2025 年四川省自贡市中考数学试卷
一 . 选择题（共 12 个小题，每小题 4 分，共 48 分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的）
1 ．（ 4 分）若（﹣ 4 ） ×□ ＝ 8 ，则□内的数字是（ ）
A ．﹣ 2
B ． 2
C ． 4
D ．﹣ 4
2 ．（ 4 分）起源于中国的围棋深受青少年喜爱．以下由黑白棋子形成的图案中，为中心对称图形的是（
）
A ．
B ．
C ．
D ．
3 ．（ 4 分）如图，一束平行光线穿过一张对边平行的纸板，若∠ 1 ＝ 115° ，则∠ 2 的度数为（ ）
A ． 75°
B ． 90°
C ． 100°
D ． 115°
4 ．（ 4 分）中国新能源汽车性能优越，近年来销售量持续攀升， 2024 年度销量已达到 1286.6 万辆．
12866000 用科学记数法表示为（ ）
A ． 1.2866×10 3
B ． 1.2866×10 4
C ． 1.2866×10 7
D ． 1.2866×10 8
5 ．（ 4 分）如图，一横一竖两块砖头放置于水平地面，其主视图为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6 ．（ 4 分）某校举行“唱红歌”歌咏比赛，甲、乙、丙三位选手的得分如表所示．三项评分所占百分比
如图所示，平均分最高的是（ ）
选手
专家组评分
教师组评分
学生组评分
甲
7
7
9
乙
8
7
8
丙
7
8
8
A ．甲
B ．乙
C ．丙
D ．平均分都相同
7 ．（ 4 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，正方形 ABCD 的边长为 5 ， AB 边在 y 轴上， B （ 0 ，﹣ 2 ）．
若将正方形 ABCD 绕点 O 逆时针旋转 90° ，得到正方形 A ′ B ′ C ′ D ′ ，则点 D ′ 的坐标为（ ）
A ．（﹣ 3 ， 5 ）
B ．（ 5 ，﹣ 3 ）
C ．（﹣ 2 ， 5 ）
D ．（ 5 ，﹣ 2 ）
8 ．（ 4 分）如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则 α + β ＝（ ）
A ． 140°
B ． 150°
C ． 160°
D ． 170°
9 ．（ 4 分）某小区人行道地砖铺设图案如图所示．用 10 块相同的小平行四边形地砖拼成一个大平行四边
形，若大平行四边形短边长 40 cm ，则小地砖短边长（ ）
A ． 7 cm
B ． 8 cm
C ． 9 cm
D ． 10 cm
10 ．（ 4 分） PA ， PB 分别与 ⊙ O 相切于 A ， B 两点，点 C 在 ⊙ O 上，不与点 A ， B 重合．若∠ P ＝ 80° ，则
∠ ACB 的度数为（ ）
A ． 50°
B ． 100°
C ． 130°
D ． 50° 或 130°
11 ．（ 4 分）如图，在平面直角坐标系中，将△ ABO 平移，得到△ EFG ，点 E ， F 在坐标轴上．若∠ A ＝
90° ， tan B ¿ 1
2 ， A （﹣ 4 ， 3 ），则点 G 坐标为（ ）
A ．（ 11 ，﹣ 4 ）
B ．（ 10 ，﹣ 3 ）
C ．（ 12 ，﹣ 3 ）
D ．（ 9 ，﹣ 4 ）
12 ．（ 4 分）如图，正方形 ABCD 边长为 6 ，以对角线 BD 为斜边作 Rt △ BED ，∠ E ＝ 90° ，点 F 在 DE 上，
连接 BF ．若 2 BE ＝ 3 DF ，则 BF 的最小值为（ ）
A ． 6
B ． 6 √ 2 − √ 5
C ． 3 √ 5
D ． 4 √ 5 − ¿ 2 √ 2
二、填空题（共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分）
13 ．（ 4 分）计算： √ 18 − ¿ 3 √ 2 = ¿ ．
14 ．（ 4 分）分解因式： m 2
4
﹣ m ＝ ．
15 ．（ 4 分）若 2 a + b ＝﹣ 1 ，则 4 a 2 +2 ab ﹣ b 的值为 ．
16 ．（ 4 分）如图，在△ ABC 中， AC ＝ BC ， CD ⊥ AB 于点 D ， AB ＝ DC ＝ 2 ．以点 B 为圆心， DB 的长为半
径 画 弧 ， 交 BC 于 点 E 1 ， 以 点 C 为 圆 心 ， CE 1 的 长 为 半 径 画 弧 ， 交 CD 于 点 D 1 ， 过 点 D 1 作
