2025 年四川省南充市中考数学试卷

一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分）

1 ．（ 4 分）下列计算正确的是（　　）

A ． 2 a + a ＝ 3

B ． 2 a ﹣ a ＝ 2

C ． 2 a • a ＝ 2 a ²

D ． 2 a ÷ a ＝ 2 a

2 ．（ 4 分）如图，把含有 60° 的直角三角板斜边放在直线 l 上，则∠ α 的度数是（　　）

A ． 120°

B ． 130°

C ． 140°

D ． 150°

3 ．（ 4 分） 2024 年 9 月 25 日 8 时 44 分，我国火箭军成功发射了一枚“东风﹣ 31 AG ” 洲际弹道导弹，导弹

平均速度为 25 马赫，马赫为速度单位， 1 马赫约为 340 米 / 秒．用科学记数法表示“东风﹣ 31 AG ” 导弹

的平均速度为（　　）

A ． 8.5×10 ² 米 / 秒

B ． 8.5×10 ³ 米 / 秒

C ． 8.5×10 ⁴ 米 / 秒

D ． 85×10 ³ 米 / 秒

4 ．（ 4 分）一次体质健康检测中，某班体育委员对该班 20 名男生在一分钟内“引体向上”的个数进行了

统计，并制作如下统计表：

个数

6

9

11

12

15

人数

2

5

8

3

2

则这 20 名男生在一分钟内“引体向上”的个数的众数是（　　）

A ． 6

B ． 9

C ． 11

D ． 15

5 ．（ 4 分）我国宋代数学家秦九韶发明的“大衍求一术”阐述了多元方程的解法，大衍问题源于《孙子

算经》中“物不知数”问题：“今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三…，问物几何？”

意思是：有一些物体不知个数，每 3 个一数，剩余 2 个；每 5 个一数，剩余 3 个…．问这些物体共有

多少个？设 3 个一数共数了 x 次， 5 个一数共数了 y 次，其中 x ， y 为正整数，依题意可列方程（　　）

A ． 3 x +2 ＝ 5 y +3

B ． 5 x +2 ＝ 3 y +3

C ． 3 x

2

﹣ ＝ 5 y

﹣ 3

D ． 5 x

2

﹣ ＝ 3 y

3

﹣

6 ．（ 4 分）如图，把直径为 1 个单位长度的圆从点 A 沿数轴向右滚动一周，圆上点 A 到达点 A ′ ，点 A ′ 对

应的数是 2 ，则滚动前点 A 对应的数是（　　）

A ． 2

2

﹣ π

B ． π

﹣ 2

C ． 5

2

﹣ π

D ． 2 ﹣ π

7 ．（ 4 分）如图是正六边形与矩形叠拼成的一个组合图形，若正六边形的边长为 2 ，那么矩形的面积是

（　　）

A ． 12

B ． 8 √ 3

C ． 16

D ． 12 √ 3

8 ．（ 4 分）已知 ^a

bc ^{= b}

ac ^{= c}

ab ^{= ¿ 2 ，则 a}

2 + b

2 + c

2

abc

的值是（　　）

A ． 2

B ． 3

C ． 4

D ． 6

9 ．（ 4 分）如图， AB 是 ⊙ O 的直径， AD ⊥ AB 于点 A ， OD 交 ⊙ O 于点 C ， AE ⊥ OD 于点 E ，交 ⊙ O 于点

F ， F 为弧 BC 的中点， P 为线段 AB 上一动点，若 CD ＝ 4 ，则 PE + PF 的最小值是（　　）

A ． 4

B ． 2 √ 7

C ． 6

D ． 4 √ 3

10 ．（ 4 分）已知某函数图象关于 y 轴对称，当 0≤ x ≤2 时， y ＝ x ²

2

﹣ x ；当 x ＞ 2 时， y ＝ 2 x

4

﹣ ．若直线 y ＝

x + b 与这个函数图象有且仅有四个不同交点，则实数 b 的范围是（　　）

A ． ^{− 1}

4 ^{＜ b ＜ 0}

B ． ^{− 9}

4 ^{＜ b ＜ − 1}

4

C ． ^{− 1}

4 ^{≤ b ≤0}

D ． b ≤ − ¹

4 ^{或 b ＞ 0}

二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 4 分，共 24 分）

11 ．（ 4 分）计算： a （ a

3

﹣ ）﹣ a ² ＝　 　 ．

12 ．（ 4 分）不透明的袋子中装有 4 个黑球和 2 个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，随机从

