第二章 实数 知识归纳与题型突破（二十一类题型清单）
一、平方根和立方根
类型
项目
平方根
立方根
被开方数
非负数
任意实数
01 思维导图
02 知识速记
符号表示
性质
一个正数有两个平方根，且互为
相反数；
零的平方根为零；
负数没有平方根；
一个正数有一个正的立方根；
一个负数有一个负的立方根；
零的立方根是零；
重要结论
二、无理数与实数
有理数和无理数统称为实数 .
1. 实数的分类
实数
要点： （ 1 ）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限
循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数．
（ 2 ）无理数分成三类：①开方开不尽的数，如
，
等；
②有特殊意义的数，如π；
③有特定结构的数，如 0.1010010001…
（ 3 ）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式 .
2. 实数与数轴上的点一 一对应
数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应 .
4. 实数的运算
数
的相反数是－
；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它相反数； 0 的绝对值是 0.
有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立 . 实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，
最后算加减 . 同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里 .
5. 实数的大小的比较
有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立 .
法则 1. 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数 大；
法则 2 ．正数大于 0 ， 0 大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；
法则 3. 两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法 .
三、二次根式的相关概念和性质
1. 二次根式
形如
的式子叫做二次根式，如
等式子，都叫做二次根式 .
要点： 二次根式
有意义的条件是
，即只有被开方数
时，式子
才是二次根式，
才有意
a
3 a
0)
(
0)
(
0)
(
)
(
2
2
a
a
a a
a
a
a a
a
3
3
3
3
3
3
)
(
a
a
a
a
a
a
ü
ï
ï
ï
ý
ïï
ï
ï
þ
ï
ü
ï
ý
ï
þ
正有理数
有理数 零
有限小数或无限循环小数
负有理数
无理数 正无理数
无限不循环小数
负无理数
5
3 2
a
a
(
a a 0)
1
3,
, 0.02, 0
2
a
a 0
a 0
a
a
义 .
2. 二次根式的性质 （ 1 ）
；
（ 2 ）
；（ 3 ）
.
3. 最简二次根式
（ 1 ）被开方数是整数或整式；
（ 2) 被开方数中不含能开方的因数或因式 .
满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式 . 如
等都是最简二次根式 .
要点： 最简二次根式有两个要求：（ 1 ）被开方数不含分母（ 2 ）被开方数中每个因式的指数都小于根指数 2.
4. 同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式 .
要点： 判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断 .
四、二次根式的运算
1. 乘除法
（ 1 ）乘除法法则：
类型
法则
逆用法则
二次根式的乘法
积的算术平方根化简公式：
二次根式的除法
商的算术平方根化简公式：
要点：
（ 1 ） 当 二 次 根 式 的 前 面 有 系 数 时 ， 可 类 比 单 项 式 与 单 项 式 相 乘 （ 或 相 除 ） 的 法 则 ， 如
.
（ 2 ）被开方数
一定是非负数（在分母上时只能为正数） . 如
.
2. 加减法
将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同
类二次根式 .
要点： 二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并
同类二次根式 . 如
.
题型一 实数的概念与分类
例题
1 ．在下列各数： 3.1415926 、
49
100
、 0.2 、 1
p 、
7 、 131
11 、 3 64 中，无理数的个数（ ）
2
2
2,
,3
,
ab
x
a
b
+
(
0,
0)
a
b
ab a
b
´
(
0,
0)
ab
a
b a
b
´
a
a a
b
b
b
0
， ＞ 0
(
0,
0)
a
a a
b
b
b
>
a b c d
ac bd
×
a
、 b
( 4) ( 9)
4
9
´
¹
´
2
3 2
5 2
(1 3
5) 2
2
+
+
03 题型归纳
A ． 2
B ． 3
C ． 4
D ． 5
【答案】 A
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数
与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解析】解： 3.1415926 、 0.2 都是有限小数，是有理数，
49
7
100
10
、 131
11 都是分数，是有理数，
3 64
4
是整数，是有理数，
1
p 、
7 是无理数，共 2 个，
故选： A ．
【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有 ∶ π 、 2 π 等；开方开不尽的数；以
及像 0 ． 01010010001 ⋯ ，等有这样规律的数．
巩固训练
2 ．在实数
3
22
2,0.31,
, 1,
, 0.4, 0.064,0.1010010001
3
7
p
L ，（每隔一个 1 增加一个 0 ）中，无理数有
（ ）
A ． 2 个
B ． 3 个
C ． 4 个
D ． 5 个
【答案】 C
【分析】根据无理数的三种形式求解即可．
【解析】解：在这 8 个数中，无理数有
2
、
3
p
、
0.4 、 0.101001000 ¼ （每各一个 1 增加一个 0) 这 4
个，
故选： C ．
【点睛】本题考查了无理数的知识，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式： ① 开方开不尽的数， ② 无
限不循环小数， ③ 含有 p 的数．
3 ．下列说法正确的是（ ）
A ．两个无理数的和一定是无理数
B ．无限小数都是无理数
C ．实数可以用数轴上的点来表示
D ．分数可能是无理数
【答案】 C
【分析】根据实数的有关概念、实数与数轴的关系对各项逐一分析判断即可．
【解析】 A. 两个无理数的和可能是无理数，也可能是有理数，如互为相反数的一对无理数
2 和
2
，它
们的和是 0 ，是有理数，故本选项说法错误，不符合题意；
B. 无理数是无限不循环小数，无限小数不一定是无理数，故本选项说法错误，不符合题意；
C. 实数可以用数轴上的点来表示，说法正确，符合题意；
D. 分数是有理数，故本选项说法错误，不符合题意．
故选： C ．
【点睛】本题主要考查了实数的有关概念和实数与数轴的关系，熟练掌握实数的基本概念是解题的关键．
4 ．把下列各数填人相应的集合内：
1
3.1 4
0.8080080008...
