函数 y=

27x

239x ² +275 ^{的性质及图像画法}

主要内容：

本文主要介绍函数 y=

27x

239x ² +275 ^{的定义域、值域、单调性、奇偶}

性、凸凹性等性质，并简要画出函数的图像示意图。

函数的定义域：

∵分母 239x ² +275 ≥ 275 ＞ 0 ，即分母为正的实数，再取倒数函数有

意义，

∴函数的定义域为全体实数，即： (- ∞， + ∞ ) 。

函数的单调性：

可用基本不等式来解析，分子分母同时除 x 有：

y=

27x

239x ² +275 ⁼

27

239x+ ²⁷⁵

x

,

对于分母 g(x)=239x+ ²⁷⁵

x ^有：

(1) 当 x ＞ 0 时 ， g(x) ≥ 2

239x* ²⁷⁵

x ⁼¹⁰

2629 ， 取 等 号 时

x= ⁵

239 ^{2629 ≈ 1.07 ，则函数 增区间为 (0 ， 1.07) ，减区间为 [ 1.07 ,+ ∞ );}

(2) 当 x ＜ 0 时， g(x) ≤ -2

239x* ²⁷⁵

x ^=-10

2629 ， 取等号时

x=- ⁵

239 ^{2629 ≈ -1.07 ，则函数 增区间为 (-1.07,0) ，减区间为 (- ∞ ,- 1.07 ] 。}

或者，用导数知识求解有：

y=

27x

239x ² +275 ^,

dy

dx ^{=27*(239x ² +275)-2*239*27x ²}

(239x ² +275) ²

=- ^{27(239x ² -275)}

(239x ² +275) ² ^{, 令 dy}

dx ^{=0, 则 :239x ² -275=0, 即 239x ² =275 ，求出：}

x= ± ⁵

239 ^{2629 ≈± 1.07 ，函数单调性为：}

(1) 当 x ∈ (- ∞， -1.07) ∪ (1.07 ， + ∞ ) 时， ^dy

dx ^{≤ 0 ，函数 y 为减函数；}

(2) 当 x ∈ [-1.07 ， 1.07] 时， ^dy

dx ^{>0 ，此时函数 y 为增函数。}

函数的凸凹性：

dy

dx ^{=-27 239x ² -275}

(239x ² +275) ² ^,

d ² y

dx ² ^{=-27*2*239x (239x ² +275) ² -(239x ² -275)*4*239x(239x ² +275)}

(239x ² +275) ⁴

=-27* ^{2*239x (239x ² +275)-4*239x(239x ² -275)}

(239x ² +275) ³

=2*239*27* ^{x (239x ² -3*275)}

(239x ² +275) ³ ^.

令 ^{d ² y}

dx ² ^{=0 ，则 x=0 或者 239x ² -3*275=0 ，求出 :}

x= ± ⁵

239 ^{7887 ≈± 1.86 ，函数 y 凸凹性为：}