2025 年重庆市中考数学试卷
一、选择题：（本大题 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分）在每个小题的下面，都给出了代号为
A 、 B 、 C 、 D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑。
1 ．（ 4 分） 6 的相反数是（ ）
A ．﹣ 6
B ． 1
6
C ． 6
D ． − 1
6
2 ．（ 4 分）下列图案中，是轴对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3 ．（ 4 分）下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（ ）
A ．调查某种柑橘的甜度情况
B ．调查某品牌新能源汽车的抗撞能力
C ．调查某市垃圾分类的情况
D ．调查全班观看电影《哪吒 2 》的情况
4 ．（ 4 分）如图，点 A ， B ， C 在 ⊙ O 上，∠ AOB ＝ 100° ，∠ C 的度数是（ ）
A ． 40°
B ． 50°
C ． 80°
D ． 100°
5 ．（ 4 分）按如图所示的规律拼图案，其中第 ① 个图中有 4 个圆点，第 ② 个图中有 8 个圆点，第 ③ 个
图中有 12 个圆点，第 ④ 个图中有 16 个圆点…按照这一规律，则第 ⑥ 个图中圆点的个数是（ ）
A ． 32
B ． 28
C ． 24
D ． 20
6 ．（ 4 分）反比例函数 y ¿ − 12
x 的图象一定经过的点是（ ）
A ．（ 2 ， 6 ）
B ．（﹣ 4 ，﹣ 3 ）
C ．（﹣ 3 ，﹣ 4 ）
D ．（ 6 ，﹣ 2 ）
7 ．（ 4 分）下列四个数中，最大的是（ ）
A ． 6.18×10 8
B ． 6.28×10 8
C ． 6.18×10 9
D ． 6.28×10 9
8 ．（ 4 分）某景区 2022 年接待游客 25 万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区 2024 年接待游客达到
36 万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为（ ）
A ． 10%
B ． 20%
C ． 22%
D ． 44%
9 ．（ 4 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 2 ，点 E 是 BC 边的中点，连接 DE ，将△ DCE 沿直线 DE 翻折
到正方形 ABCD 所在的平面内，得△ DFE ，延长 DF 交 AB 于点 G ．∠ ADG 和∠ DAG 的平分线
DH ， AH 相交于点 H ，连接 GH ，则△ DGH 的面积为（ ）
A ． 5
8
B ． 5
4
C ． 5 √ 5
8
D ． 5 √ 5
4
10 ．（ 4 分）已知整式 M ： a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +
+
⋯ a n x n ，其中 a 0 为自然数， n ， a 1 ， a 2 ，
⋯ ，
a n 为正整数，且
a 0 + a 1 +
+
⋯ a n ＝ 4 ．下列说法：
① 满足条件的所有整式 M 中有且仅有 1 个单项式；
② 当 n ＝ 3 时，满足条件的所有整式 M 的和为 4 x 3 +4 x 2 +4 x +1 ；
③ 满足条件的所有二次三项式中，当 x 取任意实数时，其值一定为非负数的整式 M 共有 3 个．
其中正确的个数是（ ）
A ． 0
B ． 1
C ． 2
D ． 3
二、填空题：（本大题 6 个小题，每小题 4 分，共 24 分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横
线上。
11 ．（ 4 分）不透明袋子中有 1 个红球、 3 个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出 1 个
球，则摸出红球的概率是 ．
12 ．（ 4 分）如图， AB ∥ CD ，直线 EF 分别与 AB ， CD 交于点 E ， F ．若∠ 1 ＝ 70° ，则∠ 2 的度数是
