函数 y=

151x

364x ² +18 ^{的性质及图像画法}

主要内容：

本文主要介绍函数 y=

151x

364x ² +18 ^{的定义域、值域、单调性、奇偶性、}

凸凹性等性质，并简要画出函数的图像示意图。

函数的定义域：

∵分母 364x ² +18 ≥ 18 ＞ 0 ，即分母为正的实数，再取倒数函数有意

义，

∴函数的定义域为全体实数，即： (- ∞， + ∞ ) 。

函数的单调性：

可用基本不等式来解析，分子分母同时除 x 有：

y=

151x

364x ² +18 ⁼

151

364x+ ¹⁸

x

,

对于分母 g(x)=364x+ ¹⁸

x ^有：

(1) 当 x ＞ 0 时， g(x) ≥ 2

364x* ¹⁸

x ^{=12 182 ，取等号时 x= 3}

182 ¹⁸²

≈ 0.22 ，则函数 增区间为 (0 ， 0.22) ，减区间为 [ 0.22 ,+ ∞ );

(2) 当 x ＜ 0 时 ， g(x) ≤ -2

364x* ¹⁸

x ^=-12

182 ， 取 等 号 时

x=- ³

182 ^{182 ≈ -0.22 ，则函数 增区间为 (-0.22,0) ，减区间为 (- ∞ ,- 0.22 ] 。}

或者，用导数知识求解有：

y=

151x

364x ² +18 ^,

dy

dx ^{=151*(364x ² +18)-2*364*151x ²}

(364x ² +18) ²

=- ^{151(364x ² -18)}

(364x ² +18) ² ^{, 令 dy}

dx ^{=0, 则 :364x ² -18=0, 即 364x ² =18 ，求出：}

x= ± ³

182 ^{182 ≈± 0.22 ，函数单调性为：}

(1) 当 x ∈ (- ∞， -0.22) ∪ (0.22 ， + ∞ ) 时， ^dy

dx ^{≤ 0 ，函数 y 为减函数；}

(2) 当 x ∈ [-0.22 ， 0.22] 时， ^dy

dx ^{>0 ，此时函数 y 为增函数。}

函数的凸凹性：

dy

dx ^{=-151 364x ² -18}

(364x ² +18) ² ^,

d ² y

dx ² ^{=-151*2*364x (364x ² +18) ² -(364x ² -18)*4*364x(364x ² +18)}

(364x ² +18) ⁴

=-151* ^{2*364x (364x ² +18)-4*364x(364x ² -18)}

(364x ² +18) ³

=2*364*151* ^{x (364x ² -3*18)}

(364x ² +18) ³ ^.

令 ^{d ² y}

dx ² ^{=0 ，则 x=0 或者 364x ² -3*18=0 ，求出 :}

x= ± ³

182 ^{546 ≈± 0.39 ，函数 y 凸凹性为：}