函数 y=

15x

143x ² +126 ^{的性质及图像画法}

主要内容：

本文主要介绍函数 y=

15x

143x ² +126 ^{的定义域、值域、单调性、奇偶}

性、凸凹性等性质，并简要画出函数的图像示意图。

函数的定义域：

∵分母 143x ² +126 ≥ 126 ＞ 0 ，即分母为正的实数，再取倒数函数有

意义，

∴函数的定义域为全体实数，即： (- ∞， + ∞ ) 。

函数的单调性：

可用基本不等式来解析，分子分母同时除 x 有：

y=

15x

143x ² +126 ⁼

15

143x+ ¹²⁶

x

,

对于分母 g(x)=143x+ ¹²⁶

x ^有：

(1) 当 x ＞ 0 时 ， g(x) ≥ 2

143x* ¹²⁶

x ⁼⁶

2002 ， 取 等 号 时

x= ³

143 ^{2002 ≈ 0.94 ，则函数 增区间为 (0 ， 0.94) ，减区间为 [ 0.94 ,+ ∞ );}

(2) 当 x ＜ 0 时 ， g(x) ≤ -2

143x* ¹²⁶

x ^=-6

2002 ， 取 等 号 时

x=- ³

143 ^{2002 ≈ -0.94 ，则函数 增区间为 (-0.94,0) ，减区间为 (- ∞ ,- 0.94 ] 。}

或者，用导数知识求解有：

y=

15x

143x ² +126 ^,

dy

dx ^{=15*(143x ² +126)-2*143*15x ²}

(143x ² +126) ²

=- ^{15(143x ² -126)}

(143x ² +126) ² ^{, 令 dy}

dx ^{=0, 则 :143x ² -126=0, 即 143x ² =126 ，求出：}

x= ± ³

143 ^{2002 ≈± 0.94 ，函数单调性为：}

(1) 当 x ∈ (- ∞， -0.94) ∪ (0.94 ， + ∞ ) 时， ^dy

dx ^{≤ 0 ，函数 y 为减函数；}

(2) 当 x ∈ [-0.94 ， 0.94] 时， ^dy

dx ^{>0 ，此时函数 y 为增函数。}

函数的凸凹性：

dy

dx ^{=-15 143x ² -126}

(143x ² +126) ² ^,

d ² y

dx ² ^{=-15*2*143x (143x ² +126) ² -(143x ² -126)*4*143x(143x ² +126)}

(143x ² +126) ⁴

=-15* ^{2*143x (143x ² +126)-4*143x(143x ² -126)}

(143x ² +126) ³

=2*143*15* ^{x (143x ² -3*126)}

(143x ² +126) ³ ^.

令 ^{d ² y}

dx ² ^{=0 ，则 x=0 或者 143x ² -3*126=0 ，求出 :}

x= ± ³

143 ^{6006 ≈± 1.63 ，函数 y 凸凹性为：}