．
13 ．（ 4 分）若 n 为正整数，且满足 n ＜ √ 26 ＜ n +1 ，则 n ＝ ．
14 ．（ 4 分）若实数 x ， y 同时满足 x
|
﹣ y | ＝ 2 ， | x | ﹣ y ＝ 4 ，则 x y 的值为 ．
15 ．（ 4 分）如图， AB 是 ⊙ O 的直径，点 C 在 ⊙ O 上，连接 AC ．以 AC 为边作菱形 ACDE ， CD 交 ⊙ O 于
点 F ， AB ⊥ CD ，垂足为 G ．连接 AD ，交 ⊙ O 于点 H ，连接 EH ．若 AG ＝ 12 ， GF ＝ 5 ，则 DF 的长度为
， EH 的长度为 ．
16 ．（ 4 分）我们规定：一个四位数 M ¿ abcd ，若满足 a + b ＝ c + d ＝ 10 ，则称这个四位数为“十全数”．
例如：四位数 1928 ，因为 1+9 ＝ 2+8 ＝ 10 ，所以 1928 是“十全数”．按照这个规定，最小的“十全
数”是 ；一个“十全数” M ¿ abcd ，将其千位数字与个位数字调换位置，百位数字与十
位 数 字 调 换 位 置 ， 得 到 一 个 新 的 数 M ' ¿ dcba ， 记 F （ M ） ¿ M − M '
909
， G （ M ） ¿ M + M '
11
. 若
4 F ( M )+ G ( M )+ 15
13
与 ab + cd
17
均是整数，则满足条件的 M 的值是 ．
三、解答题：（本大题 2 个小题，每小题 8 分，共 16 分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理
步骤 ， 画 出必要的图形（ 包括辅助 线），请将解答过程 书写 在答题卡中对应的位置上。
17 ．（ 8 分） 求 不 等 式 组 ： {
2 x − 2 ＜ x ①
x − 1
2
≤ 2 x − 1
3
② 的所有整数解．
18 ．（ 8 分）学 习 了 角 平分线和 尺 规作图 后 ，小红 进行 了 拓展性研究 ， 她 发 现 了 角 平分线的 另 一种作法，
并 与 她 的同 伴进行 交 流 ． 现 在 你 作为 她 的同 伴 ，请 根据她 的 想 法与 思路 ， 完成 以下作图和填空：
第一 步 ： 构造角 平分线．
小红在∠ AOB 的边 OA 上任取一点 E ， 并 过点 E 作了 OA 的垂线（如图）．请 你利 用 尺 规作图，在 OB
边上 截 取 OF ＝ OE ，过点 F 作 OB 的垂线与小红所作的垂线交于点 P ，作 射 线 OP ， OP 即 为∠ AOB 的
平分线（不 写 作法， 保留 作图 痕迹 ）．
第二 步 ： 利 用三 角 形全 等证 明 她 的 猜想 ．
证 明： ∵ PE ⊥ OA ， PF ⊥ OB ，
∴∠ OEP ＝∠ OFP ＝ 90° ．
在 Rt △ OEP 和 Rt △ OFP 中，
{
① ()
② ()
∴ Rt
△ OEP
≌ Rt
△ OFP （ HL ）．
∴ ③
∴ OP 平分∠ AOB ．
四、解答题：（本大题 7 个小题，每小题 10 分，共 70 分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理
步骤 ， 画 出必要的图形（ 包括辅助 线），请将解答过程 书写 在答题卡中对应的位置上。
19 ．（ 10 分）学 校 开 展 了 航天 知 识竞赛活动 ，从 七 、 八 年 级 学 生 中 各 随机 抽 取 20 名 学 生 的 竞赛成绩 （ 成
绩 为百分 制 且为整数） 进行 整理、 描述 和分 析 （ 成绩 均不 低 于 60 分，用 x 表 示，共分四 组 ：
A .90≤ x ≤100 ； B .80≤ x ＜ 90 ； C .70≤ x ＜ 80 ； D .60≤ x ＜ 70 ），下面给出了 部 分 信息 ：
七 年 级 20 名 学 生竞赛成绩 在 B 组 中的数 据 是： 83 ， 84 ， 84 ， 84 ， 85 ， 87 ， 88 ．
八
年
级
20
名
学
生
竞
赛
成
绩
是
：
62 ， 63 ， 65 ， 71 ， 72 ， 72 ， 75 ， 78 ， 81 ， 82 ， 84 ， 86 ， 86 ， 86 ， 89 ， 96 ， 97 ， 98 ， 98 ， 99 ．
