2025 年天津市中考数学试卷
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的）
1 ．（ 3 分）计算（﹣ 21 ） ÷ （﹣ 7 ）的结果等于（ ）
A ．﹣ 3
B ． 3
C ． − 1
3
D ． 1
3
2 ．（ 3 分）如图是一个由 6 个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3 ．（ 3 分）估计 1 + √ 6 的值在（ ）
A ． 1 和 2 之间
B ． 2 和 3 之间
C ． 3 和 4 之间
D ． 4 和 5 之间
4 ．（ 3 分）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面 4 个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（
）
A ．
B ．
C ．
D ．
5 ．（ 3 分）据 2025 年 5 月 7 日《天津日报》报道，今年“五一”小长假，全市跨区域人员流动量达到
31492000 人次．将数据 31492000 用科学记数法表示应为（ ）
A ． 0.31492×10 8
B ． 3.1492×10 7
C ． 31.492×10 6
D ． 314.92×10 5
6 ．（ 3 分） tan 45 ° − √ 2cos 45 ° 的值等于（ ）
A ． 0
B ． 1
C ． 1 − √ 2
2
D ． 1 − √ 2
7 ．（ 3 分）若点 A （﹣ 3 ， y 1 ）， B （ 1 ， y 2 ）， C （ 3 ， y 3 ）都在反比例函数 y =− 9
x 的图象上，则
y 1 ， y 2 ， y 3 的大小关系是（ ）
A ． y 1 ＜ y 2 ＜ y 3
B ． y 3 ＜ y 2 ＜ y 1
C ． y 1 ＜ y 3 ＜ y 2
D ． y 2 ＜ y 3 ＜ y 1
8 ．（ 3 分）《算学启蒙》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有良马日行二百四十里，驽马日
行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”意思是：跑得快的马每天走 240 里，跑
得慢的马每天走 150 里．慢马先走 12 天，快马几天可以追上慢马？设快马 x 天可以追上慢马，则可以
列出的方程为（ ）
A ． 240 x ＝ 150 （ x +12 ）
B ． 240 x ＝ 150 （ x
﹣ 12
）
C ． 150 x ＝ 240 （ x +12 ）
D ． 150 x ＝ 240 （ x
﹣ 12
）
9 ．（ 3 分）计算
2
a
2 − 1
+ 1
a + 1 的结果等于（ ）
A ． 1
a − 1
B ． 1
a + 1
C ．
1
1 − a
D ． 1
10 ．（ 3 分）如图， CD 是△ ABC 的角平分线．按以下步骤作图： ① 以点 A 为圆心，适当长为半径画弧，
与边 AB 相交于点 E ，与边 AC 相交于点 F ； ② 以点 B 为圆心， AE 长为半径画弧，与边 BC 相交于点
G ； ③ 以点 G 为圆心， EF 长为半径画弧，与第 ② 步中所画的弧相交于点 H ； ④ 作射线 BH ，与 CD 相
交于点 M ，与边 AC 相交于点 N ．则下列结论一定正确的是（ ）
A ．∠ ABN ＝∠ A
B ． BN ⊥ AC
C ． CM ＝ AD
D ． BM ＝ BD
11 ．（ 3 分）如图，在△ ABC 中，∠ ACB ＝ 90° ，将△ ABC 绕点 A 顺时针旋转得到△ AB ′ C ′ ，点 B ， C 的对
