函数 y=

141x

121x ² +39 ^{的性质及图像画法}

主要内容：

本文主要介绍函数 y=

141x

121x ² +39 ^{的定义域、值域、单调性、奇偶性、}

凸凹性等性质，并简要画出函数的图像示意图。

函数的定义域：

∵分母 121x ² +39 ≥ 39 ＞ 0 ，即分母为正的实数，再取倒数函数有意

义，

∴函数的定义域为全体实数，即： (- ∞， + ∞ ) 。

函数的单调性：

可用基本不等式来解析，分子分母同时除 x 有：

y=

141x

121x ² +39 ⁼

141

121x+ ³⁹

x

,

对于分母 g(x)=121x+ ³⁹

x ^有：

(1) 当 x ＞ 0 时， g(x) ≥ 2

121x* ³⁹

x ^{=22 39 ，取等号时 x= 1}

11 ^{39 ≈}

0.57 ，则函数 增区间为 (0 ， 0.57) ，减区间为 [ 0.57 ,+ ∞ );

(2) 当 x ＜ 0 时， g(x) ≤ -2

121x* ³⁹

x ^{=-22 39 ， 取等号时 x=- 1}

11 ³⁹

≈ -0.57 ，则函数 增区间为 (-0.57,0) ，减区间为 (- ∞ ,- 0.57 ] 。或者，用导

数知识求解有：

y=

141x

121x ² +39 ^,

dy

dx ^{=141*(121x ² +39)-2*121*141x ²}

(121x ² +39) ²

=- ^{141(121x ² -39)}

(121x ² +39) ² ^{, 令 dy}

dx ^{=0, 则 :121x ² -39=0, 即 121x ² =39 ，求出：}

x= ± ¹

11 ^{39 ≈± 0.57 ，函数单调性为：}

(1) 当 x ∈ (- ∞， -0.57) ∪ (0.57 ， + ∞ ) 时， ^dy

dx ^{≤ 0 ，函数 y 为减函数；}

(2) 当 x ∈ [-0.57 ， 0.57] 时， ^dy

dx ^{>0 ，此时函数 y 为增函数。}

函数的凸凹性：

dy

dx ^{=-141 121x ² -39}

(121x ² +39) ² ^,

d ² y

dx ² ^{=-141*2*121x (121x ² +39) ² -(121x ² -39)*4*121x(121x ² +39)}

(121x ² +39) ⁴

=-141* ^{2*121x (121x ² +39)-4*121x(121x ² -39)}

(121x ² +39) ³

=2*121*141* ^{x (121x ² -3*39)}

(121x ² +39) ³ ^.

令 ^{d ² y}

dx ² ^{=0 ，则 x=0 或者 121x ² -3*39=0 ，求出 :}

x= ± ³

11 ^{13 ≈± 0.98 ，函数 y 凸凹性为：}

(1) 当 x ∈ [-0.98 ， 0] ∪ (0.98 ， + ∞ ) 时， ^{d ² y}

dx ² ^{>0 ，函数 y 为凹函数；}