第二章 实数（压轴专练）（十二大题型）
题型 1 ：立方根的性质
1 ．已知 3 2
1
x + ﹣ 2x ﹣ 1 ＝ 0 ，则 x ＝ ．
【答案】 0 或 ﹣ 1 或 ﹣
1
2
【分析】将原方程变形得到 3 2
1
x + ＝ 2x+1 ，根据一个数的立方根等于它本身得到这个数是 0 或 1 或 -1 ，由
此化成一元一次方程，解方程即可得到答案 .
【解析】∵ 3 2
1
x + ﹣ 2x ﹣ 1 ＝ 0 ，
∴ 3 2
1
x + ＝ 2x+1 ，
∴ 2x+1 ＝ 1 或 2x+1 ＝ ﹣ 1 或 2x+1 ＝ 0 ，
解得 x ＝ 0 或 x ＝ ﹣ 1 或 x ＝ ﹣
1
2 ．
故答案为： 0 或 ﹣ 1 或 ﹣
1
2 ．
【点睛】此题考查立方根的性质，解一元一次方程，由立方根的性质得到方程是解题的关键 .
2 ．已知 3
2
2
x
x
-
+
=
，且 3 3
1
y - 与 3 1 2 x
-
互为相反数，求 x ， y 的值．
【答案】
x = 3
，
2
y = ，或者
1
x = ，
2
y = 3
，或者
x = 2
，
4
3
y =
【分析】将等式 3
2
2
x
x
-
+
=
变型为 3
2
2
x
x
-
=
-
，再两边同时立方，得到
3
2
2
x
x
-
=
-
，再采用因式分
解法求出 x 的值，再根据相反数的定义求出 y 的值，问题随之解得．
【解析】 3
2
2
x
x
-
+
=
，
3
2
2
x
x
-
=
-
，
3
2
2
x
x
-
=
-
，
2 3
2
0
x
x
-
-
-
=
，
2 2
1
2
0
x
x
é
ù
-
-
-
=
ë
û
，
2 1
2 1
2
0
x
x
x
-
-
-
+
-
=
3
1
2
0
x
x
x
-
-
-
=
，
∴
3
0
x -
=
，或者
1
x - = 0
，或者
2
0
x -
=
，
∴
x = 3
，或者
1
x = ，或者
x = 2
，
∵ 3 3
1
y - 与 3 1 2 x
-
，
∴
3
3 3
1
1
2
0
y
x
- +
-
=
，
∴
3
3 3
1
1
2
y
x
- =
-
-
，
∴
1
3
2
1
y - = x
- ，
∴
2
3
y = x
，
当
x = 3
时，
2
y = ，
当
1
x = 时，
2
y = 3
，
当
x = 2
时，
4
y = 3
，
即
x = 3
，
2
y = ，或者
1
x = ，
2
y = 3
，或者
x = 2
，
4
y = 3
．
【点睛】本题主要考查了采用因式分解法解方程，相反数的定义，立方根的性质等知识，求出
x = 3
，或者
1
x = ，
或者
x = 2
，是解答本题的关键．
题型 2 ：立方根的实际应用
3 ．一个正方体木块的体积是 343 cm 3 ，现将它锯成 8 块同样大小的小正方体木块，则每个小正方体木块的
表面积是 ( )
A ． 7
2 cm 2
B ． 49
4 cm 2
C ． 49
8 cm 2
D ． 147
2 cm 2
【答案】 D
【解析】由题意可得每个小正方体的体积为： 343
8 cm3 ，
∴每个小正方体的边长为： 3 343
7
8
= 2
，
∴每个小正方体的表面积为：
7 2
147
6 ( )
2
2
´
=
cm 3 .
故选 D.
点睛：（ 1 ）正方体的棱长是其体积的立方根；（ 2 ）正方体的表面积 = 棱长的平方的 6 倍 .