七 、 八 年 级 所 抽 取学 生竞赛成绩统计表
年 级
七 年 级
八 年 级
平均数
82
82
中位数
a
83
众 数
84
b
根据 以上 信息 ，解答下列 问 题：
（ 1 ）上 述 图 表 中 a ＝ ， b ＝ ， m ＝ ；
（ 2 ） 根据 以上数 据 ， 你认 为该 校七 、 八 年 级 中哪个年 级 学 生航天 知 识竞赛 的 成绩较好？ 请说明理 由
（ 写 出一条理 由即可 ）；
（ 3 ）该 校七 年 级 有学 生 560 人， 八 年 级 有学 生 500 人，请 估计 该 校七 、 八 年 级参 加 此 次 竞赛成绩 不 低
于 90 分的学 生 人数共是 多少？
20 ．（ 10 分） 先化简 ， 再求 值：（ x +1 ）（ 3 x
1
﹣ ）﹣ x （ 3 x +1 ） + x
2 − x
x
2 + 2 x + 1
÷ （ 1
x − 2
x + 1 ），其中 x ＝ |
3|
﹣
+ （ π
4
﹣ ） 0 ．
21 ．（ 10 分）列方程解下列 问 题：
某 厂生产甲 、 乙 两种 文创产 品．每 天生产甲 种 文创产 品的数 量 比每 天生产乙 种 文创产 品的数 量多 50 个，
3 天 时 间生产 的 甲 种 文创产 品的数 量 比 4 天 时 间生产 的 乙 种 文创产 品的数 量多 100 个．
（ 1 ） 求 该 厂 每 天生产 的 甲 、 乙文创产 品数 量 分别是 多少 个 ？
（ 2 ） 由 于市 场需求量 增加，该 厂 对 生产流 程 进行 了 改进 ． 改进后 ，每 天生产乙 种 文创产 品的数 量较改
进前 每 天生产 的数 量 增加同 样 的数 量 ，且每 天生产甲 种 文创产 品的数 量较改进前 每 天 增加的数 量 是 乙
种 文创产 品每 天 增加数 量 的 2 倍 ．若 生产甲 、 乙 两种 文创产 品 各 1400 个， 乙 比 甲多 用 10 天 ， 求 每 天
生产 的 乙 种 文创产 品增加的数 量 ．
22 ．（ 10 分）如图，点 O 为 矩 形 ABCD 的对 角 线 AC 的中点， AB ＝ 3 ， BC ＝ 4 ． E ， F 是 AC 上的点（ E ， F
均不与 A ， C 重合），且 AE ＝ CF ，连接 BE ， DF ．用 x 表 示线 段 AE 的长度，点 E 与点 F 的 距离 为 y 1 ．
矩 形 ABCD 的面积为 S ，△ ABE 的面积为 S 1 ，△ CDF 的面积为 S 2 ， y 2 ¿
S
S 1 + S 2
．
（ 1 ）请直接 写 出 y 1 ， y 2 分别 关 于 x 的函数 表 达式， 并写 出自 变量 x 的取值 范围 ；
（ 2 ）在给定的平面直 角坐标系 中 画 出函数 y 1 ， y 2 的图象， 并 分别 写 出函数 y 1 ， y 2 的一条 性质 ；
（ 3 ） 结 合函数图象，请直接 写 出 y 1 ＜ y 2 时 x 的取值 范围 （ 近似 值 保留 小数点 后 一位， 误 差不 超 过
0.2 ）．
23 ．（ 10 分）为加 强森林防火 ，某 林场 采用人 工瞭望 与无人机 巡视 两种方式 监测森林 情况．如图 ，
A ， B ， C ， D 在同一平面内． A 是 瞭望台 ，某一时 刻 ，观 测 到 甲 无人机位于 A 的正 东 方 向 10 千 米 的 B
处 ， 乙 无人机位于 A 的 南偏西 30° 方 向 20 千 米 的 D 处 ．两无人机同时 飞往 C 处巡视 ， D 位于 C 的正 西
方 向 上， B 位于 C 的 北偏西 30° 方 向 上．
（ 参 考数 据 ： √ 2 ≈ 1.41 ， √ 3 ≈ 1.73 ， √ 5 ≈ 2.24 ， √ 7 ≈ 2.65 ）
（ 1 ） 求 BD 的长度（ 结果保留 小数点 后 一位）；
（ 2 ） 甲 、 乙 两无人机同时分别从 B ， D 出发沿 BC ， DC 往 C 处进行巡视 ， 乙 无人机 速 度为 甲 无人机 速
度的 2 倍 ．当两无人机相 距 20 千 米 时， 它 们 可 以开 始 相 互 接 收 到 信 号．请 问甲 无人机 飞离 B 处多少 千