D 1 F 1 ⊥ DC ，交 AC 于点 F 1 ；再以点 F 1 为圆心， F 1 D 1 的长为半径画弧，交 AC 于点 F 2 ，以 CF 2 的长为半
径画弧，交 DC 于点 D 2 ，过点 D 2 作 D 2 E 2 ⊥ DC ，交 BC 于点 E 2 ；又以点 E 2 为圆心…重复以上操作，则
D 2025 F 2025 的长为 ．
17 ．（ 4 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中， Rt △ ABC 的顶点 C ， A 分别在 x 轴， y 轴正半轴上，∠ ACB
＝ 90° ， ∠ BAC ＝ 30° ， BC ＝ 2 ． 以 BC 为 边 作 等 边 △ BCD ， 连 接 OD ， 则 OD 的 最 大 值 为
．
三、解答题（共 8 个题，共 82 分）
18 ．（ 8 分）解不等式组： {
3 x + 3 ＞ 0
4 x − 3 ＜ 3 x − 1 ，并在数轴上表示其解集．
19 ．（ 8 分）如图，∠ ABE ＝∠ BAF ， CE ＝ CF ．求证： AE ＝ BF ．
20 ．（ 8 分）去年暑假，小张和小李同学主动帮刘大爷掰玉米，他们各掰了 36 筐和 30 筐，两人劳动时间
相同，小张平均每小时比小李多掰 2 筐，请问小李平均每小时掰玉米多少筐？
21 ．（ 10 分）某校 七 年 级拟 组 建球类课外活 动 兴趣班 ，为了解同学们的 参 与 意向 ，学生 会进 行了 随机 问
卷 调查 ，要求 被调查 的同学在 足球 、 篮球 、 乒乓球 、 羽毛球 中 任 选一项，以下是 依据调查 数 据 ，正在
绘制 中的 统 计图和 统 计表，请 根据 相 关信息 解答下 列 问题．
选择 球类兴趣班 人数占比 统 计表
组别
球类活 动 兴趣班
占 调查总 人数百分比
A
足球
10%
B
篮球
C
乒乓球
D
羽毛球
（ 1 ）请 补全 上 述条 形 统 计图和占比 统 计表，若用 扇 形 统 计图 反映 选择 球类活 动 兴趣班 的人数占比，则
篮球兴趣班 的 扇 形圆心角为 度；
（ 2 ） 估 计 该 校 七 年 级 400 名 学生中，选择 乒乓球兴趣班 的人数；
（ 3 ）若用 电脑随机 选择 A 、 B 、 C 、 D 四 类兴趣班 ，请用 列 表或画 树状 图的方法，求 该 校 七 年 级 甲、乙
两 名 同学都选择 乒乓球兴趣班 的 概率 ．
22 ．（ 10 分）如图，等圆 ⊙ O 1 和 ⊙ O 2 相交于 A ， B 两点， ⊙ O 1 经 过 ⊙ O 2 的圆心 O 2 ，连接 AB ，作直径
AC ， 延 长 O 2 B 到点 D ， 使 DB ＝ O 2 B ，连接 DC ．
（ 1 ）∠ ABO 2 ＝ 度；
（ 2 ）求证： DC 为 ⊙ O 2 的切线；
（ 3 ）若 DC ＝ 3 √ 3 ，求 ⊙ O 2 上 ^
AB 的长．
23 ．（ 10 分）如图，正比 例函 数 y ＝ kx 与 反 比 例函 数 y ¿ − 8
x 的图 象 交于点 A （﹣ 2 ， a ），点 B 是线 段 OA
上 异 于 端 点的一点，过点 B 作 y 轴的 垂 线，交 反 比 例函 数的图 象 于点 D ．
（ 1 ）求 k 的值；
（ 2 ）若 BD ＝ 2 ，求点 B 坐标；
（ 3 ） 双曲 线 y ¿ − 8
x 关 于 y 轴对称的图 象 为 y ′ ，直接 写 出 射 线 OA 绕点 O 旋转 90° 后 与 y ′ 的交点坐标．
24 ．（ 13 分）如图 1 ，自贡 彩灯公园 内 矗立着 一 座 高 塔 ， 它见 证过自贡 灯会 的 辉煌历史 ．小 蕊参加 了 测
量 该塔 高度的 课外实践活 动，小组同学 研讨完测 量方案 后 ， 活 动如下．
（ 1 ） 制 作 工具
如图 2 ，在 矩 形 木 板 HIJK 上 O 点 处钉 上一 颗 小 铁钉 ，系上 细绳 ， 绳 的 另 一 端 系小重 物 G ，过点 O 画 射
线 QM ∥ HK ． 测 量时竖放 木 板， 当 重 垂 线 OG ∥ HI 时，将等 腰 直角三角 尺 ACB 的直角顶点 C 紧靠铁钉 ，
绕点 O 转动三角 尺 ， 通 过 OB 边 瞄准 目标 N ， 测 量∠ MOB 可 得 仰 角度数， 采 用同 样 方式， 可测俯 角度
数．
测 量时， QM 是 否 水平 呢 ？小 蕊产 生了 疑 问，组长对 她说 ：“因为 OG 始终垂 直于水平面， 满足
OG ⊥ QM 就 行．”求证： OG ⊥ QM ．
（ 2 ） 获取 数 据
如图 3 ，同学们 利 用 制 作的 测 量 工具 ，在 该塔 对面高 楼 上 进 行了 测 量．已 知该楼 每 层 高 3 米，小 蕊 在