4 ． 2024 年的母亲节来临之际，小康和小明分别制作了一个如图所示的正方体礼盒，准备用礼盒装好礼物送
给妈妈．已知小康制作的正方体礼盒的表面积为
2
150cm ，而小明制作的正方体礼盒的体积比小康制作的正
方体礼盒小
3
61cm ，则小明制作的正方体礼盒的表面积为（ ）
A ．
36cm 2
B ．
54cm 2
C ．
96cm 2
D ．
2
144cm
【答案】 C
【分析】本题考查立方根的实际应用；
设小康制作的正方体礼盒的边长为 a ，根据表面积公式先求出
a = 5
，从而求出小康制作的正方体礼盒的体
积，再根据小明制作的正方体礼盒的体积比小康制作的正方体礼盒小
3
61cm 即可求解．
【解析】设小康制作的正方体礼盒的边长为 a ，
则
6 2
a = 150
，解得：
5
a =
∴小康制作的正方体礼盒的体积为：
3
125cm 2
a =
∵小明制作的正方体礼盒的体积比小康制作的正方体礼盒小
3
61cm
∴小明制作的正方体礼盒的体积为
3
125
61
64cm
-
=
∴小明制作的正方体礼盒的边长为 3 64
4cm
=
∴小明制作的正方体礼盒的表面积为
2
2
6 4
96cm
´
=
故选： C ．
5 ． M 是个位数字不为零的两位数，将 M 的个位数字与十位数字互换后，得另一个两位数 N ，若 M ﹣ N 恰是
某正整数的立方，则这样的数共 个．
【答案】 6 ．
【分析】 设两位数 M =10 a + b ，则 N =10 b + a ，并且 a 、 b 为正整数，且 1≤ a ， b ≤9 ，那么得到
M ﹣ N =(10 a + b ) ﹣ (10 b + a )=9( a ﹣ b )= c 3 ，进一步得到 c 3 ＜ 100 ，所以 c ≤4 ，而且 c 3 是 9 的倍数，所以 c =3 ，然后
由此得到 a ﹣ b =3 ，接着就可以解决问题．
【解析】设两位数 M =10 a + b ，则 N =10 b + a ，由 a 、 b 为正整数，且 1≤ a ， b ≤9 ，
∴ M ﹣ N =(10 a + b ) ﹣ (10 b + a )=9( a ﹣ b )= c 3 ，
又 c 是某正整数，显然 c 3 ＜ 100 ，
∴ c ≤4 ，而且 c 3 是 9 的倍数，
所以 c =3 ，即 a ﹣ b =3 ，
∴满足条件的两位数有 41 、 52 、 63 、 74 、 85 、 96 共 6 个．
故答案为： 6 ．
【点睛】 本题主要考查了数字问题，整数的混合运算，立方根的应用，难度比较大，要求学生有比较好的
分析问题和解决问题的能力才能熟练地解决题目的问题．
题型 3 ：算术平方根的性质
6 ．若 m 满足关系式 3
5
2
2
3
x
y
m
x
y
m
+
-
-
+
+
-
199
199
x
y
x
y
=
-
-
×
-
+
，则 m =
．
【答案】 201
【分析】根据能开平方的数一定是非负数，得 199-x-y≥0 ， x-199+y≥0 ，所以 199-x-y=x-199+y=0 ，即 x+y=199
①，从而有 3
5
2
2
3
x
y
m
x
y
m
+
-
-
+
+
-
=0 ，再根据算术平方根的非负性可得出 3x+5y-2-m=0 ②， 2x+3y-m=0
③，联立①②③解方程组可得出 m 的值．
【解析】解：由题意可得， 199-x-y≥0 ， x-199+y≥0 ，
∴ 199-x-y=x-199+y=0 ，∴ x+y=199 ①．
∴ 3
5
2
2
3
x
y
m
x
y
m
+
-
-
+
+
-
=0 ，
∴ 3x+5y-2-m=0 ②， 2x+3y-m=0 ③，
联立①②③得，
199
3
5
2
0
2
3
0
x
y
x
y
m
x
y
m
+
=
ì
ï
+
-
-
=
í
ï
+
-
=
î
①
②
③
，
② ×2- ③ ×3 得， y=4-m ，
将 y=4-m 代入③，解得 x=2m-6 ，
将 x=2m-6 ， y=4-m 代入①得， 2m-6+4-m=199 ，解得 m=201 ．
故答案为： 201 ．
【点睛】本题考查了算术平方根的非负性以及方程组的解法，掌握几个非负数的和为 0 时，这几个非负数