3
9
p
，， ，，
（相邻两个 8 之间 0 的个数逐步甲 1 ），
3
3
1
5
,
2, 8,-
, 36,
25,
4
1
4
2
整数集合｛ … ｝
负分数集合｛ … ｝
有理数集合｛ … ｝
无理数集合｛ … ｝
【答案】见解析
【分析】根据有理数、无理数、整数、负分数的定义分别判断即可得出答案．
【解析】解：整数集合｛ 3 8, 36, 4
1
； … ｝
负分数集合｛ 5
- 2 ； … ｝
有理数集合｛
3
1
4 1
5
3.1
, 8,-
, 36, 4
1
3
9 4
2
， ，，
； … ｝
无理数集合｛
p 0.8080080008...
，
（相邻两个 8 之间依次多 1 个 0 ），
3
2, 25 … ｝
【点睛】此题主要考查了有理数、无理数、整数、负分数的定义注意带根号的要开不尽方才是无理数，无
限不循环小数为无理数．如 π ， 3 25 ， 1.18080080008… （每两个 8 之间依次多 1 个 0 ）等形式．
题型二 平方根与算术平方根
例题
5 ．下列说法正确的是（ ）
A ． 8
的立方根是 2
B ．
( 4) 2
的算术平方根是 4
C ． 16 的平方根是 4
D ． 0 的平方根与算术平方根都是 0
【答案】 D
【分析】利用平方根、算术平方根、立方根的定义逐项进行判断即可．
【解析】解： A ． 8
的立方根是 2
，故此选项不符合题意；
B ．
( 4) 2
的算术平方根是 4 ，故此选项不符合题意；
C ． 16 的平方根是 2
，故此选项不符合题意；
D ． 0 的平方根与算术平方根都是 0 ，故此选项符合题意；
故选： D ．
【点睛】本题考查平方根、算术平方根、立方根，理解平方根、算术平方根、立方根的定义是正确解答的
前提．
巩固训练
6 ．下列计算正确的是（ ）
A ．
2
3
3
B ．
1
1
C ． 16
4
D ．
( 3) 2
3
【答案】 A
【分析】根据平方根和算术平方根的法则分别计算，进而判断得出答案．
【解析】解： A ．
( 3) 2
3
，故此选项正确，符合题意；
B ．
1
1
，故此选项错误，不合题意；
C ． 16
4
，故此选项错误，不合题意；
D ．
( 3) 2
3
，故此选项错误，不合题意．
故选： A ．
【点睛】此题主要考查了平方根和算术平方根，正确化简各数是解题关键．
7 ．一个正数的两个平方根分别为 4
m 2
与 1
m ，则这个正数为（ ）
A ． 1
B ． 2
C ． 36
25
D ． 4
【答案】 D
【分析】本题考查平方根，解一元一次方程，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
根据平方根的定义可知
4
2
1
0
m
m
+
，解方程即可．
【解析】解：由题意得：
4
2
1
0
m
m
+
，
解得：
1
m ，
∴ 这个正数为
2
4
2
4
m
，
故选： D ．
8 ．下列说法中错误的是（ ）
A ．
1
2 是 0.25 的一个平方根
B ．正数 a 的两个平方根的和为 0
C ． 9
16 的平方根是
3
4
D ．当
x ¹ 0
时，
2 x
有平方根
【答案】 D
【分析】根据各个选项中的说法可以判断是否正确，从而可以解答本题．
【解析】解： 1
2 是 0.25 的一个平方根，故选项 A 正确，不符合题意；
因为正数的两个平方根互为相反数，故它们的和为 0 ，故选项 B 正确，不符合题意；
9
16 的平方根是
3
4
，故选项 C 正确，不符合题意；
因为负数没有平方根，故当
x ¹ 0
时，
2 x
没有平方根，故选项 D 错误，符合题意．
故选： D ．
【点睛】本题考查平方根，解答本题的关键是明确什么是平方根，可以判断各个选项是否正确．
9 ． 16 的算术平方根等于（ ）
A ． 4
B ． 4
C ． 2
D ． 2
【答案】 C
【分析】计算 16
4
，由此解答即可．
【解析】解： ∵ 16
4
，
∴ 16 的算术平方根是 2 ，
故选： C ．
【点睛】此题考查了求一个数的算术平方根，正确掌握算术平方根的定义：一个正数的平方等于 a ，则这个
数是 a 的算术平方根，熟记定义是解题的关键．
