
+
=
+
=
，
∵ BDE
V
沿 DE 折叠，使得点 B 恰好落在 AC 上的点 F 处，
∴
1
2 5
2
BH
FH
BF
=
=
=
， BD
= FD
， DE
^ BF
，
设 BD
FD
x
=
=
，则
8
CD
x
=
-
，
在 Rt CDF
V
中，
∵
2
2
2
CF
CD
DF
+
=
，
∴
2
2
2
4
8
x
x
+
-
=
，
解得：
x = 5
，
∴
BD = 5
，
在 Rt BHD
V
中，
2
2
2
2 5
2 5
5
DH
BD
BH
=
-
=
-
=
．
故答案为： 5
【点睛】本题考查了勾股定理、折叠的性质，解本题的关键在应用勾股定理列出方程解决问题．
2 ．如图， M ， N 分别为锐角
Ð AOB
边 OA ， OB 上的点，把
Ð AOB
沿 MN 折叠，点 O 落在
Ð AOB
所在平
面内的点 C 处．
(1) 如图 1 ，点 C 在
Ð AOB
的内部，若
20
Ð CMA
=
° ，
50
Ð CNB
=
° ，求
Ð AOB
的度数．
(2) 如图 2 ，若
45
Ð AOB
=
° ，
2
ON =
，折叠后点 C 在直线 OB 上方， CM 与 OB 交于点 E ，且 MN
= ME
，
求折痕 MN 的长．
(3) 如图 3 ，若折叠后，直线 MC
^ OB
，垂足为点 E ，且
OM = 5
，
ME = 3
，求此时 ON 的长．
【答案】 (1)
35
Ð O
=
°
(2)
2
MN =
(3)
5
2
ON =
或 10
【分析】（ 1 ）根据折叠知，
1 180
80
2
OMN
CMN
CMA
Ð
= Ð
=
°- Ð
=
° ，
65
Ð ONM
=
° 根据三角形内角和定理
即可求得答案；
（ 2 ）根据 MN
= ME
，由等边对等角可得
ENM
MEN
Ð
= Ð
，设
OMN
CMN
x
Ð
= Ð
=
度，根据三角形内角和
为 180° ，建立一元一次方程解方程求解即可求得
30
Ð OMN
=
° ，过 N 作 NH
^ OM
于 H ，根据勾股定理求得
1
NH = ，根据含 30 度角的直角三角形的性质即可求得 MN 的长；
（ 3 ）①当点 C 在 OB 上方时，②当点 C 在 OA 下方时，设 ON
= x
，则
4
NE
OE
ON
x
=
-
=
-
，勾股定理求解
即可；
【解析】（ 1 ）由折叠知，
1 180
80
2
OMN
CMN
CMA
Ð
= Ð
=
°- Ð
=
° ，
同理得
65
Ð ONM
=
° ，
∴
180
35
OMN
ONM
AOB =
°- Ð
- Ð
=
Ð
° .
（ 2 ）如图，∵ MN
= ME
，
∴
ENM
MEN
Ð
= Ð
，
设
OMN
CMN
x
Ð
= Ð
=
度，
∵
45
Ð AOB
=
° ，
∴
(45
)
ENM
MEN
x
Ð
= Ð
=
+
度，
∴
2 45
180
x
x
+
+
=
，
解得
x = 30
，即
30
Ð OMN
=
° ，
过 N 作 NH
^ OM
于 H ，
∵
2
ON =
，
∴
1
NH = ，
∴
MN = 2
.