应点分别为 B ′ ， C ′ ， B ′ C ′ 的延长线与边 BC 相交于点 D ，连接 CC ′ ．若 AC ＝ 4 ， CD ＝ 3 ，则线段 CC ′ 的
长为（ ）
A ． 12
5
B ． 16
5
C ． 4
D ． 24
5
12 ．（ 3 分）四边形 ABCD 中， AD ∥ BC ，∠ B ＝ 90° ， AB ＝ 8 cm ， AD ＝ 10 cm ， BC ＝ 16 cm ．动点 M 从点 B
出发，以 2 cm / s 的速度沿边 BA 、边 AD 向终点 D 运动；动点 N 从点 C 同时出发，以 1 cm / s 的速度沿边
CB 向终点 B 运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为 t
s ．当 t ＝ 2 s 时，点 M ， N 的位置如图所示．有下列结论：
① 当 t ＝ 6 s 时， CN ＝ DM ；
② 当 1≤ t ≤2 时，△ BMN 的最大面积为 26 cm 2 ；
③ t 有两个不同的值满足△ BMN 的面积为 39 cm 2 ．其中，正确结论的个数是（ ）
A ． 0
B ． 1
C ． 2
D ． 3
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）
13 ．（ 3 分）不透明袋子中装有 13 个球，其中有 3 个红球、 4 个黄球、 6 个绿球，这些球除颜色外无其他
差别．从袋子中随机取出 1 个球，则它是绿球的概率为 ．
14 ．（ 3 分）计算 3 x ﹣ x
5
﹣ x 的结果为 ．
15 ．（ 3 分）计算 ( √ 61 + 1 )( √ 61 − 1 ) 的结果为 ．
16 ．（ 3 分）将直线 y ＝ 3 x
1
﹣ 向上平移 m 个单位长度，若平移后的直线经过第三、第二、第一象限，则
m 的值可以是 （ 写 出一个 即 可）．
17 ．（ 3 分）如图，在 矩 形 ABCD 中， AB ＝ 2 ， BC ＝ 3 ，点 E 在边 BC 上， 且 EC ＝ 2 BE ．
（ Ⅰ ）线段 AE 的长为 ；
（ Ⅱ ） F 为 CD 的中点， M 为 AF 的中点， N 为 EF 上一点，若∠ FMN ＝ 75° ，则线段 MN 的长为
．
18 ．（ 3 分）如图，在每个小正方形的边长为 1 的 网格 中，点 P ， A 均 在 格 点上．
（ Ⅰ ）线段 PA 的长为 ；
（ Ⅱ ）直线 PA 与△ ABC 的外接圆相 切 于点 A ， AB ＝ BC ．点 M 在射线 BC 上，点 N 在线段 BA 的延长线
上，满足 CM ＝ 2 AN ， 且 MN 与射线 BA 垂 直． 请 用无 刻 度的直 尺 ，在如图所示的 网格 中，画出点
M ， N ， 并简 要 说 明点 M ， N 的位置是如何 找 到的（不要求 证 明） ．
三、 解答 题（本大题共 7 小题，共 66 分． 解答 应 写 出 文 字 说 明、 演 算步骤 或推理 过程）
19 ．（ 8 分） 解 不等 式 组 {
3 x≤ 2 x + 1 ①
2 x − 3 ≥ x − 5 ②
¿
¿ ， 请 结合题意填空， 完 成本题的 解答 ．
（ Ⅰ ） 解 不等 式 ① ，得 ；
（ Ⅱ ） 解 不等 式 ② ，得 ；
（ Ⅲ ） 把 不等 式 ① 和 ② 的 解集 在数轴上表示出 来 ；
（ Ⅳ ） 原 不等 式 组的 解集 为 ．
20 ．（ 8 分）为 了解某校 学 生 每月 参加志愿服务 的时间（单位： h ），随机 调查了该校 a 名 学 生 ， 根 据 统
计的结果， 绘制 出如下的 统 计图 ① 和图 ② ．
请根 据相关 信息 ， 解答 下列问题：
（ Ⅰ ）填空： a 的值为 ，图 ① 中 m 的值为 ， 统 计的这组学 生 每月 参加志愿服
务 的时间数据的 众 数和中位数分别为 和 ；