都为 0 是解题的关键．
7 ．设 x 、 y 、 z 是两两不等的实数，且满足下列等式：
3
3
3
3
(
)
(
)
x
y
x
x
z
x
x
z
y
- x
-
=
-
-
-
-
，则
3
3
3
3
x
y
z
xyz
+
+
-
的值为 ．
【答案】 0
【分析】利用二次根式被开方数非负性得到 x 、 y 、 z 大小关系，最后由符号之间的关系推导得到
x = 0
及 y 、
z 等量关系，最后直接计算整式
3
3
3
3
x
y
z
xyz
+
+
-
的值即可．
【解析】
y
- x
Q
及
x
- z
且 x 、 y 、 z 是两两不等的实数，
0
y
x
\
-
>
且
0
x
- z
>
，
y
x
z
\
>
>
，
3
3
0
(
)
x
y
- x
³
Q
，
3
3
0
(
)
x
z
- x
³
，
\ x 与 (
)
y
- x
、 (
)
z
- x
均同号，或
x = 0
，
又
0
y
- x
>
Q
，
0
z
- x
<
，故 (
)
y
- x
、 (
)
z
- x
不同号，
0
\ x
= ，
3
3
3
3
(
)
(
)
0
x
y
x
x
z
x
y
x
x
z
y
z
\
-
-
-
=
=
-
-
-
=
-
- ，
y
z
\
= - ，
3
3
3
3
3
3
0
(
)
0
0
x
y
z
xyz
y
y
\
+
+
=
-
+
+ -
-
=
故答案为 0 ．
【点睛】本题考查二次根式的运算，由二次根式被开方数的非负性推导求值，通常这类由一个含有二次根
式的式子进行求值的题，都能得到特殊大小或关系，从而求解目标式子，正确的利用二次根式被开方数的
非负性推导字母符号和关系是解题的关键．
题型 4 ：实数的小数点移动规律性问题
8 ．阅读下列材料：
3
3
10
59319
100 ,
<
<
3 9
= 729,
3
3
3
59
4
<
<
，则 3 59319
= 39
．请根据上面的材料回答下列问
题： 3 157464 =
．
【答案】 54
【分析】利用类比的思想，对比确定个位数是 4 的立方根，应该是个位数是 4 的数，再根据被开方数的前
两位数或前三位数的范围，确定最终结果 .
【解析】
3
3
10
157464
100 ,
<
<
Q
3 4
= 64,
3
3
5
157
6
<
<
，则 3 157464
= 54
，故答案为 54.
【点睛】本题考查的知识迁移能力，能够看懂题干是解题的关键 .
9 ．观察下列各式，并用所得出的规律解决问题：
（ 1 ）
2
» 1.414
，
200
» 14.14
，
20000
» 141.4
， ……
0.03
» 0.1732
，
3
» 1.732
， 300
» 17.32
， ……
由此可见，被开方数的小数点每向右移动 ______ 位，其算术平方根的小数点向 ______ 移动 ______ 位．
（ 2 ）已知 15
» 3.873
， 1.5
» 1.225
，则 150 » _____ ；
0.15 » ______ ．
（ 3 ） 3 1
1
= ， 3 1000
= 10
， 3 1000000
= 100
， ……
小数点的变化规律是 _______________________ ．
（ 4 ）已知 3 10
» 2.154
， 3
y » - 0.2154
，则 y = ______ ．
【答案】（ 1 ）两；右；一；（ 2 ） 12.25 ； 0.3873 ；（ 3 ）被开方数的小数点向右（左）移三位，其立方根的小
数点向右（左）移动一位；（ 4 ） -0.01
【分析】（ 1 ）观察已知等式，得到一般性规律，写出即可；
（ 2 ）利用得出的规律计算即可得到结果；
（ 3 ）归纳总结得到规律，写出即可；
（ 4 ）利用得出的规律计算即可得到结果．
【解析】解：（ 1 ）
2
» 1.414
，
200
» 14.14
，
20000
» 141.4
， ……
0.03
» 0.1732
，
3
» 1.732
， 300
» 17.32
， ……
由此可见，被开方数的小数点每向右移动两位，其算术平方根的小数点向右移动一位．