（ 3 ）当点 C 在 OB 上方时，如图 3-1
∵
OM = 5
，
ME = 3
，直线 MC
^ OB
，
∴
OE = 4
，
设 ON
= x
，则
4
NE
OE
ON
x
=
-
=
-
，
又由折叠知：
5
CM
= OM
=
， CN
ON
x
=
=
，
∴
5
3
2
CE
CM
ME
=
-
=
-
=
，
在 Rt CNE
V
中，根据勾股定理，得
2
2
2
4
2
x
x
-
+
=
解得
5
x = 2
，即
5
2
ON =
；
当点 C 在 OA 下方时，如图 3-2
由折叠知： CM
= OM
， CN
= ON
，
∴
5
3
8
CE
CM
ME
=
+
=
+
=
，
设 ON
= x
，则
4
NE
ON
OE
x
=
-
=
-
，
在 Rt CNE
V
中，根据勾股定理，得
2
2
2
4
8
x
x
-
+
=
，
解得
x = 10
，即
ON = 10
.
【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，等边对等角求角度，勾股定理，分类讨论是解题的
关键．
3 ．如图 1 ，在 △ ABC ， AB ＝ AC ＝ 10 ， BC ＝ 12 ．
(1) 求 BC 边上的高线长．
(2) 点 E 是 BC 边上的动点，点 D 在边 AB 上，且 AD ＝ 4 ，连结 DE ．
①如图 2 ，当点 E 是 BC 中点时，求 △ BDE 的面积．
②如图 3 ，沿 DE 将 △ BDE 折叠得到 △ FDE ，当 DF 与 △ ABC 其中一边垂直时，求 BE 的长．
【答案】 (1)8
(2) ① 14.4 ；②
30
7 或 2 或 8.4
【分析】（ 1 ）如图，过 𝐴 作 𝐴𝑇 ⊥ 𝐵𝐶 于 𝑇 , 再求解 𝐵𝑇 = 𝐶𝑇 = 6, 再利用勾股定理求解高线长即可；
（ 2 ）①如图，连接 𝐴𝐸 , 利用等腰三角形的三线合一证明 𝐴𝐸 ⊥ 𝐵𝐶 , 𝐵𝐸 = 𝐶𝐸 = 6, 求解 𝐴𝐸 = 8, 可得 𝑆 △𝐴𝐵𝐸 =
1
2 𝐴𝐸
· 𝐵𝐸 = 24, 证明
𝑆 △𝐵𝐷𝐸
𝑆 △𝐴𝐷𝐸 =
6
4 =
3
2 , 从而可得答案；②分三种情况讨论：当 𝐷𝐹 ⊥ 𝐴𝐵 时，再利用等面积法与勾股定
理结合可得答案；当 𝐷𝐹 ⊥ 𝐵𝐶 于 𝐾 时，利用角平分线的性质及面积比可得答案；当 𝐷𝐹 ⊥ 𝐴𝐶 时，如图，则 ∠𝐹𝑇𝑀
= 90°, 证明 ∠𝐷𝐸𝐾 = ∠𝐷𝐸𝐹 = 45°, 再利用勾股定理可得答案 .
【解析】（ 1 ）解：如图，过 𝐴 作 𝐴𝑇 ⊥ 𝐵𝐶 于 𝑇 ,
∵ AB ＝ AC ＝ 10 ， BC ＝ 12 ，
∴ 𝐵𝑇 = 𝐶𝑇 = 6, 𝐴𝑇 =
10 2 ― 6 2 = 8,
所以 BC 边上的高线长为 8.
（ 2 ）解：①如图，连接 𝐴𝐸 ,
∵ 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 = 10, 𝐵𝐶 = 12, 𝐸 为 𝐵𝐶 的中点，
∴ 𝐴𝐸 ⊥ 𝐵𝐶 , 𝐵𝐸 = 𝐶𝐸 = 6,
由（ 1 ）得： 𝐴𝐸 = 8,
∴ 𝑆 △𝐴𝐵𝐸 =
1
2 𝐴𝐸 · 𝐵𝐸 =
1
2 × 6 × 8 = 24,
∵ 𝐴𝐷 = 4, 则 𝐵𝐷 = 10 ― 4 = 6,
∴
𝑆 △𝐵𝐷𝐸
𝑆 △𝐴𝐷𝐸 =
6
4 =
3
2 ,
∴ 𝑆 △𝐵𝐷𝐸 =
3
2 + 3 × 24 = 14.4.
