第五章 二元一次方程组（压轴专练）（六大题型）
题型 1 ：含参数的二元一次方程组
1 ．若方程组
1
1
1
2
2
2
a x
b y
c
a x
b y
c
+
=
ì
í
+
=
î
的解是
4
2
x
y
ì =
í
= -
î
，则方程组
1
1
1
1
2
2
2
2
3
2
3
2
a x
b y
a
c
a x
b y
a
c
+
=
-
ì
í
+
=
-
î
的解是（ ）
A ．
1
1
x
y
ì = -
í
=
î
B ．
1
1
x
y
ì = -
í
= -
î
C ．
5
3
1
x
y
ì =
ïí
ï
=
î
D ．
5
3
1
x
y
ì =
ïí
ï
= -
î
2 ．已知关于 x ， y 的方程组
2
2
3
3
1
x
y
k
x
y
k
+
=
ì
í
+
=
-
î
，以下结论其中不成立是（ ）．
A ．不论 k 取什么实数，
3
x
+ y
的值始终不变
B ．存在实数 k ，使得
0
x
+ y
=
C ．当
1
y
- x
= - 时，
1
k =
D ．当
k = 0
，方程组的解也是方程
2
3
x
- y
= - 的解
3 ．已知关于 x ， y 的方程组
2
6
3
6
x
y
a
x
y
a
+
=
-
ì
í
-
=
î
，给出下列说法：
① 当
1
a = 时，方程组的解也是
3
x
y
a
+
=
+ 的解；
② 若 2
3
x
+ y
=
，则
1
a = - ；
③ 无论 a 取何值， x ， y 的值不可能互为相反数；
④ x ， y 都为自然数的解有 5 对．
以上说法中正确的个数为（ ）
A ． 1
B ． 2
C ． 3
D ． 4
4 ．阅读以下内容：
已知有理数 m ， n 满足 m + n ＝ 3 ，且
3
2
7
4
2
3
2
m
n
k
m
n
+
=
-
ì
í
+
= -
î
求 k 的值．
三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路：
甲同学：先解关于 m ， n 的方程组
3
2
7
4
2
3
2
m
n
k
m
n
+
=
-
ì
í
+
= -
î
，再求 k 的值；
乙同学：将原方程组中的两个方程相加，再求 k 的值；
丙同学：先解方程组
3
2
3
2
m
n
m
n
+
=
ì
í
+
= -
î
，再求 k 的值．
（ 1 ）试选择其中一名同学的思路，解答此题；
（ 2 ）在解关于 x ， y 的方程组
1
18
2
1
a
x
by
b
x
ay
ì
+
-
=
ïí
+
+
=
ïî
①
② 时，可以用 ① ×7 ﹣ ② ×3 消去未知数 x ，也可以用 ① ×2+ ② ×5
消去未知数 y ．求 a 和 b 的值．
题型 2 ：新定义题
5 ．对于实数 x ， y 我们定义一种新运算 ( , )
L x y
ax
by
=
+
（其中 a ， b 均为非零常数），由这种运算得到的数我
们称之为芙蓉数，记为 ( , )
L x y ，其中 ( , )
x y 叫做芙蓉数对．若实数 x ， y 都取正整数，此时的 ( , )
x y 叫做芙蓉
正格数对．
(1) 若 ( , )
3
L x y
x
y
=
+
，则
3 1
,
2 2
L æ
ö =
ç
÷
è
ø
，
( 2
,
)
L
m
-
= ；（用含 m 的式子表示）
(2) 已知
3
( , )
L x y
x
cy
=
+
，其中
1 1
,
2
3 2
L æ
ö =
ç
÷
è
ø
．若 ( ,
)
L x kx = 18
其中 k 为整数，问是否存在满足这样条件的芙蓉
正格数对？若存在，请求出这样的芙蓉正格数对；若不存在，请说明理由．
6 ．定义：以二元一次方程 ax
by
c
+
=
的解为坐标的点 ( , )
