第四章 一次函数 知识归纳与题型突破（十三类题型清单）
01 思维导图
02 知识速记
一、函数的相关概念
一般地，在一个变化过程中 . 如果有两个变量
与
，并且对于
的每一个确定的值，
都有唯一确
定的值与其对应，那么我们就说
是自变量，
是
的函数 .
是
的函数，如果当
＝
时
＝
，那么
叫做当自变量为
时的函数值 .
函数的表示方法有三种：解析式法，列表法，图象法 .
二、一次函数的相关概念
一次函数的一般形式为
，其中
、 是常数， ≠ 0. 特别地，当
＝ 0 时，一次函数
即
（
≠ 0 ），是正比例函数 .
三、一次函数的图象及性质
1 、函数的图象
如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，
就是这个函数的图象 .
要点： 直线
可以看作由直线
平移 |
| 个单位长度而得到（当
＞ 0 时，向上平移；当
＜ 0 时，向下平移） . 说明通过平移，函数
与函数
的图象之间可以相互转化 .
2 、一次函数性质及图象特征
掌握一次函数的图象及性质（对比正比例函数的图象和性质）
要点： 理解
、
对一次函数
的图象和性质的影响：
（ 1 ）
决定直线
从左向右的趋势（及倾斜角
的大小 —— 倾斜程度）， 决定它与
轴交点
x
y
x
y
x
y
x
y
x
x
a
y
b
b
a
y
kx
b
=
+
k
b
k
b
y
kx
b
=
+
y
= kx
k
y
kx
b
=
+
y
= kx
b
b
b
y
kx
b
=
+
y
kx
=
k
b
y
kx
b
=
+
k
y
kx
b
=
+
a
b
y
的位置，
、
一起决定直线
经过的象限．
（ 2 ）两条直线
：
和
：
的位置关系可由其系数确定：
与
相交；
，且
与
平行；
，且
与
重合；
（ 3 ）直线与一次函数图象的联系与区别
一次函数的图象是一条直线；特殊的直线
、直线
不是一次函数的图象 .
四、用函数的观点看方程、方程组、不等式
函 数 问 题
方程（组）、不等式问题
从 “ 数 ” 的角度看
从 “ 形 ” 的角度看
求关于
、
的一元一次
方程
＝ 0 （
≠ 0 ）
的解
为何值时，函数
的
值为 0 ？
确 定 直 线
与
轴
（即直线
＝ 0 ）交点的横坐
标
求关于
、
的二元一次
方程组
的解．
为何值时，函数
与
函数
的值相等？
确定直线
与直线
的交点的坐标
求关于
的一元一次不等
式
＞ 0 （
≠ 0 ）的
解集
为何值时，函数
的
值大于 0 ？
确 定 直 线
在
轴
（即直线
＝ 0 ）上方部分的
所有点的横坐标的范围
题型一 函数的概念
1 ．李师傅驾车五一假期到北京游玩，途中到某加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，其中因
变量是（ ）
A ．金额
B ．数量
C ．单价
D ．金额和数量
【答案】 A
【分析】根据函数中自变量和因变量的定义即可求得答案．
k
b
y
kx
b
=
+
1 l
1
1
y
k x
b
=
+
2 l
2
2
y
k x
b
=
+
1
2
k
¹ k
Û
1 l
2 l
1
2
k
= k
1
2
b
¹ b
Û
1 l
2 l
1
2
k
= k
1
2
b
= b
Û
1 l
2 l
x
= a
y
b
=
x
y
ax
+ b
a
x
y
ax
b
=
+
y
ax
b
=
+
x
y
x
y
1
1
2
2
=
+
ì
í
=
+
î
，
．
y
a x
b
y
a x
b
x
1
1
y
a x
b
=
+
2
2
y
a x
b
=
+
1
1
y
a x
b
=
+
2
2
y
a x
b
=
+
x
ax
+ b
a
x
y
ax
b
=
+
y
ax
b
=
+
x
y
03 题型归纳
值，因此金额是数量的函数，数量是自变量，金额是因变量．
故选： A ．