②当 𝐷𝐹 ⊥ 𝐴𝐵 时，由对折可得：
∠𝐵𝐷𝐸 = ∠𝐹𝐷𝐸 = 45°,
过 𝐴 作 𝐴𝑇 ⊥ 𝐵𝐶 于 𝑇 , 连接 𝐷𝑇 , 过 𝐷 作 𝐷𝐾 ⊥ 𝐵𝐶 于 𝐾 , 过 𝐸 作 𝐸𝑁 ⊥ 𝐴𝐵 于 𝑁 ,
由①得： 𝑆 △𝐵𝐷𝑇 = 14.4, 𝐵𝑇 = 6,
∴
1
2 × 6 × 𝐷𝐾 = 14.4, 则 𝐷𝐾 = 4.8,
∵ 𝐸𝑁 ⊥ 𝐵𝐷,∠𝐵𝐷𝐸 = 45°, 设 𝐷𝑁 = 𝑥 ,
则 𝐸𝑁 = 𝐷𝑁 = 𝑥 ,
由
1
2 𝐵𝐷 · 𝐸𝑁 =
1
2 𝐵𝐸 · 𝐷𝐾 ,
∴ 𝐵𝐸 =
5
4 𝑥 ,
∴ 𝐵𝑁 =
( 5
4 𝑥 )
2 ― 𝑥 2 =
3
4 𝑥 , 而 𝐵𝑁 = 6 ― 𝑥 ,
∴
3
4 𝑥 = 6 ― 𝑥 , 解得： 𝑥 =
24
7 ,
∴ 𝐵𝐸 =
5
4 ×
24
7 =
30
7 ,
当 𝐷𝐹 ⊥ 𝐵𝐶 于 𝐾 时，则 𝐷𝐾 = 4.8,
∴ 𝐵𝐾 =
6 2 ― 4.8 2 = 3.6,
过 𝐸 作 𝐸𝑁 ⊥ 𝐵𝐷 于 𝑁 , 由对折可得 ∠𝐵𝐷𝐸 = ∠𝐹𝐷𝐸 ,
∴ 𝐸𝑁 = 𝐸𝐾 ,
∴
𝑆 △𝐵𝐷𝐸
𝑆 △𝐷𝐾𝐸 =
𝐵𝐸
𝐸𝐾 =
𝐵𝐷
𝐷𝐾 ,
∴
𝐵𝐸
𝐸𝐾 =
6
4.8 =
5
4 ,
∴ 𝐵𝐸 =
5
5 + 4 × 3.6 = 2,
当 𝐷𝐹 ⊥ 𝐴𝐶 时，如图，则 ∠𝐹𝑇𝑀 = 90°,
由对折可得 ∠𝐵 = ∠𝐹 , 而 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 = 10, 则 ∠𝐵 = ∠𝐶 ,
∴ ∠𝐶 = ∠𝐹 , 而 ∠𝐹𝑀𝑇 = ∠𝐶𝑀𝐸 ,
∴ ∠𝑀𝐸𝐶 = ∠𝑀𝑇𝐸 = 90°,
结合对折可得： ∠𝐷𝐸𝐾 = ∠𝐷𝐸𝐹 = 45°,
过 𝐷 作 𝐷𝐾 ⊥ 𝐵𝐶 于 𝐾 ,
同理可得： 𝐷𝐾 = 𝐸𝐾 = 4.8,
∴ 𝐵𝐾 =
6 2 ― 4.8 2 = 3.6,
∴ 𝐵𝐸 = 3.6 + 4.8 = 8.4,
综上：当 DF 与 △ ABC 其中一边垂直时， BE 的长为
30
7 或 2 或 8.4 .
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，勾股定理的应用，轴对称的性质，清晰的分类讨论，等面积法
是应用等都是解本题的关键 .