米 时，两无人机 可 以开 始 相 互 接 收 到 信 号（ 结果保留 小数点 后 一位） ？
24 ．（ 10 分）如图，在平面直 角坐标系 中， 抛物 线 y ＝ x 2 + bx + c 与 x 轴交于 A ， B （ 6 ， 0 ）两点，与 y 轴交
于点 C ， 抛物 线的对称轴是直线 x ¿ 5
2 ．
（ 1 ） 求抛物 线的 表 达式；
（ 2 ）点 P 是 射 线 BC 下方 抛物 线上的一 动 点，连接 OP 与 射 线 BC 交于点 Q ，点 D ， E 为 抛物 线对称轴
上的 动 点（点 E 在点 D 的下方），且 DE ＝ 4 ，连接 BD ， PE ．当 PQ
OQ 取得最大值时， 求 点 P 的 坐标及
BD + PE 的最小值；
（ 3 ）在（ 2 ）中 PQ
OQ 取得最大值的条件下，将 抛物 线 y ＝ x 2 + bx + c 沿 射 线 BC 方 向 平 移 2 √ 2 个单位长度
得到 抛物 线 y ′ ，点 M 为点 P 的对应点，点 N 为 抛物 线 y ′ 上的一 动 点．若∠ NAB ＝∠ OPM
﹣ 45°
，请直接
写 出所有 符 合条件的点 N 的 坐标 ， 并写 出 求 解点 N 的 坐标 的其中一种情况的过程．
25 ．（ 10 分）在△ ABC 中， AB ＝ AC ，点 D 是 BC 边上一点（不与 端 点重合），连接 AD ．将线 段 AD 绕 点
A 逆 时 针旋转 α 得到线 段 AE ，连接 DE ．
（ 1 ）如图 1 ， α ＝∠ BAC ＝ 60° ，∠ CAE ＝ 20° ， 求 ∠ ADB 的度数；
（ 2 ）如图 2 ， α ＝∠ BAC ＝ 90° ， BD ＜ CD ，过点 D 作 DG ⊥ BC ， DG 交 CA 的延长线于 G ，连接 BG ．
点 F 是 DE 的中点，点 H 是 BG 的中点，连接 FH ， CF ．用 等 式 表 示线 段 FH 与 CF 的数 量关系并证 明；
（ 3 ）如图 3 ，∠ BAC ＝ 120° ， α ＝ 60° ， AB ＝ 8 ，连接 BE ， CE ．点 D 从点 B 移动 到点 C 过程中，将 BE
绕 点 B 逆 时 针旋转 60° 得线 段 BM ，连接 EM ，作 MN ⊥ CA 交 CA 的延长线于点 N ．当 CE 取最小值时，
在直线 AB 上取一点 P ，连接 PE ，将△ APE 沿 PE 所在直线翻折到△ ABC 所在的平面内，得△ QPE ，连
接 BQ ， MQ ， NQ ，当 BQ 取最大值时，请直接 写 出△ MNQ 的面积．
2025 年重庆市中考数学试卷
参 考答案与试题解 析
一．选择题（共 10 小题）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A ．
B
D
B
C
D
D
B
A
C
一、选择题：（本大题 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分）在每个小题的下面，都给出了代号为
A 、 B 、 C 、 D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑。
1 ．（ 4 分） 6 的相反数是（ ）
A ．﹣ 6
B ． 1
6
C ． 6
D ． − 1
6
【 解答 】 解： 6 的相反数是﹣ 6 ．
故 选： A ．
2 ．（ 4 分）下列图案中，是轴对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【 解答 】 解：在四个选项的图形中，只有选项 B 的图形能 找 到一条直线， 使 图形沿这条直线对折 后 两
边能 完 全重合， 故 选项 C 是轴对称图形，选项 A 、 C 、 D 不是轴对称图形．
故 选： B ．
3 ．（ 4 分）下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（ ）
A ．调查某种柑橘的甜度情况
B ．调查某品牌新能源汽车的抗撞能力
C ．调查某市垃圾分类的情况
D ．调查全班观看电影《哪吒 2 》的情况
【 解答 】 解： A ．调查某种柑橘的甜度情况，适合 抽样 调查， 故 本选项不合题意；
