第五章 二元一次方程组 知识归纳与题型突破（十类题型清单）
01 思维导图
02 知识速记
一、二元一次方程组的相关概念
1. 二元一次方程的定义
定义： 方程中含有两个未知数（ x 和 y ），并且未知数的次数都是 1 ，像这样的方程叫做二元一次方
程 .
要点：
（ 1 ）在方程中 “ 元 ” 是指未知数， “ 二元 ” 就是指方程中有且只有两个未知数 .
（ 2 ） “ 未知数的次数为 1” 是指含有未知数的项（单项式）的次数是 1.
（ 3 ）二元一次方程的左边和右边都必须是整式 .
2. 二元一次方程的解
定义： 使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解 .
要点：
二元一次方程的每一个解，都是一对数值，而不是一个数值，一般要用大括号联立起来，即二元一次方
程的解通常表示为
b
a
＝
＝
y
x
的形式 .
3. 二元一次方程组的定义
定义： 把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组 . 此外，组成方
程组的各个方程也不必同时含有两个未知数 . 例如，二元一次方程组 3
4
5
2
x
y
x
+
=
=
.
要点：
（ 1 ）它的一般形式为
1
1
1
2
2
2
a x
b y
c
a x
b y
c
+
=
+
=
（其中
1 a ，
2 a ，
1 b ，
2 b 不同时为零）．
（ 2 ）更一般地，如果两个一次方程合起来共有两个未知数，那么它们组成一个二元一次方程组．
（ 3 ）符号 “ ” 表示同时满足，相当于 “ 且 ” 的意思．
4. 二元一次方程组的解
定义： 一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解 .
要点：
（ 1 ）方程组中每个未知数的值应同时满足两个方程，所以检验是否是方程组的解，应把数值代入两个方程，
若两个方程同时成立，才是方程组的解，而方程组中某一个方程的某一组解不一定是方程组的解 .
（ 2 ）方程组的解要用大括号联立；
（ 3 ）一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组
=
+
=
+
6
2
5
2
y
x
y
x
无解，而方程组
=
+
=
+
2
2
2
1
y
x
y
x
的解有无数个 .
二、二元一次方程组的解法
1. 解二元一次方程组的思想
转化
消元
一元一次方程
二元一次方程组
2. 解二元一次方程组的基本方法：代入消元法、加减消元法和图像法
（ 1 ）用代入消元法解二元一次方程组的一般过程：
①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有 x （或 y ）的代数式表示 y （或 x ），即
变成
b
ax
y
+
=
（或
b
ay
x
+
=
）的形式；
②将
b
ax
y
+
=
（或
b
ay
x
+
=
）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去 y （或 x ），得到
一个关于 x （或 y ）的一元一次方程；
③解这个一元一次方程，求出 x （或 y ）的值；
④把 x （或 y ）的值代入
b
ax
y
+
=
（或
b
ay
x
+
=
）中，求 y （或 x ）的值；
⑤用 “ ” 联立两个未知数的值，就是方程组的解 .
要点：
(1) 用代入法解二元一次方程组时，应先观察各项系数的特点，尽可能选择变形后比较简单或代入后化简比
较容易的方程变形；
(2) 变形后的方程不能再代入原方程，只能代入原方程组中的另一个方程；
(3) 要善于分析方程的特点，寻找简便的解法 . 如将某个未知数连同它的系数作为一个整体用含另一个未知
数的代数式来表示，代入另一个方程，或直接将某一方程代入另一个方程，这种方法叫做整体代入法 . 整体
代入法是解二元一次方程组常用的方法之一，它的运用可使运算简便，提高运算速度及准确率 .
（ 2 ）用加减消元法解二元一次方程组的一般过程：
①根据 “ 等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于 0 的数，等式仍然成立 ” 的性质，将原方程组化成
有一个未知数的系数绝对值相等的形式；
②根据 “ 等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程 ” 的性质，将变形后的
两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程；
③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；
④把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值；
⑤将两个未知数的值用 “ ” 联立在一起即可 .
要点：
当方程组中有一个未知数的系数的绝对值相等或同一个未知数的系数成整数倍时，用加减消元法较简单 .
（ 3 ）图像法解二元一次方程组的一般过程 ：
①把二元一次方程化成一次函数的形式．
②在直角坐标系中画出两个一次函数的图像，并标出交点．
③交点坐标就是方程组的解．
要点：
二元一次方程组无解 <=> 一次函数的图像平行（无交点）
二元一次方程组有一解 <=> 一次函数的图像相交（有一个交点）
二元一次方程组有无数个解 <=> 一次函数的图像重合（有无数个交点）
利用图像法求二元一次方程组的解是近似解，要得到准确解，一般还是用代入消元法和加减消元法解方程
组 . 相反，求两条直线的交点坐标可以转化为求这两条直线对应的函数表达式联立的二元一次方程组的解 .