题型三 平方根、立方根的解方程问题
例题
10 ．解方程：
(1)
1 2
36
x
(2)
1 3
2
x
7
【答案】 (1)
1
6
x
或
1
6
x = +
(2)
x 2
【分析】（ 1 ）根据求平方根的方法解方程即可；
（ 2 ）根据求立方根的方法解方程即可．
【解析】（ 1 ）解： ∵
1 2
36
x
，
∴
1
x 6
或
1
6
x
，
∴
1
6
x
或
1
6
x = +
；
（ 2 ）解： ∵
1 3
27
x
，
∴
1
3
x ，
∴
2
x ．
【点睛】本题主要考查了求平方根和求立方根的方法解方程，熟知求立方根和求平方根的方法是解题的关
键．
巩固训练
11 ．求出下列 x 的值．
(1)
4 2
49
0
x
；
(2)
3
27
1
64
x +
．
【答案】 (1)
7
2
x
(2)
7
3
x
【分析】（ 1 ）先移项，再根据平方根的定义解答；
（ 2 ）两边同时除以 27 后开立方即可求得 x 的值．
【解析】（ 1 ）解：
4 2
49
0
x
，
∴
2
49
x 4
，
解得：
7
x 2
；
（ 2 ）
3
27
1
64
x +
，
∴
3
64
1
27
x +
，
∴
4
1
x + 3
，
解得：
7
x 3
．
【点睛】本题考查了根据平方根、立方根解方程，熟练掌握平方根与立方根的定义是解题的关键．
题型四 算术平方根的非负性
例题
12 ．已知 a 、 b 为实数，且 3
2
0
a
b
+
+
，则 2
3
a
b
的值为（ ）
A ． 12
B ． 5
C ． 9
10
D ． 13
【答案】 A
【分析】应用算术平方根及绝对值的非负性，非负数之和等于 0 时，各项都等于 0 ，利用此性质列方程解决
求值问题，进行计算即可得出答案．
【解析】解： Q
3
2
0
a
b
+
+
3
0
\ + a
，
2
0
b
3
\ a
，
2
b
2
3
2
3
3 2
12
a
b
\
´
´
故选 A ．
【点睛】本题考查了算术平方根及绝对值的非负性，熟练掌握算术平方根及绝对值的非负性进行求解是解
题的关键．
巩固训练
13 ．已知 x
y
， 为实数，且
2
1
3
2
0
x
y
+
+
，则 x
y
的值为（ ）
A ． 3
B ． 3
C ． 1
D ． 1
【答案】 A
【分析】根据算术平方根的非负性和平方的非负性即可解答．
【解析】解： ∵
2
1
3
2
0
x
y
+
+
，
∴
1
x 0
，
2
0
y +
，
∴
1
x ，
2
y ，
∴
1
2
3
x
y
，
故选 A ．
【点睛】本题考查了二次根式的非负性，平方的非负性，一元一次方程的实际应用，掌握二次根式的非负
性及平方的非负性是解题的关键．
14 ．已知 2 a
+ b
与 3
b + 12
互为相反数．
(1) 求 a 、 b 的值．
(2) 求 2
3
a
b
的平方根．
【答案】 (1)
a 2
，
4
b ，
(2) 4
【分析】（ 1 ）由相反数的性质可得
3
0
12
2
b
a
b +
+
+
，再根据非负数的性质建立方程求解即可 .
（ 2 ）根据（ 1 ）的结论求得代数式的值，进而求平方根即可求解．
【解析】（ 1 ）解：由题意得：
3
0
12
2
b
a
b +
+
+
，
∴ 2
0
a
+ b
， 3
12
0
b +
，
解得：
a 2
，
4
b ，
（ 2 ）解： ∵
a 2
，
4
b ，
∵
2
3
2 2
3
4
16
a
b
´ ´
，
∴ 2
3
a
b
的平方根为 4
.
【点睛】本题考查的是相反数的含义，非负数的性质，平方根的含义，由非负数的性质建立方程求解是解
本题的关键 .
15 ．已知一个正方形的边长为 a ，面积为 S ，则（ ）
A ． S
a
B ． S 的平方根是 a
C ． a 是 S 的算术平方根
D ． a
S
【答案】 C
【分析】根据算术平方根和平方根的定义，即可解答．
【解析】解：根据题意得：
2 (
0)
S
a
a
>
a
S
\
，
a
\ 是 S 的算术平方根， S 的平方根是 a
，
故选： C ．
【点睛】本题考查了算术平方根和平方根，解决本题的关键是对算术平方根和平方根的定义的理解．
题型五 立方根
例题