【点睛】本题主要考查函数的有关概念，牢记函数的有关概念（在同一个变化过程中，有两个变量 x 和 y ，
如果对于变量 x 的每一个确定的值，都能随之确定一个 y 值，我们就把 y 叫做 x 的函数，其中 x 叫做自变量，
y 叫做因变量）是解题的关键．
巩固训练
2 ．在式子 ①
3
1
y
= x
+ ， ②
2
1
y
= x
- ， ③ y
x
=
， ④ y
= x
， ⑤ y
= x
中， y 是 x 的函数的有（ ），
A ． 2 个
B ． 3 个
C ． 4 个
D ． 5 个
【答案】 C
【分析】 根据函数的定义可知，满足对于 x 的每一个取值， y 都有唯一确定的值与之对应，据此即可逐一判
断．
【解析】解：在 ①
3
1
y
= x
+ ， ②
2
1
y
= x
- ， ③ y
x
=
， ④ y
= x
，中， 对于 x 的每一个取值， y 都有唯一
确定的值与之对应，所以 y 是 x 的函数；
⑤ y
= x
对于 x 的每一个取值， y 都有一个或两个值与之对应，所以 y 不是 x 的函数；
故选： C ．
【点睛】 本题主要考查函数的概念，解题关键是明确满足对于 x 的每一个取值， y 都有唯一确定的值与之对
应，两个变量为函数关系．
3 ．如图曲线中不能表示 y 是 x 的函数的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】 C
【分析】根据函数的概念，对于自变量 x 的每一个值，因变量 y 都有唯一确定的值与它对应，即可解答．
【解析】解： A 、对于自变量 x 的每一个值，因变量 y 都有唯一的值与它对应，所以 y 是 x 的函数，故 A 不
符合题意；
B 、对于自变量 x 的每一个值，因变量 y 都有唯一的值与它对应，所以 y 是 x 的函数，故 B 不符合题意；
C 、对于自变量 x 的每一个值，因变量 y 不是都有唯一的值与它对应，所以 y 不是 x 的函数，故 C 符合题意；
D 、对于自变量 x 的每一个值，因变量 y 都有唯一的值与它对应，所以 y 是 x 的函数，故 D 不符合题意；
故选： C ．
【点睛】本题考查了函数的概念，熟练掌握函数的概念是解题的关键．
4 ．已知函数
2
1
1
2(
1
x
x
y
x
x
ì
-
³
= í- +
<
î
） ，当
1
x = - 时， y 的值为（ ）
A ． 3
B ． 3
-
C ． 1
D ． 1
-
【答案】 A
【分析】根据自变量的取值，选择不同的函数表达式进行计算即可求解．
【解析】解：当
1
x = - 时，
2
( 1)
2
3
y
x
= - +
= - -
+
=
，
故选： A ．
【点睛】本题主要考查函数的代入求值，掌握分段函数的计算方法，根据不同的自变量范围选择不同的表
达式计算是解题的关键．
5 ．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度 y （ cm ）与所挂的物体的质量 x （ kg ）问有下面的关系：
x / kg
0
1
2
3
4
5
y / cm
10
10.5
11
11.5
12
12.5
下列说法一定错误的是（ ）
A ． x 与 y 都是变量，且 x 是自变量， y 是 x 的函数
B ．弹簧不挂重物时的长度为 0 cm
C ．物体质量每增加 1 kg ，弹簧长度 y 增加 0.5 cm
D ．所挂物体质量为 7 kg 时，弹簧长度为 13.5 cm
【答案】 B
【分析】根据表格中的信息，对各选项进行判断作答即可．
【解析】解：由题意知， x 与 y 都是变量，且 x 是自变量， y 是 x 的函数， A 正确，故不符合要求；
弹簧不挂重物时的长度为 10 cm ， B 错误，故符合要求；
物体质量每增加 1 kg ，弹簧长度 y 增加 0.5 cm ， C 正确，故不符合要求；
所挂物体质量为 7 kg 时，弹簧长度为
5
10+0.5 7
13.