（ Ⅱ ）求 统 计的这组学 生 每月 参加志愿服务 的时间数据的平 均 数；
（ Ⅲ ） 根 据 样 本数据，若 该校 共有 1000 名 学 生 ，估计 该校 学 生 每月 参加志愿服务 的时间是 4 h 的人数
约 为 多少 ？
21 ．（ 10 分） 已知 AB 与 ⊙ O 相 切 于点 C ， OA ＝ OB ，∠ AOB ＝ 80° ， OB 与 ⊙ O 相交于点 D ， E 为 ⊙ O 上一
点．
（ Ⅰ ）如图 ① ，求∠ CED 的大小；
（ Ⅱ ）如图 ② ，当 EC ∥ OA 时， EC 与 OB 相交于点 F ，延长 BO 与 ⊙ O 相交于点 G ，若 ⊙ O 的半径为
3 ，求 ED 和 EG 的长．
22 ．（ 10 分） 综 合与 实践活 动中，要用 测 角 仪测 量天津 站附近世纪钟建筑 AB 的 高 度（如图 ① ）． 某 学
习 小组设计 了 一个方 案 ：如图 ② 所示，点 A ， E ， C 依 次在同一 条水 平直线上， CD ⊥ AC ， EF ⊥ AC ，
且 CD ＝ EF ＝ 1.7 m ．在 D 处测 得 世纪钟建筑顶部 B 的 仰 角为 22° ，在 F 处测 得 世纪钟建筑顶部 B 的 仰 角
为 31° ， CE ＝ 32 m ． 根 据 该 学 习 小组 测 得的数据，计算 世纪钟建筑 AB 的 高 度（结果取 整 数）．
参 考数据： tan22°≈0.4 ， tan31°≈0.6 ．
23 ．（ 10 分） 已知 小 华 的 家 、 书店 、 公园依 次在同一 条 直线上， 书店离家 0.6 km ， 公园离家 1.8 km ．小 华
从 家 出发，先 匀 速步行 了 6 min 到 书店 ，在 书店 停 留了 12 min ，之后 匀 速步行 了 12 min 到 公园 ，在 公园
停 留 25 min 后， 再 用 15 min 匀 速跑步 返回家 ．下面图中 x 表示时间， y 表示 离家 的 距离 ．图象反 映了 这
个过程中小 华离家 的 距离 与时间之间的对应关系．
请根 据相关 信息 ， 回答 下列问题：
（ Ⅰ ） ① 填表：
小 华离开家 的时间 / min
1
6
18
50
小 华离家 的 距离 / km
0.6
② 填空：小 华 从 公园返回家 的速度为 km / min ；
③ 当 0≤ x ≤30 时， 请 直接 写 出小 华离家 的 距离 y 关于时间 x 的函数 解析式 ；
（ Ⅱ ）若小 华 的 妈妈 与小 华 同时从 家 出发，小 华 的 妈妈 以 0.05 km / min 的速度 散 步直接到 公园 ．在从 家
到 公园 的过程中，对于同一个 x 的值，小 华离家 的 距离 为 y 1 ，小 华 的 妈妈离家 的 距离 为 y 2 ，当 y 1 ＜ y 2
时，求 x 的取值 范围 （直接 写 出结果 即 可）．
24 ．（ 10 分）在平面直角 坐标 系中， O 为 原 点，等边△ ABC 的 顶 点 A （ 0 ， 2 ）， B （ 0 ，﹣ 1 ），点 C 在第
一象限，等边△ EOF 的 顶 点 E (− √ 3 ， 0 ) ， 顶 点 F 在第二象限．
（ Ⅰ ） 填 空 ： 如 图 ① ， 点 F 的 坐 标 为 ， 点 C 的 坐 标 为
；
（ Ⅱ ）将等边△ EOF 沿 水 平方向向 右 平移，得到等边△ E ′ O ′ F ′ ，点 E ， O ， F 的对应点分别为 E ′ ， O
′ ， F ′ ．设 OO ′ ＝ t ．
① 如图 ② ，若边 E ′ F ′ 与边 AB 相交于点 G ，当△ E ′ O ′ F ′ 与△ ABC 重叠部 分为四边形 OO ′ F ′ G 时，试用 含
有 t 的 式 子表示线段 GA 的长， 并 直接 写 出 t 的取值 范围 ；