故答案为：两；右；一；
（ 2 ）已知 15
» 3.873
， 1.5
» 1.225
，则 150
» 12.25
；
0.15
» 0.3873
；
故答案为： 12.25 ； 0.3873 ；
（ 3 ） 3 1
1
= ， 3 1000
= 10
， 3 1000000
= 100
， ……
小数点的变化规律是：被开方数的小数点向右（左）移三位，其立方根的小数点向右（左）移动一位；
（ 4 ）∵ 3 10
» 2.154
， 3
y » - 0.2154
，
∴ 3 0.01
» 0.2154
，
∴ 3
0.01
0.2154
-
» -
，
∴ y=-0.01 ．
【点睛】此题考查了立方根，以及算术平方根，弄清题中的规律是解本题的关键．
题型 5 ：算术平方根有关的规律题
10 ．观察下列各式：
2
2
- 5
＝
8
5 ＝
4 2
5
´
＝ 2
2
5
，即
2
2
- 5
＝ 2
2
5
3
3
- 10
＝
27
10 ＝
3 9
10
´
＝ 3
3
10 ，即
3
3
- 10
＝ 3
3
10 ，那么
2
1
n
n
- n
+
＝ ．
【答案】 n
2
1
n
n +
．
【分析】根据已知等式，可以得出规律，猜想出第 n 个等式，写出推导过程即可．
【解析】解：
2
1
n
n
- n
+
＝ n
2
1
n
n +
．
故答案为： n
2
1
n
n +
．
【点睛】此题主要考查了平方根的性质，利用已知得出数字之间的规律是解决问题的关键．
11 ．请先在草稿纸上计算下列四个式子的值：①
3 1 ；②
3
3
1
+ 2
；③
3
3
3
1
2
3
+
+
；④
3
3
3
3
1
2
3
4
+
+
+
，观
察你计算的结果，用你发现的规律直接写出下面式子的值
3
3
3
3
1
2
3
26
+
+
+
+
=
L
．
【答案】 351
【分析】先计算题干中四个简单式子，算出结果，找出规律，根据规律得出最后式子的的值．
【解析】
3 1 =1
3
3
1
+ 2
=3
3
3
3
1
2
3
+
+
=6
3
3
3
3
1
2
3
4
+
+
+
=10
发现规律：
3
3
3
3
1
2
3
n
+
+
+
+
=
L
1+2+3+
+ n
L
∴
3
3
3
3
1
2
3
26
+
+
+
+
=
L
1+2+3
L + 26
=351
故答案为： 351
【点睛】本题考查找规律，解题关键是先计算题干中的 4 个简单算式，得出规律后再进行复杂算式的求解．
题型 6 ：无理数的估算
12 ．我们知道，
2 是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分，即
2 的整数部分是 1 ，小
数部分是
2
1
- ，请回答以下问题：
(1) 10 的小数部分是 ________ ， 5
- 13
的小数部分是 ________ ．
(2) 若 a 是
90 的整数部分， b 是
3 的小数部分，求
3
1
a
+ b
-
+ 的平方根．
(3) 若 7
5
x
y
+
=
+
，其中 x 是整数，且 0
1
< y
< ，求
5
x
- y
+
的值．
【答案】 (1) 10
3
- ， 4
- 13
；
(2) 3
± ；
(3)11 ．
【分析】（ 1 ）确定 10 的整数部分，即可确定它的小数部分；确定 13 的整数部分，即可确定 5
- 13
的整
数部分，从而确定 5
- 13
的小数部分；
（ 2 ）确定
90 的整数部分，即知 a 的值，同理可确定
3 的整数部分，从而求得它的小数部分，即 b 的值，
则可以求得代数式
3
a
+ b
-
+1 的值，从而求得其平方根；
（ 3 ）由 2
5
3
<
<
得即 9
7
5
10
<
+
<
，从而得 x =9 ， y = 5
- 2
，将 x 、 y 的值代入原式即可求解．
【解析】（ 1 ）解：∵ 3
10
4
<
<
，
∴ 10 的整数部分为 3 ，
∴ 10 的小数部分为 10
3
- ，
∵ 3
13
4
<
<
，
∴ 3
13
4
-
-
＞ -
＞
，
∴ 5
3
13
4
-
-
＞ 5-
＞ 5