´
=
cm ， D 正确，故不符合要求；
故选： B ．
【点睛】本题考查了函数的变量，函数关系式．解题的关键在于从表格中获取正确的信息．
题型二 正比例函数的概念及应用
6 ．下列问题中，两个变量成正比例的是（ ）
A ．一个人的体重和年龄
B ．圆的周长和直径
C ．车辆行驶的路程一定时，行驶的速度和时间
D ．周长一定时，长方形的长和宽
【答案】 B
【分析】本题考查正比例的概念，根据正比例的定义，分别分析判断即可．理解并掌握正比例的定义（两
个量的比值一定，则这两个量成正比关系）是本题的关键．
【解析】解：一个人的体重和年龄不成正比例，
∴ A 不符合题意；
圆的周长 ¸ 直径
= p
（一定），
∴ 圆的周长和直径成正比例，
∴ B 符合题意；
速度 ´ 时间 = 路程（一定），
∴ 车辆行驶的路程一定时，行驶的速度和时间成反比例，
∴ C 不符合题意；
2 ´ （长 + 宽） = 长方形的周长（一定），
∴ 周长一定时，长方形的长和宽不成正比例，
∴ D 不符合题意．
故选： B ．
巩固训练
7 ．如果 y 关于 x 的函数
1
y
k
x
=
-
是正比例函数，那么 k 的取值范围是（ ）
A ．
k ¹ 0
B ．
k ¹ 1
C ．一切实数
D ．
1
k ¹ -
【答案】 B
【分析】根据正比例函数的定义求解即可．
【解析】解： ∵ 函数
1
y
k
x
=
-
是正比例函数，
∴
1
k - ¹ 0
，
∴
1
k ¹ ，
故选： B ．
【点睛】本题考查了正比例函数的定义，掌握正比例函数的定义：形如
0
y
= kx k
¹
的形式，叫正比例函数．
8 ．下列式子中，表示 y 是 x 的正比例函数的个数正确的为（ ）
（ 1 ）
0.1
y
x
= -
；（ 2 ）
2
y = x
；（ 3 ）
2 2
y
= x
；（ 4 ）
2
4
y
= x
．
A ． 1 个
B ． 2 个
C ． 3 个
D ． 4 个
【答案】 B
【分析】根据正比例函数的定义进行逐一判断即可．
【解析】解：
0.1
y
x
= -
是正比例函数，符合题意；
2
y = x
是正比例函数，符合题意；
2 2
y
= x
不是正比例函数，不符合题意；
2
4
y
= x
不是正比例函数，不符合题意；
∴ 表示 y 是 x 的正比例函数的个数正确的为 2 个，
故选 B ．
【点睛】本题主要考查了正比例函数的识别，熟知正比例函数的定义是解题的关键：一般地，形如
0
y
= kx k
¹
的函数叫做正比例函数．
9 ．若
1
m
y
m
x
=
-
（
）
是正比例函数，则 m 的值为 ．
【答案】 1
-
【分析】本题考查了正比例函数的定义，解题时注意 x 的系数不等于 0 这个条件．根据 x 的次数为 1 ，系数
不等于 0 ，计算即可．
【解析】解：根据题意得：
1
1
0
m
m
ì
=
í
- ¹
î
，
1
\ m
= - ，
故答案为： 1
- ．
10 ．若点（ 1 ， 3 ）在正比例函数 y = kx 的图象上，则 k =
．
【答案】 3
【分析】利用待定系数法即可解决问题．
【解析】解：把（ 1 ， 3 ）代入 y ＝ kx 中，得到 k ＝ 3 ，
故答案为： 3 ．
【点睛】此题考查一次函数图象上的点的特征，解题的关键是熟练掌握待定系数法解决问题，属于中考基
础题．
11 ．若 y 与
1
x - 成正比例，且当
x = 2
时
y = 6
，则当
2
x = - 时 y =
．
【答案】 18
-
【分析】本题考查了正比例的应用，由 y 与
1
x - 成正比例可以设 𝑦 = 𝑘 ( 𝑥 ― 1) ，代入计算即可．
【解析】 ∵ y 与
1
x - 成正比例，
∴ 设 𝑦 = 𝑘 ( 𝑥 ― 1) ，
当
x = 2
时
y = 6
，
∴
6
= k 2 1
-
，解得 6
= k
，
∴
6
1
y
x
=
-
，
∴ 当
2
x = - 时，
6
1
6
2 1
18
y
x
=
-
=
´ - -
= -
，
故答案为： 18
-
．
12 ．下列说法中不成立的是（ ）
A ．在
3
1
y
= x
- 中
1
y + 与 x 成正比例
B ．在
2
y
= - x
中， y 与 x 成正比例
C ．在
2
1
1
y
x
=
-
- 中
1
y - 与
1
x - 成正比例
D ．在
3 2
y
= x
中 y 与
2 x 成正比例
【答案】 B
【分析】根据正比例函数的定义，逐一判断即可．
【解析】解：将
3
1
y
= x
- 变形为
1
3
y
+ = x
，故
1
y + 与 x 成正比例，故 A 选项正确；
在
2
y
= - x
中， , x y 成反比例，故 B 选项错误；
将
2
1
1
y
x
=
-
- 变形为