x y 的全体叫做这个方程的图象，这些点叫做该图象
的关联点．
(1) 在 ①
5
æ 1, 4
ö
ç -
÷
è
ø ； ②
1
æ 1, 2
ö
ç
÷
è
ø ； ③ ( 2,2)
-
三点中，是方程 3
4
2
x
y
+
=
图象的关联点有 ______________ ；（填序号）
(2) 已知 A ， C 两点是方程 3
4
2
x
y
+
=
图象的关联点， B ， C 两点是方程 2
5
x
- y
=
图象的关联点．若点 A 在 x
轴上，点 B 在 y 轴上，求四边形 AOBC 的面积．
(3) 若
,
M m n ，
1,
-1
N m
n
+
，
,
P p q 三点是二元一次方程 ax
by
c
+
=
图象的关联点，探究 m ， n ， p ， q 之
间的关系，请直接写出你的结论．
7 ．在平面直角坐标系 xOy 中，对于与原点不重合的两个点
,
P a b 和
,
Q c d ，关于 x ， y 的方程
1
ax
+ by
= 称为
点 P 的 “ 照耀方程 ” ．若
x
c
y
d
ì =
í
=
î
是方程
1
ax
+ by
= 的解，则称点 P “ 照耀 ” 了点 Q
例如，点
P 5,7
的 “ 照耀方程 ” 是 5
7
1
x
y
+
= ，且
3
2
x
y
ì =
í
= -
î
是该方程的解，则点
P 5,7
“ 照耀 ” 了点
Q 3, 2
-
．
(1) 下列点中被点
A 3, 2
-
“ 照耀 ” 的点为 ____________ ．
1
B - 1,1
，
B 2 4, 6
，
B 3 5,7
(2) 若点
,
C p q 同时被点
D 5, 9
-
和点
E - 3,7
“ 照耀 ” ，请求出 p ， q
(3) 若 n 个不同的点
1 P ，
2 P ， … ，
n P ，每个点都 “ 照耀 ” 了其后所有的点，
如
1 P “ 照耀 ” 了
2 P ，
3 P ， … ，
n P ，
2 P “ 照耀 ” 了
3 P ，
4 P ， … ，
n P ， ……
1
n P - “ 照耀 ” 了
n P ，
请写出 n 的最大值，并说明理由．
8 ．当
,
m n 都是实数，且满足 2
8
m
n
=
+
，就称点
2
1,
2
n
P m
+
æ
ö
-
ç
÷
è
ø 为 “ 爱心点 ” ．
（ 1 ）判断点
A 5,3
、
B 4,8
哪个点为 “ 爱心点 ” ，并说明理由；
（ 2 ）若点
, 4
A a -
、
B 4,
b 是 “ 爱心点 ” ，请判断 A 、 B 两点的中点 C 在第几象限？并说明理由；
（ 3 ）已知 P 、 Q 为有理数，且关于 x 、 y 的方程组
3
3
3
x
y
p
q
x
y
p
q
ì +
=
+
ïí
-
=
-
ïî
解为坐标的点
,
B x y 是 “ 爱心点 ” ，求
p 、 q 的值．
9 ．规定：对于平面直角坐标系 xOy 中任意一点
( , )
P x y ，若
2
y
= x
，即此点的纵坐标是横坐标的两倍，此时
我们称点
( , )
P x y 为 “ 雅赞点 ” ．例如：对于点 (1,2) ，它的纵坐标 2 是横坐标 1 的 2 倍，所以点 (1,2) 是 “ 雅赞
点 ” ．
(1) 以下各点： ① (3,6) ② ( 4, 2)
-
-
③ (0,0) 中 “ 雅赞点 ” 是 ________ （填序号即可）；
(2) 若点
(
1,
1)
A p
q
-
+
是 “ 雅赞点 ” ，且 A 点向右平移 3 个单位后得到 B 点， B 点到坐标轴的距离相等，求此时 “ 雅
赞点 ” A 点的坐标；
(3) 已知 “ 雅赞点 ”
( , )
C m n ，
( , )
D s t ，关于 x ， y 的方程组
3
2
2
x
y
m
s
k
