函数 y= 114x
89x ² +83 的性质及图像画法
主要内容：
本文主要介绍函数 y= 114x
89x ² +83 的定义域、值域、单调性、奇偶性、
凸凹性等性质，并简要画出函数的图像示意图。
函数的定义域：
∵分母 89x ² +83 ≥ 83 ＞ 0 ，即分母为正的实数，再取倒数函数有意
义，
∴函数的定义域为全体实数，即： (- ∞， + ∞ ) 。
函数的单调性：
可用基本不等式来解析，分子分母同时除 x 有：
y= 114x
89x ² +83 = 114
89x+ 83
x
,
对于分母 g(x)=89x+ 83
x 有：
(1) 当 x ＞ 0 时， g(x) ≥ 2
89x* 83
x =2 7387 ，取等号时 x= 1
89 7387
≈ 0.97 ，则函数 增区间为 (0 ， 0.97) ，减区间为 [ 0.97 ,+ ∞ );
(2) 当 x ＜ 0 时 ， g(x) ≤ -2
89x* 83
x =-2
7387 ， 取 等 号 时
x=- 1
89 7387 ≈ -0.97 ，则函数 增区间为 (-0.97,0) ，减区间为 (- ∞ ,- 0.97 ] 。
或者，用导数知识求解有：
y= 114x
89x ² +83 ,
dy
dx =114*(89x ² +83)-2*89*114x ²
(89x ² +83) ²
=- 114(89x ² -83)
(89x ² +83) ² , 令 dy
dx =0, 则 :89x ² -83=0, 即 89x ² =83 ，求出：
x= ± 1
89 7387 ≈± 0.97 ，函数单调性为：
(1) 当 x ∈ (- ∞， -0.97) ∪ (0.97 ， + ∞ ) 时， dy
dx ≤ 0 ，函数 y 为减函数；
(2) 当 x ∈ [-0.97 ， 0.97] 时， dy
dx >0 ，此时函数 y 为增函数。
函数的凸凹性：
dy
dx =-114 89x ² -83
(89x ² +83) ² ,
d ² y
dx ² =-114*2*89x (89x ² +83) ² -(89x ² -83)*4*89x(89x ² +83)
(89x ² +83) ⁴
=-114* 2*89x (89x ² +83)-4*89x(89x ² -83)
(89x ² +83) ³
=2*89*114* x (89x ² -3*83)
(89x ² +83) ³ .
令 d ² y
dx ² =0 ，则 x=0 或者 89x ² -3*83=0 ，求出 :
x= ± 1
89 22161 ≈± 1.67 ，函数 y 凸凹性为：
