第七章 平行线的证明 （压轴专练）（八大题型）
题型 1 ：平行线 — M 型（含锯齿型）
1 ．如图 1 ，已知 AB ∥ CD ， ∠ B ＝ 30° ， ∠ D ＝ 120° ；
(1) 若 ∠ E ＝ 60° ，则 ∠ F ＝ ；
(2) 请探索 ∠ E 与 ∠ F 之间满足的数量关系？说明理由；
(3) 如图 2 ，已知 EP 平分 ∠ BEF ， FG 平分 ∠ EFD ，反向延长 FG 交 EP 于点 P ，求 ∠ P 的度数．
2 ．问题情境：如图 1 ，已知 AB ∥ CD ，
108
Ð APC
=
° ．求
PAB
PCD
Ð
+ Ð
的度数．
经过思考，小敏的思路是：如图 2 ，过 P 作 PE ∥ AB ，根据平行线有关性质，可得
360
252
PAB
PCD
APC
Ð
+ Ð
=
° - Ð
=
° ．
问题迁移：如图 3 ， AD ∥ BC ，点 P 在射线 OM 上运动，
ADP
Ð
= Ð
，
BCP
Ð
= Ð
．
(1) 当点 P 在 A 、 B 两点之间运动时，
Ð CPD
、
Ð
、 Ð 之间有何数量关系？请说明理由．
(2) 如果点 P 在 A 、 B 两点外侧运动时（点 P 与点 A 、 B 、 O 三点不重合），请你直接写出
Ð CPD
、
Ð
、 Ð
之间的数量关系．
(3) 问题拓展：如图 4 ，
1
MA ∥
n
NA ，
1
1
2
n 1
n
A
B
A
B
A
-
-
-
-
-
-
L
是一条折线段，依据此图所含信息，把你所发现
的结论，用简洁的数学式子表达为 ．
题型 2 ：平行线 — 笔尖型
3 ．如图 1 ，已知 AB // CD ， P 是直线 AB ， CD 外的一点， PF ⊥ CD 于点 F ， PE 交 AB 于点 E ，满足 ∠ FPE ＝
60° ．
（ 1 ）求 ∠ AEP 的度数；
（ 2 ）如图 2 ，射线 PN 从 PE 出发，以每秒 10° 的速度绕 P 点按逆时针方向匀速旋转，当 PN 到达 PF 时立
刻返回至 PE ，然后继续按上述方式旋转；射线 EM 从 EA 出发，以相同的速度绕 E 点按顺时针方向旋转至
EP 后停止运动，此时射线 PN 也停止运动．若射线 PN 、射线 EM 同时开始运动，设运动时间为 t 秒．
① 当射线 PN 平分 ∠ EPF 时，求 ∠ MEP 的度数（ 0° ＜ ∠ MEP ＜ 180° ）；
② 当直线 EM 与直线 PN 相交所成的锐角是 60° 时，则 t ＝ ．
4 ． AB ∥ CD ，点 P 为直线 AB ， CD 所确定的平面内的一点．
（ 1 ）如图 1 ，写出 ∠ APC 、 ∠ A 、 ∠ C 之间的数量关系，并证明；
（ 2 ）如图 2 ，写出 ∠ APC 、 ∠ A 、 ∠ C 之间的数量关系，并证明；
（ 3 ）如图 3 ，点 E 在射线 BA 上，过点 E 作 EF ∥ PC ，作 ∠ PEG ＝ ∠ PEF ，点 G 在直线 CD 上，作 ∠ BEG 的平
分线 EH 交 PC 于点 H ，若 ∠ APC ＝ 30° ， ∠ PAB ＝ 140° ，求 ∠ PEH 的度数．
题型 3 ：平行线 —“ 鸡翅 ” 型
5 ．如图，已知：点 A 、 C 、 B 不在同一条直线， AD
BE
∥
(1) 求证：
180
B
C
A
Ð
+ Ð
- Ð
=
° ：
(2) 如图 ② ， AQ
、 BQ
分别为
DAC
EBC
Ð
、 Ð
的平分线所在直线，试探究
Ð C
与
Ð AQB
的数量关系；
(3) 如图 ③ ，在（ 2 ）的前提下，且有 AC
∥ QB
，直线 AQ
、 BC
交于点 P ， QP
^ PB
，直接写出
=
DAC
ACB
CBE
Ð
Ð
Ð
：
：
．
6 ．已知，
AE / /
BD ，
A
D
Ð
= Ð
．
（ 1 ）如图 1 ，求证：
AB / /
CD ；
（ 2 ）如图 2 ，作
Ð BAE
的平分线交 CD 于点 F ，点 G 为 AB 上一点，连接 FG ，若
Ð CFG
的平分线交线段 AG
于点 H ，连接 AC ，若
ACE
BAC
BGM
Ð
= Ð
+ Ð
，过点 H 作 HM
^ FH
交 FG 的延长线于点 M ，且
3
5
18
E
AFH
Ð
- Ð
=
° ，求
EAF
GMH
Ð
+ Ð
的度数．
题型 4 ：平行线 —“ 骨折 ” 型
7 ．已知， AB ∥ CD ．点 M 在 AB 上，点 N 在 CD 上．
（ 1 ）如图 1 中， ∠ BME 、 ∠ E 、 ∠ END 的数量关系为： ；（不需要证明）
如图 2 中， ∠ BMF 、 ∠ F 、 ∠ FND 的数量关系为： ；（不需要证明）
（ 2 ）如图 3 中， NE 平分 ∠ FND ， MB 平分 ∠ FME ，且 2 ∠ E ＋ ∠ F ＝ 180° ，求 ∠ FME 的度数；
（ 3 ）如图 4 中， ∠ BME ＝ 60° ， EF 平分 ∠ MEN ， NP 平分 ∠ END ，且 EQ ∥ NP ，则 ∠ FEQ 的大小是否发生变化，
若变化，请说明理由，若不变化，求出 ∠ FEQ 的度数．
8 ．（ 1 ）如图， AB // CD ， CF 平分 ∠ DCE ，若 ∠ DCF =30° ， ∠ E =20° ，求 ∠ ABE 的度数；
