第一章 勾股定理 （单元重点综合测试）
班级 ___________ 姓名 ___________ 学号 ____________ 分数 ____________
考试范围：全章的内容； 考试时间： 120 分钟； 总分： 120 分
一、单选题
1 ．如图，在 Rt
△ ABC
中
90
Ð C
=
° ，
AC = 2
，
BC = 5
，则 AB = （ ）
A ．
21
B ．
29
C ．
26
D ． 6
【答案】 B
【分析】根据勾股定理即可直接求出答案．
【解析】∵在 Rt
△ ABC
中
90
Ð C
=
° ，
AC = 2
，
BC = 5
，
∴
2
2
2
2
2
5
29
AB
AC
BC
=
+
=
+
=
．
故选： B ．
【点睛】本题考查勾股定理．掌握直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方是解题关键．
2 ．下列三个数中，能组成一组勾股数的是（ ）
A ．
6 ， 8 ， 10
B ．
2 1 ，
2
2
，
2 3
C ． 12 ， 15 ， 9
D ． 1
3 ， 1
4 ， 1
5
【答案】 C
【分析】根据勾股定理的定义：满足
2
2
2
+
=
a
b
c 的三个正整数，称为勾股数，据此求解即可．
【解析】解： A 、三边
6 ， 8 ， 10 ，不是正整数，故本选项不符合题意；
B 、三边为 1 ， 2 ， 9 ，且
2
2
2
1
2
9
+
¹
，不符合勾股定理的逆定理，不能构成直角三角形，故本选项不符合题
意．
C 、
2
2
2
9
12
15
+
=
，三边是正整数，且符合勾股定理的逆定理，能构成直角三角形，故本选项符合题意．
D 、三边 1
3 ， 1
4 ， 1
5 ，不是正整数，故本选项不符合题意．
故选： C ．
【点睛】本题考查了勾股数问题，满足
2
2
2
+
=
a
b
c 的三个正整数，称为勾股数．
3 ．如图，点 P 是以 A 为圆心， AB 为半径的圆弧与数轴的交点，则数轴上点 P 表示的实数是（ ）
A ．－ 2
B ． 1
+ 10
C ． 1
- 10
D ． 10
1
-
【答案】 C
【分析】在 △ AOB 中，利用勾股定理求出 AB 的长，即可确定出 AP 的长，得到 P 表示的实数．
【解析】解：在 Rt △ AOB 中， OA ＝ 1 ， OB ＝ 3 ，
根据勾股定理得： AB ＝
2
2
3
1
10
+
=
，
∴ AP ＝ AB ＝ 10 ，
∴ OP ＝ AP ﹣ OA ＝ 10 － 1 ．
∵点 P 在原点的左边，
∴ P 表示的实数为 ﹣ （ 10 － 1 ）＝ 1 ﹣ 10 ．
故选： C ．
【点睛】此题考查了勾股定理，实数与数轴，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
4 ．在 Rt
△ ABC
中，斜边
BC = 2
，则
2
2
2
AB
AC
BC
+
+
等于（ ）
A ． 8
B ． 4
C ． 6
D ．以上都不对
【答案】 A
【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理可知
2
2
2
BC
AB
AC
=
+
，进
而可知
2
2
2
2
2
A
C
B
C
C
B
A
B
BC
+
=
+
+
．
【解析】解：∵在 Rt
△ ABC
中，斜边为 BC ，
∴
2
2
2
BC
AB
AC
=
+
，
∵
BC = 2
，
∴
2
2
4
AB
AC
=
+
，
∴
2
2
2
2
2
4
4
8
B
AB
AC
BC
BC
C
+
=
+
=
+
+
=
，
故选 A ．
5 ．如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为 0.7 米，顶端
距离地面 2.4 米 . 若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面 1.5 米，则小巷的宽度为 (
)
A ． 2.7 米
B ． 2.5 米
C ． 2 米
D ． 1.8 米
【答案】 A
【分析】先根据勾股定理求出梯子的长，进而根据勾股定理可得出小巷的宽度 .
