第七章 平行线的证明 知识归纳与题型突破（九类题型清单）
一、定义、命题及证明
01 思维导图
02 知识速记
1. 定义： 一般地，用来说明一个名词或者一个术语的意义的句子叫做定义 .
2. 命题： 判断一件事情的句子，叫做命题 .
要点：
（ 1 ）每个命题都由题设、结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项 .
（ 2 ）正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题 .
（ 3 ）公认的真命题叫做公理 .
(4) 经过证明的真命题称为定理 .
3. 证明 : 在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这种演绎推理的过程称为证明 .
要点：
（ 1 ）实验、观察、操作所得出的结论不一定都正确，必须推理论证后才能得出正确的结论．
（ 2 ）证明中的每一步推理都要有根据，不能 “ 想当然 ” ，这些根据可以是已知条件，学过的定义、基本事实、
定理等 .
（ 3 ）判断一个命题是正确的，必须经过严格的证明；判断一个命题是假命题，只需列举一个反例即可．
二、平行线的判定与性质
1 ．平行线的判定
判定方法 1 ： 同位角相等，两直线平行．
判定方法 2 ： 内错角相等，两直线平行．
判定方法 3 ： 同旁内角互补，两直线平行．
要点： 根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有：
（ 1 ）平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行 .
（ 2 ）如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行（平行线的传递性） .
（ 3 ）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行 .
（ 4 ）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 .
2 ．平行线的性质
性质 1 ： 两直线平行，同位角相等；
性质 2 ： 两直线平行，内错角相等；
性质 3 ： 两直线平行，同旁内角互补 .
要点： 根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有：
（ 1 ）若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点．
（ 2 ）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直．
三、三角形的内角和定理及推论
三角形的内角和定理： 三角形的内角和等于 180° ．
推论： （ 1 ）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
（ 2 ）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．
要点：
（ 1 ）由一个公理或定理直接推出的真命题，叫做这个公理或定理的推论 .
（ 2 ）推论可以当做定理使用 .
四、三角形外角的性质
三角形一个外角等于与它不相邻两个内角的和。
题型一 命题与证明
例题
1 ．下列语句是命题的是（ ）
A ．在线段 AB 上取点 C
B ．作直线 AB 的垂线
C ．垂线段最短吗？
D ．相等的角是对顶角
【答案】 D
【分析】判断一件事情的句子叫做命题，逐项判断即可得到答案．
【解析】解： A 、在线段 AB 上取点 C 不是命题，故 A 选项错误；
B 、作直线 AB 的垂线不是命题，故 B 选项错误；
C 、垂线段最短吗？是疑问句，不是命题 , 故 C 选项错误；
D 、 相等的角是对顶角，是命题，故 D 选项正确；
故选： D
【点睛】本题考查了命题的定义，熟练掌握命题的定义是解决本题的关键．
巩固训练
2 ．下列命题中，是真命题的是（ ）
A ．互补的两个角是邻补角
B ．邻补角一定互为补角
C ．两角相等，一定是对顶角
D ．无理数都是开方不尽的数
【答案】 B
【分析】根据补角，邻补角，对顶角，无理数等概念逐项判断．
【解析】解： A. 互补的两个角不一定是邻补角，故 A 是假命题，不符合题意；
B. 邻补角一定互为补角，故 B 是真命题，符合题意；
C. 两角相等，不一定是对顶角，故 C 是假命题，不符合题意；
D. 无理数是无限不循环的小数，故 D 是假命题，不符合题意．
故选： B ．
【点睛】本题主要考查命题与定理，解题的关键是掌握补角，邻补角，对顶角，无理数等概念．
3 ．下列命题是假命题的是（ ）
A ．对顶角相等
B ．直角三角形的两个锐角互余
C ．全等三角形的周长相等
D ．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补
03 题型归纳
【答案】 D
【分析】利用对顶角的性质、直角三角形的性质、平行线的性质及全等三角形的性质分别判断后即可确定
正确的选项．
【解析】解： A 、对顶角相等，正确，为真命题；
B 、直角三角形的两个锐角互余，正确，为真命题；
C 、全等三角形对应边相等，所以周长也相等正确，为真命题；
D 、两平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，原命题错误，为假命题；
故选： D ．
【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解对顶角的性质、全等三角形的性质、平行线的性质
及直角三角形的性质，难度不大．
4 ．老师布置了一项作业，对一个真命题进行证明，下面是小云给出的证明过程：
证明：如图，
b
^ a
Q
，
1
\Ð = 90
° ．
c
Q ^ a
，
2
\Ð = 90
° ，
1
2
\Ð = Ð ，
.