袋子中摸出一个球，恰好为白球的概率是　 　 ．

13 ．（ 4 分）不等式组 {

x − 3 ＞ − 1

− x ＜ − m + 1 ^{的解集是 x ＞ 2 ，则 m 的取值范围是　 　 ．}

14 ．（ 4 分）如图，∠ AOB ＝ 90° ，在射线 OB 上取一点 C ，以点 O 为圆心， OC 长为半径 画 弧； 再 以点 C

为圆心， OC 长为半径 画 弧， 两 弧在∠ AOB 的内 部 相交于点 D ， 连接 并 延 长 CD 交射线 OA 于点 E ．设

OC ＝ 1 ，则 OE 的长是　 　 ．

15 ．（ 4 分）已知直线 y ＝ m （ x +1 ）（ m ≠0 ）与直线 y ＝ n （ x

2

﹣ ）（ n ≠0 ）的交点在 y 轴上，则 ⁿ

m ^{+ m}

n ^的值

是　 　 ．

16 ．（ 4 分）如图， AC 为正方形 ABCD 的对角线， CE 平分∠ ACB ，交 AB 于点 E ，把 △ CBE 绕 点 B 逆 时

针 方向 旋转 90° 得 到 △ ABF ， 延 长 CE 交 AF 于点 M ， 连接 DM ，交 AC 于点 N ． 给 出下列 结论 ：

① CM ⊥ AF ； ② CF ＝ AF ； ③ ∠ CMD ＝ 45° ； ④ ^AN

CN ^{= √ 2 − ¿ 1 ．以上 结论 正确的是 　 　 ．}

（填 写序号 ）

三、解 答 题（本大题共 9 个小题，共 86 分）

17 ．（ 8 分）计算：（ π

﹣ 2025

） ⁰ + √ 8 − ¿ 4sin45° −( ¹

2 ⁾

− 1

+ ¿ |

2|

﹣ ．

18 ．（ 8 分）如图，在五边形 ABCDE 中， AB ＝ AE ， AC ＝ AD ，∠ BAD ＝∠ EAC ．

（ 1 ）求 证 ： △ ABC ≌△ AED ．

（ 2 ）求 证 ：∠ BCD ＝∠ EDC ．

19 ．（ 8 分）为了 弘扬优秀传 统 文化 ，某 校拟增 设四 类兴趣 班： A 川 剧 班、 B 皮影 班、 C 剪纸 班、 D 木偶

班．学 校 的 调研 小组在全 校 随机 抽 取了 部 分学生进行问卷 调查 ， 调查 问题是“ 你 最 希望增 设的 兴趣

班”（四 类 中 必 选并 只 选一 类 ）， 调研 小组 根据调查结果绘 制出如下不完整的统计图：

（ 1 ）求问卷 调查 的 总 人数，并 补 全 条 形图．

（ 2 ）若该 校 共有 800 名学生， 估 计最 希望增 设“ 木偶 班”的学生人数．

（ 3 ）本次 调研 小组共有 5 人，其中男生 3 人， 女 生 2 人， 现 从 5 人中随机 抽 取 2 人向学 校汇报调查结

果 ，求恰好 抽 中一男一 女 的概率．

20 ．（ 10 分）设 x 1 ， x 2 是关于 x 的方程（ x

1

﹣ ）（ x

2

﹣ ）＝ m ² 的 两根 ．

（ 1 ）当 x 1 ＝﹣ 1 时，求 x 2 及 m 的值．

（ 2 ）求 证 ：（ x 1

1

﹣ ）（ x 2

1

﹣ ） ≤ 0 ．

21 ．（ 10 分）如图，一次函数与 反比例 函数图象交于点 A （﹣ 3 ， 1 ）， B （ 1 ， n ）．

（ 1 ）求一次函数与 反比例 函数的解 析 式．

（ 2 ）点 C 在 反比例 函数 第 二象 限 的图象上， 横坐标 为 a ， 过 点 C 作 x 轴的 垂 线，交 AB 于点 D ， CD ¿ ⁷

2

，求 a 的值．

22 ．（ 10 分）如图， Rt △ ABC 中，∠ ACB ＝ 90° ， CD ⊥ AB 于点 D ，以 CD 为直径的 ⊙ O 交 BC 于点 E ，交

AC 于点 F ， M 为线段 DB 上一点， ME ＝ MD ．

（ 1 ）求 证 ： ME 是 ⊙ O 的 切 线．

（ 2 ）若 CF ＝ 3 ， sin B ¿ ⁴

5 ^{，求 OM 的长．}

23 ．（ 10 分）学 校 计 划租 用 客车送师 生到某 红色基 地， 参加主 题为“ 缅怀先烈 ， 强 国有我”的 研 学 活 动，

请阅读 下列 材料 ，并完成相关问题．

材料 一

租车公司 有 A ， B 两种型号 的 客车 可 供租

