第四章 一次函数（压轴专练）（十大题型）
题型 1 ：存在性问题
1 ．如图：直线
3
y
= kx
+ 与 x 轴、 y 轴分别交于 A 、 B 两点，
4
3
OA
OB
=
，点
( , )
C x y 是直线
3
y
= kx
+ 上与 A 、
B 不重合的动点．
(1) 求直线 AB 的解析式；
(2) 作直线 OC ，当点 C 运动到什么位置时， AOB
V
的面积被直线 OC 分成 1:2 的两部分；
(3) 过点 C 的另一直线 CD 与 y 轴相交于 D 点，是否存在点 C 使
△ BCD
与 AOB
V
全等？若存在，求出点 C 的
坐标；若不存在，说明理由．
2 ．如图，已知直线 1 l 与 x 轴、 y 轴分别交于点
A 2,0
、
B 0, 4
-
，将直线 1 l 向左平移 3
2 l ，直线 2 l 与 x 轴、 y 轴分别交于点 C 、 D ，连接 AD 、 BC ．
(1) 求直线 2 l 的函数表达式；
(2) 求四边形 ABCD 的面积；
(3) 在直线 2 l 上是否存在点 E ，使得
V ADE
的面积是四边形 ABCD 面积的 2 倍 ? 若存在，求出点 E 的坐标；若
不存在，请说明理由．
题型 2 ：最值问题
3 ．如图，直线
3
9
2
y
x
= -
+
交 y 轴于点 A ，交 x 轴于点 B ，点
C 4,
t 在第四象限，点
( ,0)
P m
在线段 OB 上．连
接 OC ， BC ，过点 P 作 x 轴的垂线，交边 AB 于点 E ，交折线段 OCB 于点 F ．
(1) 求点 A ， B 的坐标；
(2) 设点 E ， F 的纵坐标分别为
1 y ，
2 y ，当 0
4
£ m
£
时，
1
2
y
- y
为定值，求 t 的值；
(3) 在（ 2 ）的条件下，分别过点 E ， F 作 EG ， FH 垂直于 y 轴，垂足分别为点 G ， H ，当 0
6
£ m
£
时，求长
方形 EGHF 周长的最大值．
4 ．如图（ 1 ），在平面直角坐标系中，直线
3
3
4
y
x
= -
+
交坐标轴于 A ， B 两点，过点
C - 3,0
作 CD 交 AB
点 D ，交 y 轴于点 E ，且
COE
BOA
△
≌△
．
(1) B 的坐标为 _________ ，线段 OA 的长为 _________ ．
(2) 求直线 CD 的解析式和点 D 的坐标．
(3) 如图（ 2 ），点 M 是线段 CE 上一动点（不与点 C ， E 重合）， ON
OM
交 AB 于点 N ，连结 MN ．
① 在点 M 移动过程中，线段 OM 与 ON 数量关系是否不变，并证明；
② 连结 MN ，当 DMN
V
面积最大时，求 OM 的长度和 DMN
V
的面积．
题型 3 ：动点问题
5 ．如图（ 1 ），点
3,0 ,
0,4
A
B
为平面直角坐标系中两点，过点
C - 4,0
作 CD 交 AB 于 D ，交 y 轴于点
E ．且 COE
BOA
V
≌ V
．
(1) 求直线 CD 解析式；
(2) 如图 2 ，点 M 是线段 CE 上一动点（不与点 C 、 E 重合）， ON
OM
交 AB 于点 N ，连接 MN ．
① 点 M 移动过程中，线段 OM 与 ON 数量关系是否不变，并证明；
② 当 OMN
V
面积最小时，求点 M 的坐标和 OMN
V
面积．
6 ．在直角坐标系 xOy 中，直线 1 :
4
l
y
x
= - + 与 x 轴、 y 轴分别交于点 A ，点 B ．直线 2 :
(
0)
l
y
mx
m m
=
+
>
与 x
轴， y 轴分别交于点 C ，点 D ，直线 1 l 与 2 l 交于点 E ．
(1) 若点 E 坐标为 2 ,
3 n
æ
ö
ç
÷
è
ø ．
ⅰ) 求 m 的值；
ⅱ) 点 P 在直线 2 l 上，若
3
AEP
BDE
S
S
=
V
V
，求点 P 的坐标；
(2) 点 F 是线段 CE 的中点，点 G 为 y 轴上一动点，是否存在点 F 使
△ CFG
为以 FC 为直角边的等腰直角三角
形．若存在，求出 m 的值，若不存在，请说明理由．
7 ．在平面直角坐标系中，点
A 0,2
．
(1) 经过点 A 且与直线
3
3
y
x
= -
平行的直线交 x 轴于点 B ，试求 B 点坐标，并直接写出
Ð ABO
的度数；
(2) 如图 1 ，若
B 4,0
，过
M 1,0
的直线与直线 AB 所夹锐角为 45 ° ，求该直线与直线 AB 交点的横坐标；
(3) 如图 2 ，在（ 1 ）的条件下，现有点
,
C m n 在线段 AB 上运动，点
3
2,0
D
- m
+
在 x 轴上， M 为线段 CD
的中点．直接写出当 C 从点 A 开始运动，到点 B 停止运动， M 点的运动路径长为 ．
题型 4 ：对称问题
8 ．在平面直角坐标系中，点 A 、 C 分别是 x 轴和 y 轴上的两点，点
A a ,0
，
0,
1
C
b
- +
且 , a b 满足
2
2
10
8
41
0
a
b
a
b
+
-
+
+
=
．
(1) 如图 1 ，求 A 、 C 两点坐标．
(2) 点 P 是 AOC
V
内一点，点 P 的坐标为 ( , 2
5)
m
- m
+
，点 Q 在第二象限，连接 PC ， QC ，
90
Ð PCQ
=
° ， PC
= QC
，
请用含 m 的式子表示点 Q 的坐标．
(3) 在（ 2 ）的条件下，点 B 在 x 轴上与点 A 关于 y 轴对称，过 Q 做 QE
OC
于点 E ，延长 QE 交 AC 于点 M ，
延长 MP 交 x 轴于点 N ，连接 BM ，取 BM 的中点 G ，连接 QG 并延长交 x 轴于点 H ，当
6
QM
= HN
时，求
点 P 的坐标．
9 ．如图 1 ，在平面直角坐标系中，直线
4
16
3
y
x
= -
+
交 x 轴于点 A ，交 y 轴于点 B ，直线
4
3
y
x
=
与直线 AB
相交于点 C ．
(1) 求点 A ， C 的坐标．
(2) 现有一动点 P 沿折线 O
C
B
O
®
®
®
以 2 个单位长度 / 秒的速度运动，运动时间为 t 秒．
① 当
△ OAP
为等腰三角形时，求出所有满足条件的 t 的值．
② 如图 2 ，已知 x 轴正半轴上有一动点 Q ，当点 P 在线段 OB 上运动时，连接 CP ， CQ ．作
△ CQA
关于直
线 CQ 的对称图形 CQA ¢
V
，作
△ CPB
关于直线 CP 的对称图形 CPB ¢
V
，射线 CA ¢ 交 x 轴于点 M ．当 B P
A Q
¢
¢
∥
时，是否存在 t 的值，使 MQA ¢
V
恰好是直角三角形？若存在，请直接写出 t 的值；若不存在，请说明理由．
题型 5 ：旋转问题
10 ．在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，直线
4
0
y
kx
k k
=
-
¹
交 x 轴的正半轴于点 A ，交 y 轴的正半
轴于点
,
B AB = 4 5
．