b
c
\ ∥
已知该证明过程是正确的，则证明的真命题是（ ）
A ．在同一平面内，若 b
^ a
，且 c
^ a
，则 b
P c
B ．在同一平面内，若 b
P c
，且 b
^ a
，则 c
a
^
C ．两直线平行，同位角不相等
D ．两直线平行，同位角相等
【答案】 A
【分析】阅读证明可以得到答案．
【解析】解：根据证明过程可知，证明的真命题是 b
^ a
，且 c
^ a
，则 b
P c
，
故选： A ．
【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是能分清命题的题设与结论．
题型二 同位角、内错角与同旁内角
例题
5 ．下列所示的四个图形中，
1
Ð 和
2
Ð 是同位角的是（ ）
A ．②③
B ．①②③
C ．①②④
D ．①④
【答案】 C
【分析】根据同位角的定义逐一判断即得答案．
【解析】解：图①中的∠ 1 与∠ 2 是同位角，
图②中的∠ 1 与∠ 2 是同位角，
图③中的∠ 1 与∠ 2 不是同位角，
图④中的∠ 1 与∠ 2 是同位角，
所以在如图所示的四个图形中，图①②④中的∠ 1 和∠ 2 是同位角．
故选： C ．
【点睛】本题考查了同位角的定义，属于基础概念题型，熟记同位角的含义概念是关键．
巩固训练
6 ．如图，下列说法正确的是（ ）
①
1
Ð 和
3
Ð 是同位角；②
1
Ð 和
5
Ð 是同位角；③
1
Ð 和
2
Ð 是同旁内角；④
1
Ð 和
4
Ð 是内错角
A ．①②
B ．②③
C ．①③
D ．②④
【答案】 C
【分析】根据同位角，内错角及同旁内角的定义进行判断即可．
【解析】解：两条直线 a ， b 被第三条直线 c 所截，在截线 c 的同旁，且在被截两直线 a ， b 的同一侧的角，
我们把这样的两个角称为同位角，则
1
Ð 和
3
Ð 是同位角，
1
Ð 和
5
Ð 不是同位角，那么 ① 正确， ② 错误；
两条直线 a ， b 被第三条直线 c 所截，在截线 c 的同旁，且在被截两直线 a ， b 之间的角，我们把这样的两个
角称为同旁内角，则
1
Ð 和
2
Ð 是同旁内角，那么 ③ 正确；
两条直线 a ， b 被第三条直线 c 所截，在截线 c 的两侧，且在被截两直线 a ， b 之间的角，我们把这样的两个
角称为内错角，则
1
Ð 和
4
Ð 不是内错角，那么 ④ 错误；
综上，正确的为 ①③ ，
故选： C ．
【点睛】本题考查同位角，内错角及同旁内角的定义，熟练掌握相关定义是解题的关键．
7 ．如图，下列是内错角的一组为（ ）．
A ．
1
Ð 与
Ð 2
B ．
2
Ð 与
Ð 4
C ．
1
Ð 与
Ð 3
D ．
3
Ð 与
5
Ð
【答案】 C
【分析】根据同位角、内错角、同旁内角定义逐一进行判断即可．
【解析】解： A ．
1
Ð 与
2
Ð 是同位角，不符合题意；
B ．
2
Ð 与
4
Ð 是同位角，不符合题意；
C ．
1
Ð 与
3
Ð 是内错角，符合题意；
D ．
3
Ð 与
5
Ð 是同旁内角，不符合题意；
故选： C ．
【点睛】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，解决本题的关键是掌握同位角、内错角、同旁内角定义．
8 ．如图，下列结论正确的是 ( )
A ．
5
Ð 与
2
Ð 是对顶角
B ．
1
Ð 与
4
Ð 是同位角
C ．
2
Ð 与
3
Ð 是同旁内角
D ．
1
Ð 与
5
Ð 是内错角
【答案】 B
【分析】根据对顶角、同位角、同旁内角、内错角的定义分别进行分析即可．
【解析】解： A 、
5
Ð 与
2
Ð 不是对顶角，故此选项错误；
B 、
1
Ð 与
4
Ð 是同位角，故此选项正确；
C 、
2
Ð 与
3
Ð 不是同旁内角，故此选项错误；
D 、
1
Ð 与
5
Ð 不是内错角，故此选项错误；
故选： B ．
【点睛】本题考查同位角、内错角、同旁内角、对顶角，熟练掌握各角的特征是解题的关键．
9 ．如图所示，直线 AB 与 BC 被直线 AD 所截得的内错角是
；直线 DE 与 AC 被直线 AD 所截得
的内错角是
；
4
Ð 的内错角是
．
【答案】
1
Ð 和
3
Ð
2
Ð 和
4
Ð
5
Ð 和
2
Ð
【分析】此题考查了内错角，内错角：在截线两旁，被截线之内的两角．根据内错角的定义进行解答即可．
【解析】解：直线 AB 与 BC 被直线 AD 所截得的内错角是
1
Ð 和
3
Ð ；直线 DE 与 AC 被直线 AD 所截得的内
错角是
2
Ð 和
4
Ð ；
4
Ð 的内错角是
5
Ð 和
2
Ð ．
故答案为：
1
Ð 和
3
Ð ；
2
Ð 和
4
Ð ；
5
Ð 和
2
Ð ．
题型三 平行线的判定
例题
10 ．如图所示，不能证明 AB / / CD 的是（ ）
A ．∠ BAC ＝∠ ACD
B ．∠ ABC ＝∠ DCE
C ．∠ DAC ＝∠ BCA
D ．∠ ABC + ∠ DCB ＝ 180°
【答案】 C
【分析】根据平行线的判定定理对各选项进行逐一判断即可．
【解析】解： A 、∵∠ BAC ＝∠ ACD ，∴ AB / / CD ，故本选项不符合题意；
B 、∵∠ ABC ＝∠ DCE ，∴ AB / / CD ，故本选项不符合题意；
C 、∵∠ DAC ＝∠ BCA ，∴ AD / / BC ，故本选项符合题意；