三、实际问题与二元一次方程组
要点：
（ 1 ）解实际应用问题必须写 “ 答 ” ，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，
不符合题意的解应该舍去；
（ 2 ） “ 设 ” 、 “ 答 ” 两步，都要写清单位名称；
（ 3 ）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组 .
四、二元一次方程（组）与一次函数
1. 二元一次方程与一次函数的关系
（ 1 ） 任 何 一 个 二 元 一 次 方 程
(
0,
)
ax
by
c a
b
c
+
=
、 ¹
为常数 都 可 以 变 形 为
-
(
0,
)
a
c
y
x
a
b
c
b
b
=
+
、 ¹
为常数 即为一个一次函数，所以每个二元一次方程都对应一个一次函数 .
（ 2 ）我们知道每个二元一次方程都有无数组解，例如：方程
5
x
+ y
=
我们列举出它的几组整数解有
0,
5;
x
y
=
=
5,
0;
x
y
=
=
2,
3
x
y
=
=
，我们发现以这些整数解为坐标的点（ 0 ， 5 ），（ 5 ， 0 ），（ 2 ， 3 ）恰好在一次函数 y ＝
x + 5
的图像上，反过来，在一次函数
x
y
= 5
的图像上任取一点，它的坐标也适合方程
5
x
+ y
=
.
要点：
1. 以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的函数图像上；
2. 一次函数图像上的点的坐标都适合相应的二元一次方程；
3. 以二元一次方程的解为坐标的所有点组成的图像与相应一次函数的图像相同 .
2. 二元一次方程组与一次函数
每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线 . 从 “ 数 ” 的角度看，解方程组相当
于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从 “ 形 ” 的角度看，解方程组相当于
确定两条直线交点的坐标 .
3. 用二元一次方程组确定一次函数表达式
待定系数法：先设出函数表达式，再根据所给的条件确定表达式中未知数的系数，从而得到函数表达
式的方法，叫做待定系数法 .
利用待定系数法解决问题的步骤：
1. 确定所求问题含有待定系数解析式 .
2. 根据所给条件 , 列出一组含有待定系数的方程 .
3. 解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决 .
五、三元一次方程组
1 ．定义： 含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的方程叫做三元一次方程；含有三个相同的
未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是 1 ，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程
组 .
4
12,
3
2
5,
5
1,
x
y
z
x
y
z
x
y
z
+
=
ï
+
+
=
ï
+
=
2
7
3,
3
1,
3
4
a
b
a
c
b
c
+
=
ï
=
ï +
=
等都是三元一次方程组 .
要点： 理解三元一次方程组的定义时，要注意以下几点：
（ 1 ）方程组中的每一个方程都是一次方程；
（ 2 ）如果三个一元一次方程合起来共有三个未知数，它们就能组成一个三元一次方程组 .
2 ．三元一次方程组的解法
解三元一次方程组的基本思想仍是消元，一般的，应利用代入法或加减法消去一个未知数，从而化三元
为二元，然后解这个二元一次方程组，求出两个未知数，最后再求出另一个未知数．解三元一次方程组的
一般步骤是：
（ 1 ）利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知
数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；
（ 2 ）解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；
（ 3 ）将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程；
（ 4 ）解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；
（ 5 ）将求得的三个未知数的值用 “{” 合写在一起．
要点：
（ 1 ）有些特殊的方程组可用特殊的消元法，解题时要根据各方程特点寻求比较简单的解法．
（ 2 ）要检验求得的未知数的值是不是原方程组的解，将所求得的一组未知数的值分别代入原方程组里的每
一个方程中，看每个方程的左右两边是否相等，若相等，则是原方程组的解，只要有一个方程的左、右两
边不相等就不是原方程组的解．