用，在每 辆车满 员 情况 下，每 辆 A 型客车

比 每 辆 B 型客车 多 载客 15 人；用 A 型客车

载客 600 人与用 B 型客车载客 450 人的 车

辆 数相同．

材料 二

A 型客车租车费 用为 3200 元 / 辆 ； B 型客车

租车费 用为 3000 元 / 辆 ．

优惠 方 案 ： 租 用 A 型客车 m 辆 ， 租车费 用

（ 3200

﹣ 50

m ）元 / 辆 ；

租 用 B 型客车 ， 租车费 用 打八折 ．

材料 三

租车公司 最多 提供 8 辆 A 型客车 ；

学 校参加研 学 活 动 师 生共有 530 人， 租 用

A ， B 两种型号客车 共 10 辆 ．

（ 1 ） A ， B 两种型号 的 客车 每 辆载客量 分 别 是多少？

（ 2 ）本次 研 学 活 动学 校 的最少 租车费 用是多少？

24 ．（ 10 分）矩形 ABCD 中， AB ＝ 10 ， AD ＝ 17 ，点 E 是线段 BC 上 异 于点 B 的一个动点， 连接 AE ，把

△ ABE 沿直线 AE 折 叠， 使 点 B 落 在点 P 处 ．

【初步感 知 】 （ 1 ）如图 1 ，当 E 为 BC 的中点时， 延 长 AP 交 CD 于点 F ，求 证 ： FP ＝ FC ．

【深入探究】 （ 2 ）如图 2 ，点 M 在线段 CD 上， CM ＝ 4 ．点 E 在 移 动 过 程中，求 PM 的最小值．

【拓展运 用 】 （ 3 ）如图 2 ，点 N 在线段 AD 上， AN ＝ 4 ．点 E 在 移 动 过 程中，点 P 在矩形内 部 ，当

△ PDN 是以 DN 为斜边的直角三角形时，求 BE 的长．

25 ．（ 12 分） 抛 物线 y ＝ ax ² +2 ax ^{− 15}

4

（ a ≠0 ）与 x 轴交于 A （ 3 ， 0 ）， B 两 点， N 是 抛 物线 顶 点．

（ 1 ）求 抛 物线的解 析 式 及 点 B 的 坐标 ；

（ 2 ）如图 1 ， 抛 物线上 两 点 P （ m ， y 1 ）， Q （ m +2 ， y 2 ），若 PQ ∥ BN ，求 m 的值；

（ 3 ）如图 2 ，点 M （﹣ 1 ，﹣ 5 ），如 果 不 垂 直于 y 轴的直线 l 与 抛 物线交于点 G ， H ， 满足 ∠ GMN ＝

∠ HMN ． 探究 直线 l 是 否过定 点？若直线 l 过定 点；求 定 点 坐标 ；若不 过定 点， 请说 明 理由 ．

2025 年四川省南充市中考数学试卷

参 考 答案 与试题解 析

一．选择题（共 10 小题）

题 号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

C

D

B

C

A

D

B

D

C

A

一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分）

1 ．（ 4 分）下列计算正确的是（　　）

A ． 2 a + a ＝ 3

B ． 2 a ﹣ a ＝ 2

C ． 2 a • a ＝ 2 a ²

D ． 2 a ÷ a ＝ 2 a

【 解 答】 解： ∵ 2 a + a ＝ 3 a ≠3 ， 2 a ﹣ a ＝ a ≠2 ， 故 选 项 A 、 B 计算 错误 ；

2 a • a ＝ 2 a ² ， 故 选 项 C 计算正确；

2 a ÷ a ＝ 2≠2 a ， 故 选 项 D 计算 错误 ．

故 选： C ．

2 ．（ 4 分）如图，把含有 60° 的直角三角板斜边放在直线 l 上，则∠ α 的度数是（　　）

A ． 120°

B ． 130°

C ． 140°

D ． 150°

【 解 答】 解： ∵ 直角三角板，

∴ α ＝ 90+60° ＝ 150° ，

故 选： D ．

3 ．（ 4 分） 2024 年 9 月 25 日 8 时 44 分，我国火箭军成功发射了一枚“东风﹣ 31 AG ” 洲际弹道导弹，导弹

平均速度为 25 马赫，马赫为速度单位， 1 马赫约为 340 米 / 秒．用科学记数法表示“东风﹣ 31 AG ” 导弹