② 设平移后 重叠部 分的面积为 S ，当 3 √ 3
4
≤t ≤ 3 √ 3
2
时，求 S 的取值 范围 （直接 写 出结果 即 可）．
25 ．（ 10 分） 已知抛物 线 y ＝ ax 2 + bx + c （ a ， b ， c 为 常 数， a ＜ 0 ， b ＞ 0 ）．
（ Ⅰ ）当 a ＝﹣ 1 ， b ＝ 2 ， c ＝ 3 时，求 该抛物 线 顶 点 P 的 坐标 ；
（ Ⅱ ）点 A （﹣ 1 ， 0 ）和点 B 为 抛物 线与 x 轴的两个交点，点 C 为 抛物 线与 y 轴的交点．
① 当 a ＝﹣ 2 时，若点 D 在 抛物 线上，∠ CAD ＝ 90° ， AC ＝ AD ，求点 D 的 坐标 ；
② 若点 B （ m ， 0 ），∠ CAB ＝ 2 ∠ ABC ，以 AC 为边的 ▱ ACEF 的 顶 点 F 在 抛物 线的对称轴 l 上，当
CE + CF 取得最小值为 2 √ 6 时，求 顶 点 E 的 坐标 ．
2025 年天津市中考数学试卷
参 考 答案 与试题 解析
一．选择题（共 12 小题）
题 号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
B
D
C
B
B ．
A
D
A
A
D
D
题 号
12
答案
C
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的）
1 ．（ 3 分）计算（﹣ 21 ） ÷ （﹣ 7 ）的结果等于（ ）
A ．﹣ 3
B ． 3
C ． − 1
3
D ． 1
3
【解答】 解 ：（﹣ 21 ） ÷ （﹣ 7 ）＝ 21÷7 ＝ 3 ，
故 选： B ．
2 ．（ 3 分）如图是一个由 6 个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【解答】 解 ： 该 立体图形的主视图为：
．
故 选： D ．
3 ．（ 3 分）估计 1 + √ 6 的值在（ ）
A ． 1 和 2 之间
B ． 2 和 3 之间
C ． 3 和 4 之间
D ． 4 和 5 之间
【解答】 解 ： ∵ √ 4 ＜ √ 6 ＜ √ 9 ，
∴ 2 ＜ √ 6 ＜ 3 ，
∴ 3 ＜ 1 + √ 6 ＜ 4 ，
故 选： C ．
4 ．（ 3 分）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面 4 个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（
）
A ．
B ．
C ．
D ．
【解答】 解 ：选项 A 、 C 、 D 的汉字 均 不 能找 到这 样 的一 条 直线， 使 图形沿 该 直线对 折 后直线两 旁 的 部
分 能够完 全 重 合，所以不是轴对称图形；
选项 B 的汉字 能找 到这 样 的一 条 直线， 使 图形沿 该 直线对 折 后直线两 旁 的 部 分 能够完 全 重 合，所以是
轴对称图形．
故 选： B ．
5 ．（ 3 分）据 2025 年 5 月 7 日《天津日报》报道，今年“五一”小长假，全市跨区域人员流动量达到
31492000 人次．将数据 31492000 用科学记数法表示应为（ ）
A ． 0.31492×10 8
B ． 3.1492×10 7
C ． 31.492×10 6
D ． 314.92×10 5
【解答】 解 ： 31492000 ＝ 3.1492×10 7 ．
故 选： B ．
6 ．（ 3 分） tan 45 ° − √ 2cos 45 ° 的值等于（ ）
A ． 0
B ． 1
C ． 1 − √ 2
2
D ． 1 − √ 2
【解答】 解 ： 原式 ＝ 1 − √ 2 × √ 2
2
＝ 1
1
﹣
＝ 0 ，
