函数 y=ln(10x+1)+ ^2x

x+21 ^{的性质及图像示意图}

主要内容：

本文通过导数知识，解析函数 y=ln(10x+1)+ ^2x

x+21 ^{的单调性、}

凸凹性等函数性质，并简要画出函数图像示意图。

主要步骤：

※ . 函数的定义域

根据函数特征，对于对数部分有 10x+1 ＞ 0 ，则：

x ＞ - ¹

10 ^=-0.1,

对于分数函数部分有 1x+21 ≠ 0 ，则：

x ≠ -21,

综合以上函数的定义域为 (- ¹

10 ^{,+ ∞ ) 。}

※ . 函数的单调性

本处有函数的导数知识来解析，步骤如下：

y=ln(10x+1)+ ^2x

x+21 ^{，对 x 求一阶导数有：}

dy

dx ^{= 10}

10x+1 ^+2(x+21-x)

(x+21)

2 = ¹⁰

10x+1 ⁺

42

(x+21)

2 ,

因为 10x+1 ＞ 0 ， (x+21)

2 ＞ 0 ，所以 :

dy

dx ^{= 10}

10x+1 ⁺

42

(x+21)

2 ＞ 0 ，

则函数 y 在定义上为增函数。

※ . 函数的凸凹性

本处使用二次导数来解析函数的凸凹性，对一阶导数求导有：

d

2 y

dx

2 =-

100

(10x+1)

2 - ^42*2(x+21)

(x+21)

4

=-

100

(10x+1)

2 -

84

(x+21)

3 ,

=- ^4[25(x+21)

3 +21(10x+1)

2 ]

(10x+1)

2 (x+21)

3

,

当 x ＞ - ¹

10 ^{时 x+21=-0.10+21 ≈ 20.90>0,}

所以 ^d

2 y

dx

2 ＜ 0 ，即函数为凸函数。

※ . 函数的五点图

x

-0.05

0

0.05

0.10

0.15

ln(10x+1)

-0.69

0

0.41

0.69

0.92

2x

-0.10

0

0.10

0.20

0.30

x+21

20.95

21

21.05

21.10

21.15

y

-0.69

0

0.41

0.70

0.93