3. 三元一次方程组的应用
列三元一次方程组解应用题的一般步骤：
（ 1 ）弄清题意和题目中的数量关系，用字母 ( 如 x ， y ， z) 表示题目中的两个 ( 或三个 ) 未知数；
（ 2 ）找出能够表达应用题全部含义的相等关系；
（ 3 ）根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组；
（ 4 ）解这个方程组，求出未知数的值；
（ 5 ）写出答案 ( 包括单位名称 ) ．
要点：
(1) 解实际应用题必须写 “ 答 ” ，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不
符合题意的应该舍去．
(2)“ 设 ” 、 “ 答 ” 两步，都要写清单位名称，应注意单位是否统一．
(3) 一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组．
题型一 二元一次方程组的有关概念及应用
例题
1 ．下列方程组是二元一次方程组的有 ( ) 个
03 题型归纳
(1)
2
1
2
m
n
m
n
=
+
=
(2)
2
3
1
x
y
y
z
=
+
=
(3)
1
2
5
x
x
y
=
+
=
(4)
2
5
4
x
y
x
y
+
=
=
A ． 1 个
B ． 2 个
C ． 3 个
D ． 4 个
【答案】 B
【分析】根据二元一次方程组的概念求解即可．
【解析】（ 1 ）、（ 3 ）是二元一次方程组；
（ 2 ）是三元一次方程组；
（ 4 ）是二元二次方程组．
故选 ∶ B ．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的概念，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的概念．
巩固训练
2 ．已知方程
1
2
3
2
3
5
m
n
x
y
+
+
=
是二元一次方程，则 m
+ n
= （ ）
A ． 4
B ． 4
C ． 2
D ． 2
【答案】 C
【分析】先根据二元一次方程的定义得出
1
1,2
3
1
m
n
+ =
= ，继而求出 m 、 n 的值，即可求解．
【解析】 ∵ 方程
1
2
3
2
3
5
m
n
x
y
+
+
=
是二元一次方程，
∴
1
1,2
3
1
m
n
+ =
= ，
∴
0,
2
m
n
=
=
，
∴
0
2
2
m
+ n
=
+
=
，
故选： C ．
【点睛】本题考查了二元一次方程的概念，解一元一次方程和求代数式的值，熟练掌握含有两个未知数，
并且含有未知数的项的次数都是 1 的整式方程是二元一次方程是解题的关键．
3 ．下列方程： ①
1
x
+ y
= ； ②
2
2
1
x
y
= ； ③
2
2
1
x
+ y
= ； ④ 5
1
xy = ； ⑤
2
1
x = ； ⑥
1
4
2
x
y
+
=
，其中是二
元一次方程的是（ ）
A ． ①⑥
B ． ①②⑥
C ． ①②④
D ． ①②④⑥
【答案】 A
【分析】根据二元一次方程的定义，即含有两个未知数，且两个未知数的次数都为 1 的整式方程叫二元一
次方程逐一判断即可．
【解析】解： ①
1
x
+ y
= ； ⑥
1
4
2
x
y
+
=
是二元一次方程，故符合题意；
②
2
2
1
x
y
= ，不是整式方程，不合题意；
③
2
2
1
x
+ y
= ， ④ 5
1
xy = ， ⑤
2
1
x = ；次数不为 1 ，不是二元一次方程，不合题意；
故选： A ．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程的定义，熟练掌握含有两个未知数，且两个未知数的次数都为 1 的
整式方程是二元一次方程是解题的关键．
4 ．方程组（ 1 ）
2
0
3
6
x
x
y
=
+
=
，（ 2 ）
4
1
x
y
x
z
+
=
=
，（ 3 ）
2
4
2
3
1
x
y
x
y
x
y
=
ï +
=
ï
=
，（ 4 ）
3
1
4
x
y
xy
=
+ =
中，属于二元一次方程组有
（ ）
A ． 1 个
B ． 2 个
C ． 3 个
D ． 4 个
【答案】 B
【分析】根据二元一次方程组的定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二
元一次方程组进行判定即可．
【解析】解：
2
0
(1)
3
6
x
x
y
=
+
=
符合二元一次方程组的定义；
4
(2)
1
x
y
x
z
+
=
=
中含有 x 、 y 、 z 三个未知数，不是二元一次方程组；
2
(3)
4
2
3
1
x
y
x
y
x
y
=
ï +
=
ï
=
符合二元一次方程组的定义；
3
(4)
1
4
x
y
xy
=
+ =
中含有未知项的最高次数为 2 ，不是二元一次方程组；
综上，是二元一次方程组的有 2 个，