的平均速度为（　　）

A ． 8.5×10 ² 米 / 秒

B ． 8.5×10 ³ 米 / 秒

C ． 8.5×10 ⁴ 米 / 秒

D ． 85×10 ³ 米 / 秒

【 解 答】 解：用科学记数法表示“东风﹣ 31 AG ” 导弹的平均速度为 25×340 ＝ 8500 ＝ 8.5×10 ³ （米 / 秒），

故 选： B ．

4 ．（ 4 分）一次体质健康检测中，某班体育委员对该班 20 名男生在一分钟内“引体向上”的个数进行了

统计，并制作如下统计表：

个数

6

9

11

12

15

人数

2

5

8

3

2

则这 20 名男生在一分钟内“引体向上”的个数的众数是（　　）

A ． 6

B ． 9

C ． 11

D ． 15

【 解 答】 解： 由 表知，这组数 据 中 11 出 现 次数最多，有 8 次，

所 以这组数 据 的众数为 11 ，

故 选： C ．

5 ．（ 4 分）我国宋代数学家秦九韶发明的“大衍求一术”阐述了多元方程的解法，大衍问题源于《孙子

算经》中“物不知数”问题：“今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三…，问物几何？”

意思是：有一些物体不知个数，每 3 个一数，剩余 2 个；每 5 个一数，剩余 3 个…．问这些物体共有

多少个？设 3 个一数共数了 x 次， 5 个一数共数了 y 次，其中 x ， y 为正整数，依题意可列方程（　　）

A ． 3 x +2 ＝ 5 y +3

B ． 5 x +2 ＝ 3 y +3

C ． 3 x

2

﹣ ＝ 5 y

﹣ 3

D ． 5 x

2

﹣ ＝ 3 y

3

﹣

【 解 答】 解： 根据 题意 得 ： 3 x +2 ＝ 5 y +3 ．

故 选： A ．

6 ．（ 4 分）如图，把直径为 1 个单位长度的圆从点 A 沿数轴向右滚动一周，圆上点 A 到达点 A ′ ，点 A ′ 对

应的数是 2 ，则滚动前点 A 对应的数是（　　）

A ． 2

2

﹣ π

B ． π

﹣ 2

C ． 5

2

﹣ π

D ． 2 ﹣ π

【 解 答】 解： 由 题意可知： AA ′ ＝ π ×1 ＝ π ，

设滚动前点 A 对应的数为 x ，

|2

∴ ﹣ x | ＝ π ，

2 ﹣ x ＝ π ，

x ＝ 2 ﹣ π ，

∴ 滚动前点 A 对应的数是 2 ﹣ π ，

故 选： D ．

7 ．（ 4 分）如图是正六边形与矩形叠拼成的一个组合图形，若正六边形的边长为 2 ，那么矩形的面积是

（　　）

A ． 12

B ． 8 √ 3

C ． 16

D ． 12 √ 3

【 解 答】 解：如图，

∵ 是正六边形与矩形叠拼成的一个组合图形，且正六边形的边长为 2 ，

∴∠ BCD ＝ 120° ，∠ A ＝ 90° ， BC ＝ CD ＝ 2 ，

∴∠ ACB ＝ 60° ，

∴ AB = BC × sin ∠ ACB = 2 × ^{√ 3}

2 ^{= √ 3 ， AC = BC × cos ∠ ACB = 2 × 1}

2 ^{= 1 ，}

同 理 BF = √ 3 ， DE ＝ 1 ，

∴ AF = 2 √ 3 ， AE ＝ 4 ，

∴ 矩形的面积是 AE× AF = 4 × 2 √ 3 = 8 √ 3 ，

故 选： B ．

8 ．（ 4 分）已知 ^a

bc ^{= b}

ac ^{= c}

ab ^{= ¿ 2 ，则 a}

2 + b

2 + c

2

abc

的值是（　　）

A ． 2

B ． 3

C ． 4

D ． 6

【 解 答】 解： ∵ ^a

bc ^{= b}

ac ^{= c}

ab ^{= 2 ，}

∴ a ＝ 2 bc ， b ＝ 2 ac ， c ＝ 2 ab ，

∴ a ² ＝ 2 abc ， b ² ＝ 2 abc ， c ² ＝ 2 abc ，

∴ ^a

2 + b

2 + c

2

abc

= ^{2 abc + 2 abc + 2 abc}

abc

= ^{6 abc}

abc ^{= ¿ 6 ，}

故 选： D ．