即 1
13
2
＜ 5-
＜ ，
∴ 5
- 13
的整数部分为 1 ，
∴ 5
- 13
的小数部分为 4
- 13
，
故答案为： 10
3
- ， 4
- 13
；
（ 2 ）解：∵ 9
90
10
<
<
， a 是
90 的整数部分，
∴ a =9 ，
∵ 1
3
2
<
<
，
∴
3 的整数部分为 1 ，
∵ b 是
3 的小数部分，
∴
3
1
b =
- ，
∴
3
1
9
3
1
3
1
9
a
+ b
-
+ =
+
- -
+ =
∵ 9 的平方根等于 3
± ，
∴
3
1
a
+ b
-
+ 的平方根等于 3
± ；
（ 3 ）解：∵ 2
5
3
<
<
，
∴ 7
2
7
5
7
3
+
<
+
<
+ 即 9
7
5
10
<
+
<
，
∵ 7
5
x
y
+
=
+
，其中 x 是整数，且 0
1
< y
< ，
∴ x =9 ， y = 7
5
9
5
2
+
-
=
-
，
∴
5
9
5
2
5
11
x
- y
+
=
-
-
+
=
．
【点睛】本题考查了无理数的估算、求平方根以及求代数式的值，关键是掌握二次根式的大小估算方法．
13 ．新定义：若无理数 T 的被开方数 ( T 为正整数 ) 满足
2
2
1
n
T
n
<
<
+
( 其中 n 为正整数 ) ，则称无理数 T
的 “ 青一区间 ” 为
,
n n + 1
；同理规定无理数
- T
的 “ 青一区间 ” 为 (
1,
)
n
n
- -
-
．例如：因为
2
2
1
2
2
<
<
，所以
2
的 “ 青一区间 ” 为
1,2 ，
- 2
的 “ 青一区间 ” 为
2
1
-
-
，
，请回答下列问题：
(1) 17 的 “ 青一区间 ” 为 ；
- 23
的 “ 青一区间 ” 为 ；
(2) 若无理数
a ( a 为正整数 ) 的 “ 青一区间 ” 为
2,3 ，
a + 3
的 “ 青一区间 ” 为
3,4 ，求
3
1
a + 的值．
(3) 实数 x ， y ，满足关系式：
2
3
2023
4
2023
x
y
- +
+
-
=
，求
xy 的 “ 青一区间 ” ．
【答案】 (1)
4,5 ，
- 5, 4
-
(2)2 或 3 9
(3)
3,4
【分析】（ 1 ）根据 “ 青一区间 ” 的定义和确定方法，进行求解即可；
（ 2 ）根据 “ 青一区间 ” 的定义求出 a 的值，再根据立方根的定义，进行求解即可；
（ 3 ）利用非负性求出 , x y 的值，再进行求解即可．
【解析】（ 1 ）解：∵
2
2
4
17
5
<
<
，
∴ 17 的 “ 青一区间 ” 为
4,5 ；
∵
2
2
4
23
5
<
<
，
∴
- 23
的 “ 青一区间 ” 为
- 5, 4
-
；
故答案为：
4,5 ，
- 5, 4
-
；
（ 2 ）∵无理数
a “ 青一区间 ” 为
2,3 ，
∴ 2
3
a
<
<
，
∴
2
2
2
3
< a
<
，即 4
9
< a
<
，
∵无理数
a + 3
的 “ 青一区间 ” 为
3,4 ，
∴ 3
3
4
a
<
+
<
，
∴
2
2
3
3
4
< a
+
<
，即 9
3
16
< a
+
<
，
∴ 6
13
< a
<
，
∴ 6
9
< a
<
，
∵ a 为正整数，
∴
a = 7
或
a = 8
，
当
a = 7
时，
3
3
3
1
7 1
8
2
a + =
+ =
=
，
当
a = 8
时，
3
3
3
1
8 1
9
a + =
+ =
，
∴
3
1
a + 的值为 2 或 3 9 ．
（ 3 ）∵
2
3
2023
4
2023
x
y
- +
+
-
=
∴
2
3
2023
4
2023
x
y
-
+
+
-
=
，
即
2
3
4
0
x
y
-
+
-
=
，
∴
x = 3
，
y = 4
，
∴
xy = 12
，
∵
2
2
3
12
4
<
<
，
∴
xy 的 “ 青一区间 ” 为
3,4 ．
【点睛】本题考查无理数的估算，非负性，求一个数的立方根．理解并掌握 “ 青一区间 ” 的定义和确定方法，
是解题的关键．
题型 7 ：程序框图问题
14 ．有一个数值转换器，流程如下：
