第七章 平行线的证明 知识归纳与题型突破（九类题型清单）
一、定义、命题及证明
01 思维导图
02 知识速记
1. 定义： 一般地，用来说明一个名词或者一个术语的意义的句子叫做定义 .
2. 命题： 判断一件事情的句子，叫做命题 .
要点：
（ 1 ）每个命题都由题设、结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项 .
（ 2 ）正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题 .
（ 3 ）公认的真命题叫做公理 .
(4) 经过证明的真命题称为定理 .
3. 证明 : 在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这种演绎推理的过程称为证明 .
要点：
（ 1 ）实验、观察、操作所得出的结论不一定都正确，必须推理论证后才能得出正确的结论．
（ 2 ）证明中的每一步推理都要有根据，不能 “ 想当然 ” ，这些根据可以是已知条件，学过的定义、基本事
实、定理等 .
（ 3 ）判断一个命题是正确的，必须经过严格的证明；判断一个命题是假命题，只需列举一个反例即可．
二、平行线的判定与性质
1 ．平行线的判定
判定方法 1 ： 同位角相等，两直线平行．
判定方法 2 ： 内错角相等，两直线平行．
判定方法 3 ： 同旁内角互补，两直线平行．
要点： 根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有：
（ 1 ）平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行 .
（ 2 ）如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行（平行线的传递性） .
（ 3 ）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行 .
（ 4 ）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 .
2 ．平行线的性质
性质 1 ： 两直线平行，同位角相等；
性质 2 ： 两直线平行，内错角相等；
性质 3 ： 两直线平行，同旁内角互补 .
要点： 根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有：
（ 1 ）若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点．
（ 2 ）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直．
三、三角形的内角和定理及推论
三角形的内角和定理： 三角形的内角和等于 180° ．
推论： （ 1 ）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
（ 2 ）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．
要点：
（ 1 ）由一个公理或定理直接推出的真命题，叫做这个公理或定理的推论 .
（ 2 ）推论可以当做定理使用 .
四、三角形外角的性质
三角形一个外角等于与它不相邻两个内角的和。
题型一 命题与证明
例题
1 ．下列语句是命题的是（ ）
A ．在线段 AB 上取点 C
B ．作直线 AB 的垂线
C ．垂线段最短吗？
D ．相等的角是对顶角
巩固训练
2 ．下列命题中，是真命题的是（ ）
A ．互补的两个角是邻补角
B ．邻补角一定互为补角
C ．两角相等，一定是对顶角
D ．无理数都是开方不尽的数
3 ．下列命题是假命题的是（ ）
A ．对顶角相等
B ．直角三角形的两个锐角互余
C ．全等三角形的周长相等
D ．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补
4 ．老师布置了一项作业，对一个真命题进行证明，下面是小云给出的证明过程：
证明：如图，
b
^ a
Q
，
1
\Ð = 90
° ．
c
Q ^ a
，
2
\Ð = 90
° ，
1
2
\Ð = Ð ，
.
b
c
\ ∥
已知该证明过程是正确的，则证明的真命题是（ ）
A ．在同一平面内，若 b
^ a
，且 c
^ a
，则 b
P c
B ．在同一平面内，若 b
P c
，且 b
^ a
，则 c
a
^
C ．两直线平行，同位角不相等
D ．两直线平行，同位角相等
题型二 同位角、内错角与同旁内角
例题
03 题型归纳
5 ．下列所示的四个图形中，
1
Ð 和
2
Ð 是同位角的是（ ）
A ． ②③
B ． ①②③
C ． ①②④
D ． ①④
巩固训练
6 ．如图，下列说法正确的是（ ）
①
1
Ð 和
3
Ð 是同位角； ②
1
Ð 和
5
Ð 是同位角； ③
1
Ð 和
2
Ð 是同旁内角； ④
1
Ð 和
4
Ð 是内错角
A ． ①②
B ． ②③
C ． ①③
D ． ②④
7 ．如图，下列是内错角的一组为（ ）．
A ．
1
Ð 与
Ð 2
B ．
2
Ð 与
Ð 4
C ．
1
Ð 与
Ð 3
D ．
3
Ð 与
5
Ð
8 ．如图，下列结论正确的是 ( )
A ．
5
Ð 与
2
Ð 是对顶角
B ．
1
Ð 与
4
Ð 是同位角
C ．
2
Ð 与
3
Ð 是同旁内角
D ．
1
Ð 与
5
Ð 是内错角
9 ．如图所示，直线 AB 与 BC 被直线 AD 所截得的内错角是
；直线 DE 与 AC 被直线 AD 所截得
的内错角是
；
4
Ð 的内错角是
．
题型三 平行线的判定
例题
10 ．如图所示，不能证明 AB / / CD 的是（ ）
A ． ∠ BAC ＝ ∠ ACD
B ． ∠ ABC ＝ ∠ DCE
C ． ∠ DAC ＝ ∠ BCA
D ． ∠ ABC + ∠ DCB ＝ 180°
巩固训练
11 ．下列说法错误的是（ ）
A ．在同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线
B ．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
C ．经过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行
D ．在同一平面内，不相交的两条线段是平行线
12 ．下列说法正确的是（ ）
A ．在同一平面内，两条线段不相交就平行
B ．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
C ．两条射线或线段平行是指它们所在直线平行
D ．两条不相交的直线是平行线
13 ．如图，若
1
2
Ð = Ð ，则下列选项中，能直接利用 “ 同位角相等，两直线平行 ” 判定 a
P b
的是（ ）
A ．
B ．
C ．