B ．调查某品牌新能源汽车的抗撞能力，适合 抽样 调查， 故 本选项不合题意；
C ．调查某市垃圾分类的情况，适合 抽样 调查， 故 本选项不合题意；
D ．调查全班观看电影《哪吒 2 》的情况，适合全面调查， 故 本选项 符 合题意；
故 选： D ．
4 ．（ 4 分）如图，点 A ， B ， C 在 ⊙ O 上，∠ AOB ＝ 100° ，∠ C 的度数是（ ）
A ． 40°
B ． 50°
C ． 80°
D ． 100°
【 解答 】 解： ∵ ∠ AOB 和∠ C 都对 ^
AB ，
∴∠ C ¿ 1
2 ∠ AOB ¿ 1
2 × 100° ＝ 50° ．
故 选： B ．
5 ．（ 4 分）按如图所示的规律拼图案，其中第 ① 个图中有 4 个圆点，第 ② 个图中有 8 个圆点，第 ③ 个
图中有 12 个圆点，第 ④ 个图中有 16 个圆点…按照这一规律，则第 ⑥ 个图中圆点的个数是（ ）
A ． 32
B ． 28
C ． 24
D ． 20
【 解答 】 解：第 ① 个图案中有 4 个黑色圆点，
第 ② 个图案中有 8 个黑色圆点，
第 ③ 个图案中有 12 个黑色圆点，
第 ④ 个图案中有 16 个黑色圆点，
… ，
则第 n 个图案中有 4 n 个黑色圆点，
所以第 ⑥ 个图中圆点的个数是 4×6 ＝ 24 个，
故 选： C ．
6 ．（ 4 分）反比例函数 y ¿ − 12
x 的图象一定经过的点是（ ）
A ．（ 2 ， 6 ）
B ．（﹣ 4 ，﹣ 3 ）
C ．（﹣ 3 ，﹣ 4 ）
D ．（ 6 ，﹣ 2 ）
【 解答 】 解： A 、 ∵ 2×6 ＝ 12≠
﹣ 12
， ∴此 点不在反比例函数图象上，不 符 合题意；
B 、 ∵ （﹣ 4 ） × （﹣ 3 ）＝ 12≠
﹣ 12
， ∴此 点不在反比例函数图象上，不 符 合题意；
C 、 ∵ （﹣ 3 ） × （﹣ 4 ）＝ 12≠
﹣ 12
， ∴此 点不在反比例函数图象上，不 符 合题意；
D 、 ∵ 6× （﹣ 2 ）＝﹣ 12 ， ∴此 点在反比例函数图象上， 符 合题意，
故 选： D ．
7 ．（ 4 分）下列四个数中，最大的是（ ）
A ． 6.18×10 8
B ． 6.28×10 8
C ． 6.18×10 9
D ． 6.28×10 9
【 解答 】 解： ∵ 6.18×10 8 ＝ 618000000 ，
6.28×10 8 ＝ 628000000 ，
6.18×10 9 ＝ 6180000000 ，
6.28×10 9 ＝ 6280000000 ，
且 618000000 ＜ 628000000 ＜ 618000000 ＜ 6280000000 ，
∴ 6.18×10
8 ＜ 6.28×10 8 ＜ 6.18×10 9 ＜ 6.28×10 9 ，
∴ 四个数中，最大的是 6.28×10 9 ，
故 选： D ．
8 ．（ 4 分）某景区 2022 年接待游客 25 万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区 2024 年接待游客达到
36 万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为（ ）
A ． 10%
B ． 20%
C ． 22%
D ． 44%
【 解答 】 解： 设 该景区这两年接待游客的年平均增长率为 x ，
根据 题意得： 25 （ 1+ x ） 2 ＝ 36 ，
解得： x 1 ＝ 0.2 ＝ 20% ， x 2 ＝﹣ 2.2 （不 符 合题意， 舍去 ），
∴ 该景区这两年接待游客的年平均增长率为 20% ．
故 选： B ．
9 ．（ 4 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 2 ，点 E 是 BC 边的中点，连接 DE ，将△ DCE 沿直线 DE 翻折
到正方形 ABCD 所在的平面内，得△ DFE ，延长 DF 交 AB 于点 G ．∠ ADG 和∠ DAG 的平分线
DH ， AH 相交于点 H ，连接 GH ，则△ DGH 的面积为（ ）
A ． 5
8
B ． 5
4
C ． 5 √ 5
8
D ． 5 √ 5
4
【 解答 】 解：如图，连接 GE ，