15 楼阳台 P 处测 得 塔底 U 的 仰 角为 5.1° ，在 25 楼 对 应 位置 D 处测 得 塔底 U 的 俯 角为 9.1° ， 塔 顶 T 的
仰 角为 14.5° ．
如图 4 ，为得到 仰 角与 俯 角的正切值，小 蕊 在 练习本 上画了一个 Rt △ VWZ ，∠ W ＝ 90° ，∠ WVZ ＝
14.5° ， VW ＝ 10.0 cm ．在边 WZ 上 取 两点 X ， Y ， 使 ∠ YVW ＝ 5.1° ，∠ XVY ＝ 4.0° ，量得 YW ＝ 0.91 cm ， XY
＝ 0.70 cm ， ZX ＝ 0.94 cm ， 则 tan5.1°≈ ， tan9.1°≈ ， tan14.5°≈
（ 结果保留 小数点 后 两位）．
（ 3 ）计算 塔 高
请 根据 小 蕊 的数 据 ，计算 该塔 高度（ 结果取整 数）．
（ 4 ） 反思改进
小 蕊 的 测 量 结果 与 该塔实际 高度 存 在 2 米的 误差 ．为 减 小 误差 ，小组同学 想 出了 许 多 办 法．请 你也 帮
小 蕊提 出两 条 合 理 的 改进建议 （ 总 字数少于 50 字）．
25 ．（ 15 分）如图，在△ ABC 中， D ， E 分别是 AC ， AB 的中点，连接 DE ， CE ， BD 交于点 G ．
（ 1 ）若 BD ⊥ CE ， BD ＝ 1 ， CE ¿ 1
2 ，则四边形 BCDE 的面 积 为 ；
（ 2 ）若 BD + CE ¿ 3
2 ，△ ABC 的最大面 积 为 S ．设 BD ＝ x ，求 S 与 x 之 间的 函 数 关 系式，并求 S 的最大
值；
（ 3 ）若（ 2 ）问中 x 取任意实 数，将 函 数 S 的图 象依次向右 、 向 上平移 1 个 单 位长度，得到 函 数 y 的图
象 ．直线 y ＝ k 1 x ﹣ k 1 交 该 图 象 于点 F ， H （ F 点在 H 点 左 边），过点 H 的直线 l ： y ＝ k 2 x + b 交 该 图 象 于
另 一点 Q ，过点 F ， Q 的直线与直线 x ＝ 1 交于点 K ．若 S △ HFK ＝ S △ HKQ ，试问直线 l 是 否 过 定 点？若过 定
点，求出 定 点坐标；若不过 定 点，请 说明理 由．
2025 年四川省自贡市中考数学试卷
参 考答案与试题解 析
一．选择题（共 12 小题）
题 号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
A
C
D
C ．
D
B
A
B
B
D
B
题 号
12
答案
D
一 . 选择题（共 12 个小题，每小题 4 分，共 48 分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的）
1 ．（ 4 分）若（﹣ 4 ） ×□ ＝ 8 ，则□内的数字是（ ）
A ．﹣ 2
B ． 2
C ． 4
D ．﹣ 4
【 解答 】 解：因为（﹣ 4 ） ×□ ＝ 8 ，
所以□＝ 8÷ （﹣ 4 ）＝﹣ 2 ．
故 选： A ．
2 ．（ 4 分）起源于中国的围棋深受青少年喜爱．以下由黑白棋子形成的图案中，为中心对称图形的是（
）
A ．
B ．
C ．
D ．
【 解答 】 解：选项 A 、 B 、 D 都不能 找 到一个点， 使 图形绕某一点旋转 180 度 后 与 原 来的图形重合，所
以不是中心对称图形．
选项 C 能 找 到一个点， 使 图形绕某一点旋转 180 度 后 与 原 来的图形重合，所以是中心对称图形．
故 选： C ．
3 ．（ 4 分）如图，一束平行光线穿过一张对边平行的纸板，若∠ 1 ＝ 115° ，则∠ 2 的度数为（ ）
A ． 75°
B ． 90°
C ． 100°
D ． 115°
【 解答 】 解：如图：
∵ DB ∥ CA ，
1
∴∠ ＝∠ 3 ＝ 115° ，
∵ AB ∥ CD ，
3
∴∠ ＝∠ 4 ＝ 115° ，
2
∴∠ ＝∠ 4 ＝ 115° ．
故 选： D ．
4 ．（ 4 分）中国新能源汽车性能优越，近年来销售量持续攀升， 2024 年度销量已达到 1286.6 万辆．
12866000 用科学记数法表示为（ ）
A ． 1.2866×10 3
B ． 1.2866×10 4
C ． 1.2866×10 7
D ． 1.2866×10 8
【 解答 】 解： 12866000 ＝ 1.2866×10 7 ．
故 选： C ．
5 ．（ 4 分）如图，一横一竖两块砖头放置于水平地面，其主视图为（ ）