x
y
ì
+
=
ïí
ï
-
=
+
-
î
与
6
2
2
1
4
n
t
k
x
x
y
+ =
-
ìïí
-
= -
ïî
有相同的解．
① 用含 k 的式子表示 m 和 s ；
② 若对于任意 k ，等式
2
3
2024
s
m
ak
z
-
=
-
+ 恒成立，求此时
100
1000
18
x
z
a
y
+
-
的值．
10 ．定义：对任意一个三位数 a ，如果 a 满足百位数字与十位数字相同，个位数字与十位数字不相同，且都
不为零，那么称这个三位数为 “ 追全数 ” ．将一个 “ 追全数 ” 的各个数位上的数字交换后得到新的三位数，把所
有的新三位数的和与 111 的商记为
f a ．例如：
a = 112
， a 为 “ 追全数 ” ，将 a 各个数位上的数字交换后得
到新的三位数有 121 、 211 、 112 ，所有新三位数的和为 121
211 112
444
+
+
=
，和与 111 的商为 444 111
4
¸
=
，
所以
112
4
f
=
．根据以上定义，数 , p q 是两个三位数，它们都是 “ 追全数 ” ， p 的个位数是 1 ， q 的个位数
字是 3 ， p
£ q
．规定
p
k
q
=
，当
f
p
+ f q
的和是 13 的倍数时，则 k 的最小值为
．
题型 3 ：二元一次方程组的实际应用
11 ．为了同学们的身体健康，学校初、高中部分别购买了 A 、 B 、 C 三种健身器材．已知初中部购买 A 、 B 、
C 的数量之比为 3: 4:3 ， A 、 B 、 C 的单价之比为 2:1:1 ；高中部购买 A 种器材比初中部购买 A 种器材多出的
费用占高中部购买三种器材总费用的 1
10 ，高中部购买 A 种工具的单价比初中部少 20% ，高中部购买 B 种工
具超出初中部 B 种工具的费用与高中部购买 C 种工具超出初中部购买 C 种工具的费用之比为 2 :3 ；高中部
购买 A 种工具的费用与购买 B 种工具的费用之比为 4:3 ；那么初中部购买 A 种工具的数量与高中部购买的 A
种工具的数量之比为
．
12 ．某超市销售水果时，将 A 、 B 、 C 三种水果采用甲、乙、丙三种搭配方式装箱进行销售，每箱的成本分
别为箱中 A 、 B 、 C 三种水果成本之和，箱子成本忽略不计，甲种方式每箱分别装 A 、 B 、 C 三种水果 6kg ，
3kg ， 1kg ，乙种方式每箱分别装 A 、 B 、 C 三种水果 2kg ， 6kg ， 2kg ，甲种方式每箱的总成本是每千克 A 水
果成本的 12.5 倍，每箱甲的销售利润率为 20% ，每箱甲比每箱乙的售价低 25% ，丙每箱在成本上提高 40%
标价后打八折销售，获利为每千克 A 水果成本的 1.2 倍，当销售甲、乙、丙三种方式的水果数量之比为 2 ：
1 ： 6 时，销售的总利润率为 ．
13 ．某医药公司销售甲、乙两种型号的防疫口罩共 20 万只，其中成本、售价如表：
甲
乙
成本
1.2 元 / 只
0.4 元 / 只
售价
1.8 元 / 只
0.6 元 / 只
(1) 直接填空：若该公司销售甲种型号的口罩 x 万只，则总销售额为 ______ 万元．（用含 x 的代数式表示）
(2) 当所有口罩全部销售时，该公司可获利润 8.8 万元，求该公司销售甲、乙两种型号的防疫口罩分别是多
少万只？
(3) 小明有 16.2 元的零花钱，打算购买甲和乙两种口罩（两种都要买），正好赶上口罩价格调整，其中甲型
口罩售价上涨 50% ，乙型口罩按原价出售，则小明有多少种不同的购买方案可以使钱正好花完？请设计出
这些方案．
14 ．杂交水稻的发展对解决世界粮食不足问题有着重大的贡献，某超市购进 A 、 B 两种大米销售，其中两种
大米的进价、售价如下表：