故选： B ．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义：由两个一元一次方程所组成的方程组称为二元一次方程组．
5 ．若方程
3
1
3
2
5
4
+
=
m
n
x
y
是二元一次方程，则 m =
， n =
．
【答案】
2
3
1
【分析】根据二元一次方程的定义求解即可．
【解析】解： ∵ 方程
3
1
3
2
5
4
+
=
m
n
x
y
是二元一次方程，
∴ 3
1
1
m = ， 3
2
1
n
= ，
解得
2
m = 3
，
1
n = ．
故答案为： 2
3 ； 1
．
【点睛】本题考查的是二元一次方程的定义，熟知含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的
方程叫做二元一次方程是解答此题的关键．
题型二 解二元一次方程组
例题
6 ．用代入法解方程组
2
3
3
2
8
y
x
x
y
=
=
①
② 时，将方程 ① 代入 ② 中，所得的方程正确的是（ ）
A ． 3
4
3
8
x
+ x
=
B ． 3
4
6
8
x
+ x
=
C ． 3
4
6
8
x
x
+
=
D ． 3
2
6
8
x
+ x
=
【答案】 C
【分析】按照题干思路直接作答即可．
【解析】
2
3
3
2
8
y
x
x
y
=
=
①
② ，
方程 ① 代入 ② 中，得：
3
2 2
3
8
x
x
=
，
去括号为： 3
4
6
8
x
x
+
=
，
故选： C ．
【点睛】本题主要考查了代入消元的知识，细心计算是关键．去括号时，若括号前是负号，去括号后，括
号内的各项均要变号．
巩固训练
7 ．在方程 2
2
3 x
y
=
中用含 x 的式子表示 y ，则 y =
．
【答案】 2
2
3 x
【分析】本题考查了代数式，熟悉掌握运算法则是解题的关键．
根据运算法则进行变形即可．
【解析】解： 2
2
3 x
y
=
，
方程两边同时加上 y ，得： 2
2
3 x
y
y
y
+
=
+
，即 2
2
3 x
y
=
+
，
方程两边再同时减去 2 ，得： 2
2
2
2
3 x
y
=
+
，即
2
2
3
y
x
=
．
故答案为： 2
3 x 2
．
8 ．解二元一次方程组
3
2
7
4
13
x
y
x
y
+
=
=
①
② ，下列能消元的是（ ）
A ． ① + ② ×2
B ． ① - ② ×2
C ． ① ×2+ ②
D ． ① ×2- ②
【答案】 A
【分析】分别将方程组代入各选项的式子中，计算即可求解．
【解析】解： A. 由 ① + ② ×2 可得： 11
x = 33
，消去了 y ，故符合题意；
B. 由 ① - ② ×2 可得：
4
19
x
+ y
=
，没有消去未知数，不合题意；
C. 由 ① ×2+ ② 可得： 10
3
27
x
+ y
=
，没有消去未知数，不合题意；
D. 由 ① ×2- ② 可得： 2
3
1
x
+ y
= ，没有消去未知数，不合题意；
故选： A ．
【点睛】本题主要考查加减消元法解二元一次方程组，掌握加减消元法的解题步骤是解决问题的关键．
9 ．若
2
5
x
y
=
=
是关于 x ， y 的二元一次方程
1
ax
y
= 的解，则 a 的值为（ ）
A ． 1
B ． 2
C ． 3
D ． 4
【答案】 C
【分析】把 x 与 y 的值代入已知方程计算即可求出 a 的值．
【解析】解： ∵
2
5
x
y
=
=
是关于 x ， y 的二元一次方程
1
ax
y
= 的解，
∴ 2
5
1
a
= ，
解得：
a = 3
，
故选： C ．
【点睛】此题考查了二元一次方程的解，解题的关键是熟记方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数
的值．
10 ．解下列方程组．
(1)
3
2
3
8
y
x
x
y
=
+
+
=
(2)
3
2
8
7
4
15
x
y
x
y
+
=
+
=
【答案】 (1)
1
5
x
y
=
=
(2)
1
11
2
x
y
=
ï
=
ï
【分析】（ 1 ）利用代入消元法求解；
（ 2 ）利用加减消元法求解．
【解析】（ 1 ）解：
3
2
3
8
y
x
x
y
=
+
+
=
①
②
把 ① 代入 ② 得 3
3
2
8
x
+ x
+
=
，
解得 𝑥 = 1 ，
把 𝑥 = 1 代入 ① 得
y = 5
，
∴ 原方程组的解为
1
5
x
y
=
=
；
（ 2 ）解：
3
2
8
7
4
15
x
y
x
y
+
=
+
=
①
②
2
´
②
①
得 𝑥 = ― 1 ，
把 𝑥 = ― 1 代入 ① 得 3
2
8
y
+
=
，
11
2
y =
，
∴ 原方程组的解为
1
11
2
x
y
=
ï
=
ï
．
【点睛】本题考查利用代入消元法与加减消元法解二元一次方程组，能够根据所给方程组的特点选择合适
的方法是快速解题的关键．
11 ．解下列方程组：
(1)
3
2
4
2
1
2
5
7
y
x
y
x
x
y
+
=
+
=
；