【解析】
由题意可得：
2
2
2
0.7
2.4
6.25
AD =
+
=
，
在 Rt ABC
V
中，
Q
90
Ð ABC
=
° ，
BC = 1.5
米，
2
2
2
BC
AB
AC
+
=
，
\
2
1.5 2
6.25
AB +
=
，
\
2
AB = ± ，
Q
AB > 0
，
\
AB = 2
，
\ 小巷的宽度为 0.7
2
2.7
+
=
（米） .
故选 A .
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实
际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图 .
6 ．适合下列条件的 ABC
V
中，直角三角形的个数为（ ）
①
1
a = 3
,
1
b = 4
,
1
c = 5
；②
1
1
2
3
A
B
C
Ð
=
Ð
=
Ð
；③
2,
3,
5
a
b
c
=
=
=
；④
7,
24,
25
a
b
c
=
=
=
；⑤
2,
2,
4
a
b
c
=
=
=
．⑥
: :
3: 4:5
a b c =
A ． 2 个
B ． 3 个
C ． 4 个
D ． 5 个
【答案】 C
【分析】根据勾股定理的逆定理，直角三角形的定义和三角形的三边关系进行判断即可．
【解析】解： ①
2
2
2
1
1
1
3
4
5
æ
ö
æ
ö
æ
ö
¹
+
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
，故①不是直角三角形；
② ∵
1
1
2
3
A
B
C
Ð =
Ð
=
Ð
，∴ 6
180
Ð A
=
° ，∴
3
90
C
A
Ð
= Ð
=
° ，故②是直角三角形；
③
2
2
2
2
3
5
+
=
，故③是直角三角形；
④
2
2
2
7
24
25
+
=
，故④是直角三角形；
⑤ ∵ 2
2
4
+
=
，∴由三角形的三边关系可知，⑤不能构成三角形；
⑥ 令
3
a
= x
，
4
b
x
=
，
5
c
= x
，可知
2
2
2
+
=
a
b
c ，故⑥是直角三角形；
综上，有 4 个是直角三角形．
故选： C ．
【点睛】此题主要考查了直角三角形的判定，熟练运用勾股定理的逆定理是解题的关键．
7 ．如图， ABC
V
的顶点 A ， B ， C 在边长为 1 的正方形网格的格点上，则 BC 边长的高为（ ）
A ． 15
2
B ． 8
5
5
C ． 4
5
5
D ．
13
2
【答案】 C
【分析】根据勾股定理解答即可．
【解析】解：
1
1
1
3 4
2 3
2 1
2 4=4
2
2
2
S ABC
= ´ -
´ ´ -
´ ´ -
´ ´
Q V
，
2
2
2 +4 =2 5
Q BC =
，
\ BC
边长的高
2 4
4 5
5
2 5
´
=
=
，
故选： C ．
【点睛】此题考查勾股定理，关键是根据如果直角三角形的两条直角边长分别是 a ， b ，斜边长为 c ，那么
2
2
2
+
=
a
b
c 解答．
8 ．如图，已知 1 号、 4 号两个正方形的面积之和为 7 ， 2 号、 3 号两个正方形的面积之和为 4 ，则 a 、 b 、 c
三个正方形的面积之和为（ ）
A ． 11
B ． 15
C ． 10
D ． 22
【答案】 B
【分析】由直角三角形的勾股定理以及正方形的面积公式不难发现： a 的面积等于 1 号的面积加上 2 号的面
积， b 的面积等于 2 号的面积加上 3 号的面积， c 的面积等于 3 号的面积加上 4 号的面积，据此可以求出三
个的面积之和 .
【解析】利用勾股定理可得：
1
2
S a
S
S
=
+
，
2
3
S b
S
S
=
+
，
3
4
c S
S
S
=
+
∴
1
2
2
3
3
4
a
b
c
S
S
S
S
S
S
S
S
S
+
+
=
+
+
+
+
+
7
4
4
15
=
+
+
=
故选 B
【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，熟练掌握相关性质定理是解题关键 .