1
2
1
y
x
+ =
-
，故
1
y + 与
1
x - 成正比例，故 C 选项正确；
在
3 2
y
= x
中 y 与
2 x 成正比例，故 D 选项正确，
故选： B ．
【点睛】本题考查了正比例函数的定义：一般地，两个变量之间的关系可以表示为形如
0
y
= kx k
¹
的函数，
那么 y 就叫做 x 的正比例函数．
13 ．如果正比例函数 y
= kx
(
k ¹ 0)
的自变量增加 5 ，函数值减少 2 ，那么当
x = 3
时， y =
．
【答案】
6
5
-
【分析】根据可得当
x = 3
时，
3
y
= k
，当
x = 8
时，
8
y
= k
，再根据自变量和函数值的变化关系可得
3
2 = 8
k
k
-
，从而求得正比例函数解析式，再把
x = 3
代入求值即可．
【解析】解：由题意可得，当
x = 3
时，
3
y
= k
，
∵ 正比例函数 y
= kx
(
k ¹ 0)
的自变量增加 5 ，函数值减少 2 ，
∴
3
5
8
x =
+
= 时，
8
y
= k
，
∴ 3
2 = 8
k
k
-
，
∴
2
k = - 5
，
∴ 正比例函数解析式为
2
5
y
x
= -
．
∴ 当
x = 3
时，
2
6
3
5
5
y = -
´
= -
．
【点睛】本题主要考查正比例函数的概念及性质，熟练掌握正比例函数的性质是解题的关键．
题型三 根据正比例函数图像求参数范围
14 ．若正比例函数
(2
1)
y
a
x
=
-
经过第一、三象限，则 a 的取值范围是
．
【答案】
1
2
a
【分析】本题主要考查了正比例函数的性质，正比例函数
(2
1)
y
a
x
=
-
的图象经过第一、三象限，则得到
2
1
a - 0
，解不等式即可．
【解析】解： ∵ 正比例函数
(2
1)
y
a
x
=
-
的图象经过第一、三象限，
∴ 2
1
a - 0
，
∴
1
a 2
．
故答案为：
1
a 2
．
巩固训练
15 ．已知正比例函数
1 3
y
m x
=
-
， y 的值随 x 的值的增大而增大，那么 m 的取值范围是
【答案】
1
m < 3
/ 1
3
m
【分析】本题考查正比例函数的性质，根据正比例函数
0
y
= kx k
¹
，当
k 0
时， y 的值随 x 的值的增大而
增大；当
k < 0
时， y 的值随 x 的值的增大而减小解答即可，也是解题关键．
【解析】解： ∵ 正比例函数
1 3
y
m x
=
-
， y 的值随 x 的值的增大而增大，
∴ 1
3
0
- m
，
解得：
1
m < 3
．
故答案为：
1
m < 3
．
题型四 正比例函数的图像与性质
16 ．已知正比例函数
2
y = x
，下列结论正确的是（ ）
A ．图象是一条射线
B ．图象必经过点
1 2
- ，
C ． y 随 x 的增大而减小
D ．图象经过第一、三象限
【答案】 D
【分析】本题主要考查的是正比例函数的图象和性质．掌握正比例函数的性质是解题关键．
根据正比例函数的图象和性质逐一判断即可．
【解析】解： A 、正比例函数的图象是一条经过原点的直线， A 选项错误；
B 、把
1
x = - 代入
2
y = x
，得
1
y = - 2
， B 选项错误；
C 、因为
1
0
k = 2
，所以 y 随 x 的增大而增大， C 选项错误；
D 、 因为
1
0
k = 2
，所以图象经过第一、三象限， D 选项正确．
故选 D ．
巩固训练
17 ．点
, 1
A a y
、
1, 2
B a
y
+
都在直线
1
2
y
x
= -
上，则
1 y 与
2 y 的关系是（ ）
A ．
1
2
y
= y
B ．
1
2
y
< y
C ．
1
2
y
y
D ．与 a 值有关
【答案】 C
【分析】直接根据正比例函数的性质即可得．
【解析】解： Q 直线
1
2
y
x
= -
中的
1
0
k = - 2
<
，
y
\ 随 x 的增大而减小，
又 Q 点
, 1
A a y
、
1, 2
B a
y
+
都在直线
1
2
y
x
= -
上，且
1
a
< a
+ ，
1
2
y
y
\
，
故选： C ．
【点睛】本题考查了正比例函数的性质，熟练掌握正比例函数的性质是解题关键．
18 ．已知点
2, 1
A
y
-
，
B 2, 2
y
，
C 3, 3
y
都在正比例函数
5
y
= - x
的图象上，则（ ）
A ．
1
2
3
y
y
y
<
<
B ．
3
2
1
y
y
y
<
<
C ．
3
1
2
y
y
y
<
=
D ．
2
3
1
y
y
y
<
<
【答案】 B
【分析】本题考查了正比例函数的性质，根据
5
k = - < 0
可得， y 随 x 的增大而减小，即可求解．