4 ．如图①，在长方形 ABCD 中，已知 AB =13 ， AD =5 ，动点 P 从点 D 出发，以每秒 1 个单位的速度沿线段
DC 向终点 C 运动，运动时间为 t 秒，连接 AP ，把 △ ADP 沿着 AP 翻折得到 △ AEP ．（注：长方形的对边平
行且相等，四个角都是直角）
(1) 如图②，射线 PE 恰好经过点 B ，求出此时 t 的值；
(2) 当射线 PE 与边 AB 交于点 F 时，是否存在这样的 t 的值，使得 FE = FB ？若存在，请求出所有符合题意的
t 的值；若不存在，请说明理由；
(3) 在动点 P 从点 D 到点 C 的整个运动过程中，若点 E 到直线 AB 的距离等于 3 ，则此时 t =___________ ．
【答案】 (1)1
(2) 25
13 或 13
(3) 5
2 或 10
【分析】（ 1 ）由长方形性质得知
90
C
D
Ð
= Ð
=
° ，
13
AB
= CD
=
，
5
BC
= AD
=
， AB
∥ CD
，再证
BPA
PAB
Ð
= Ð
，则
13
BP
= AB
=
，然后由勾股定理得
CP = 12
，则
1
DP = ，由此得出结论．
（ 2 ）分两种情况： E 在矩形内部和外部两种情况，分别根据等量关系列出方程即可解答．
（ 3 ）分两种情况： E 在 AB 上方和下方两种情况，由折叠性质与勾股定理即可解答．
【解析】（ 1 ） Q 四边形 ABCD 是长方形，
\
90
C
D
Ð
= Ð
=
° ，
13
AB
= CD
=
，
5
BC
= AD
=
， AB
∥ CD
，
\
DPA
PAB
Ð
= Ð
，
由翻折性质可知：
DPA
EPA
Ð
= Ð
，
\
BPA
PAB
Ð
= Ð
13
BP
AB
\
=
=
，
在 Rt
△ BCP
中，由勾股定理得：
2
2
2
2
13
5
12
CP
BP
BC
=
-
=
-
=
，
\
13 12
1
DP
CD
CP
=
-
=
-
= ，
Q DP
t
= ，
\
1
t = ．
（ 2 ）存在，分两种情况：
如图③，当点 E 在长方形内部时：
作 FG
⊥ CD
于 G ，设 BF
EF
x
=
=
，则
13
AF
AB
BF
x
=
-
=
-
由翻折可知，
5
AE
= AD
=
， PE
PD
t
=
=
\ 在 Rt
△ AEF
中，由勾股定理可得：
2
2
2
EF
AE
AF
+
=
，即
2
2
2
x +5 = 13
- x
，
解得：
72
x = 13
，即
72
EF = 13
，
72
97
13
13
13
13
AF
x
=
-
=
-
=
72
13
PF
PE
EF
t
\
=
+
= +
在
△ AEF
与 FGP
V
中：
AFE
FPG
AEF
FGP
AE
FG
Ð
= Ð
ì
ïÐ
= Ð
í
ï
=
î
\
AEF
FGP AAS
≌
△
△
PF
AF
\
=
\
72
97
13
13
t +
=
，解得：
25
t = 13
．
如图④，当点 P 运动至与点 C 重合时，在
△ AEF
与
△ PBF
中：
AFE
PFB
E
B
EA
BP
Ð
= Ð
ì
ï
Ð
= Ð
í
ï
=
î
\
AEF
PBF AAS
≌
△
△
， EF
BF
=
13
t
PD
CD
\ =
=
=
．
\ 综上，当
25
t = 13
或
t = 13
时，有 EF
= BF
．
（ 3 ）过点 E 作 MN
∥ AD
交 AB 于点 M ，交 CD 于点 N ．
如图⑤，点 E 在长方形内部： 则
EM = 3
，
2
EN
AD
EM
=
-
=
在 Rt AME
V
中，由勾股定理得：
2
2
2
2
5
3
4
AM
AE
EM
=
-
=
-
=
4
PN
AM
DP
t
\
=
-
=
-
\ 在 Rt
△ PNE
中，由勾股定理得：
