函数 y=ln(x+1)+ ^x

x+13 ^{的性质及图像示意图}

主要内容：

本文通过导数知识，解析函数 y=ln(x+1)+ ^x

x+13 ^{的单调性、凸}

凹性等函数性质，并简要画出函数图像示意图。

主要步骤：

※ . 函数的定义域

根据函数特征，对于对数部分有 x+1 ＞ 0 ，则：

x ＞ -1,

对于分数函数部分有 x+13 ≠ 0 ，则：

x ≠ -13,

综合以上函数的定义域为 (-1,+ ∞ ) 。

※ . 函数的单调性

本处有函数的导数知识来解析，步骤如下：

y=ln(x+1)+ ^x

x+13 ^{，对 x 求一阶导数有：}

dy

dx ^{= 1}

x+1 ^+x+13-x

(x+13)

2 = ¹

x+1 ⁺

13

(x+13)

2 ,

因为 x+1 ＞ 0 ， (x+13)

2 ＞ 0 ，所以 :

dy

dx ^{= 1}

x+1 ⁺

13

(x+13)

2 ＞ 0 ，

则函数 y 在定义上为增函数。

※ . 函数的凸凹性

本处使用二次导数来解析函数的凸凹性，对一阶导数求导有：

d

2 y

dx

2 =-

1

(x+1)

2 - ^13*2(x+13)

(x+13)

4

=-

1

(x+1)

2 -

26

(x+13)

3 ,

=- ^[(x+13)

3 +26(x+1)

2 ]

(x+1)

2 (x+13)

3

,

当 x ＞ -1 时 x+13=-1.00+13 ≈ 12.00>0,

所以 ^d

2 y

dx

2 ＜ 0 ，即函数为凸函数。

※ . 函数的五点图

x

-0.50

0

0.50

1.00

1.50

ln(x+1)

-0.69

0

0.41

0.69

0.92

(x+13)

12.50

13

13.50

14.00

14.50

y

-0.73

0

0.45

0.76

1.02