函数 y=

95x

401x ² +225 ^{的性质及图像画法}

主要内容：

本文主要介绍函数 y=

95x

401x ² +225 ^{的定义域、值域、单调性、奇偶}

性、凸凹性等性质，并简要画出函数的图像示意图。

函数的定义域：

∵分母 401x ² +225 ≥ 225 ＞ 0 ，即分母为正的实数，再取倒数函数有

意义，

∴函数的定义域为全体实数，即： (- ∞， + ∞ ) 。

函数的单调性：

可用基本不等式来解析，分子分母同时除 x 有：

y=

95x

401x ² +225 ⁼

95

401x+ ²²⁵

x

,

对于分母 g(x)=401x+ ²²⁵

x ^有：

(1) 当 x ＞ 0 时 ， g(x) ≥ 2

401x* ²²⁵

x ⁼³⁰

401 ， 取 等 号 时

x= ¹⁵

401 ^{401 ≈ 0.75 ，则函数 增区间为 (0 ， 0.75) ，减区间为 [ 0.75 ,+ ∞ );}

(2) 当 x ＜ 0 时 ， g(x) ≤ -2

401x* ²²⁵

x ^=-30

401 ， 取 等 号 时

x=- ¹⁵

401 ^{401 ≈ -0.75 ，则函数 增区间为 (-0.75,0) ，减区间为 (- ∞ ,- 0.75 ] 。}

或者，用导数知识求解有：

y=

95x

401x ² +225 ^,

dy

dx ^{=95*(401x ² +225)-2*401*95x ²}

(401x ² +225) ²

=- ^{95(401x ² -225)}

(401x ² +225) ² ^{, 令 dy}

dx ^{=0, 则 :401x ² -225=0, 即 401x ² =225 ，求出：}

x= ± ¹⁵

401 ^{401 ≈± 0.75 ，函数单调性为：}

(1) 当 x ∈ (- ∞， -0.75) ∪ (0.75 ， + ∞ ) 时， ^dy

dx ^{≤ 0 ，函数 y 为减函数；}

(2) 当 x ∈ [-0.75 ， 0.75] 时， ^dy

dx ^{>0 ，此时函数 y 为增函数。}

函数的凸凹性：

dy

dx ^{=-95 401x ² -225}

(401x ² +225) ² ^,

d ² y

dx ² ^{=-95*2*401x (401x ² +225) ² -(401x ² -225)*4*401x(401x ² +225)}

(401x ² +225) ⁴

=-95* ^{2*401x (401x ² +225)-4*401x(401x ² -225)}

(401x ² +225) ³

=2*401*95* ^{x (401x ² -3*225)}

(401x ² +225) ³ ^.

令 ^{d ² y}

dx ² ^{=0 ，则 x=0 或者 401x ² -3*225=0 ，求出 :}

x= ± ¹⁵

401 ^{1203 ≈± 1.30 ，函数 y 凸凹性为：}