9 ．我们在学习勾股定理的第二课时时，以下图形可以用来验证勾股定理的有（ ）个．
A ． 1
B ． 2
C ． 3
D ． 4
【答案】 C
【分析】用两种不同的方法表示出梯形的面积，可以判断图 1 和图 3 可以验证勾股定理；根据图形的总面
积等于一个大正方形的面积加上两个直角三角形的面积，也等于两个小正方形的面积加上两个直角三角形
的面积，然后整理可以判断图 2 可以验证勾股定理．
【解析】解：图 1 和图 3 ：∵
1
(
)(
)
2
S
a
b a
b
=
´
+
+
梯形
，
2
1
1
1
2
2
2
S
ab
ab
c
=
+
+
梯形
，
∴
2
1
1
1
1
(
)(
)
2
2
2
2
a
b a
b
ab
ab
c
´
+
+
=
+
+
，
∴
2
2
2
2
a
ab
b
ab
ab
c
+
+
=
+
+
，
∴
2
2
2
a
b
c
+
=
，故图 1 和图 3 都可以验证勾股定理；
图 2 ：图形的总面积可以表示为：
2
2
1
2
2
c
ab
c
ab
+ ´
=
+
，
也可以表示为：
2
2
2
2
1
2
2
a
b
ab
a
b
ab
+
+ ´
=
+
+
，
∴
2
2
2
c
ab
a
b
ab
+
=
+
+
，
∴
2
2
2
a
b
c
+
=
．故图 2 可以验证勾股定理；
图 4 不可以验证勾股定理．
综上，图 1 、图 2 和图 3 可以验证勾股定理，共 3 个．
故选： C ．
【点睛】本题考查了勾股定理的证明，观察图形，利用两种方法表示出图形的面积是解题的关键．
10 ．如图，三角形纸片 ABC 中，点 D 是 BC 边上一点，连接 AD ，把 △ ABD 沿着直线 AD 翻折，得到
△ AED ， DE 交 AC 于点 G ，连接 BE 交 AD 于点 F ．若 DG ＝ EG ， AF ＝ 4 ， AB ＝ 5 ， △ AEG 的面积为 9
2 ，则
BD 的长为（ ）
A ． 13
B ． 11
C ．
7
D ． 5
【答案】 A
【分析】首先根据 SAS 证明 △ BAF ≌ △ EAF 可得 AF ⊥ BE ，根据三角形的面积公式求出 AD ，根据勾股定理
求出 BD 即可．
【解析】解：由折叠得， AB
= AE
，∠ BAF= ∠ EAF ，
在 △ BAF 和 △ EAF 中，
AB
AE
BAF
EAF
AF
AF
=
ì
ïÐ
= Ð
í
ï
=
î
∴ △ BAF ≌ △ EAF(SAS)
∴ BF=EF
∴ AF ⊥ BE
又∵ AF ＝ 4 ， AB ＝ 5 ，
∴
2
2
3
BF
AB
AF
=
-
=
在 △ ADE 中， EF ⊥ AD ， DG ＝ EG ，设 DE 边上的高线长为 h ，
∴
1
1
1
2
2
2
S ADE
AD EF
DG h
EG h
D
=
×
=
×
+
×
即
1
2
ADG
AEG
S
S
AD EF
D
+ D
=
×
∵
1
9
2
2
S AEG
GE h
D
=
×
×
=
，
ADG
AEG
S
S
D
D
=
∴
9
9
9
2
2
ADG
AEG
S
S
D
+ D
=
+
=
∴
1
9
= 2 AD 3
×
∴
6
AD =
∴
6
4
2
FD
AD
AF
=
-
=
-
=
在 Rt △ BDF 中，
BF = 3
，
FD = 2
，
∴
2
2
2
2
3
2
13
BD
BF
FD
=
+
=
+
=
故选： A
【点睛】本题考查翻折变换，三角形的面积，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
二、填空题
11 ．已知直角三角形的两边长分别为 3 、 4 ．则第三边长为
．
【答案】 5 或
7
【分析】已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论．
【解析】解：①长为 3 的边是直角边，长为 4 的边是斜边时，
第三边的长为：
2
2
4
3
7
-
=
；
②长为 3 、 4 的边都是直角边时，
第三边的长为：
2
2
4
3
5
+
=
；
∴第三边的长为：
7 或 5 ，