D 、∵∠ DCB + ∠ ABC ＝ 180° ，∴ AB / / CD ，故本选项不符合题意．
故选： C ．
【点睛】本题考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．
巩固训练
11 ．下列说法错误的是（ ）
A ．在同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线
B ．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
C ．经过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行
D ．在同一平面内，不相交的两条线段是平行线
【答案】 D
【分析】根据平行公理等即可逐一进行判断．
【解析】解； A 、在同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线．正确，本选项不符合题意；
B 、如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．平行线具有 “ 传递性 ” ， 正确，本选
项不符合题意；
C 、经过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行．正确，本选项不符合题意；
D 、在同一平面内，不相交的两条直线是平行线．原说法错误，本选项符合题意．
故选： D ．
【点睛】本题考查了平行公理等知识点．掌握相关结论是解题的关键．
12 ．下列说法正确的是（ ）
A ．在同一平面内，两条线段不相交就平行
B ．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
C ．两条射线或线段平行是指它们所在直线平行
D ．两条不相交的直线是平行线
【答案】 C
【分析】根据平面内两条直线的位置关系分别判断．
【解析】解： A 、在同一平面内，两条线段不相交，也不一定平行，故错误，不合题意；
B 、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故错误，不合题意；
C 、两条射线或线段平行是指它们所在的直线平行，故正确，符合题意；
D 、平面内，两条不相交的直线是平行线，故错误，不合题意；
故选： C ．
【点睛】本题考查了平面内两条直线的位置关系，解题的关键是掌握平行线的定义．
13 ．如图，若
1
2
Ð = Ð ，则下列选项中，能直接利用 “ 同位角相等，两直线平行 ” 判定 a
P b
的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】 B
【分析】先判断出
1
Ð 与
2
Ð 是同位角，然后根据平行线的判定即可得出答案．
【解析】解： A 、
1
Ð 与
2
Ð 是内错角，故该选项错误；
B 、
1
Ð 与
2
Ð 是同位角，∵
1
2
Ð = Ð ，∴ a
P b
，故该选项正确；
C 、
1
Ð 与
2
Ð 不是内错角、同位角，同旁内角，故该选项错误；
D 、
1
Ð 与
2
Ð 是对顶角，故该选项错误；
故选： B ．
【点睛】本题考查了平行线的判定，内错角相等、同位角相等，同旁内角互补两直线平行， 是需要同学们
熟练记忆的内容．
14 ．如图，下列条件不能判定 AB
∥ CD
的是（ ）
A ．
1
Ð = Ð 3
B ．
3
Ð = Ð 5
C ．
1
2
Ð + Ð = 180
°
D ．
1
5
Ð = Ð
【答案】 B
【分析】根据平行线的判定定理，对各项逐一进行判断即可．
【解析】解： A 、
1
3
Ð = Ð ，根据同位角相等，两直线平行可判定 AB
∥ CD
，故此选项不符合题意；
B 、
3
5
Ð = Ð ，对顶角相等，不能判定 AB
∥ CD
，故此选项符合题意；
C 、
1
2
Ð + Ð = 180
° ，根据同旁内角互补，两直线平行可判定 AB
∥ CD
，此选项不符合题意；
D 、
1
5
Ð = Ð ，根据内错角相等，两直线平行可判定 AB
∥ CD
，故此选项不符合题意；
故选： B ．
【点睛】本题考查了平行线的判定定理，解题的关键是正确识别 “ 三线八角 ” 中的同位角、内错角、同旁内角，
不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才
能推出两被截直线平行．
15 ．在同一平面内，若 a
b
b
c
^
， ^
，则 a 与 c 的位置关系是 ．
【答案】 a
c
∥
【分析】先根据垂直定义求出
1
2
Ð = Ð = 90
° ，再根据平行线的判定推出即可．
【解析】解：如图， Q a
b
b
c
^
， ^
，
1
2
\Ð = Ð = 90
° ，
\ a
c
∥ ．
故答案为： a
c
∥ ．
【点睛】本题考查了平行线的判定和垂直定义的应用，注意：同位角相等，两直线平行．
16 ．如图，
1
Ð = 108
° ，
2
Ð = 30
° ，若使 b
c
∥ ，则可将直线 b 绕点 A 逆时针旋转
度．
【答案】 42
【分析】先根据邻补角进行计算得到
3
Ð = 72
° ，根据平行线的判定当 b 与 a 的夹角为 72 ° 时， b
c
∥ ，由此
得到直线 b 绕点 A 逆时针旋转 72
30
42
°-
° =
° ．
【解析】解：如图：
