2025 年四川省达州市中考数学试卷
一、单项选择题（每小题 4 分，共 40 分）
1 ．（ 4 分）如果收入 100 元记作 +100 元，那么支出 40 元应记作（ ）
A ． +60 元
B ． +40 元
C ．﹣ 40 元
D ．﹣ 60 元
2 ．（ 4 分）如图是大竹“东汉醪糟”包装盒组成的立体图形．其主视图为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3 ．（ 4 分）“悟空”号全海深 AUV 是中国哈尔滨工程大学自主研发的无人无缆潜水器．具备在 11000 米
深海自主作业的能力．数据 11000 用科学记数法表示为（ ）
A ． 0.11×10 5
B ． 1.1×10 4
C ． 1.1×10 5
D ． 11×10 3
4 ．（ 4 分）如图，一束平行于主光轴的光线经过凹透镜后，其折射光线的反向延长线交于主光轴的焦点
F ．若∠ 1+
2
∠ ＝ 35° ，则∠ AFB 的度数为（ ）
A ． 35°
B ． 55°
C ． 70°
D ． 145°
5 ．（ 4 分）下列各式运算结果为 a 6 的是（ ）
A ． a 3 + a 3
B ． a 3 • a 3
C ． a 12 ÷ a 2
D ．（ a 3 ） 3
6 ．（ 4 分）小明随机抽查爱民小区 6 户家庭几均用水情况，分别是： 3 ， 4 ， 5 ， 7 ， 6 ， 5 （单位： m 3 ）．
关于这组数据，下列说法正确的是（ ）
A ．众数是 5
B ．中位数是 6
C ．平均数是 6
D ．极差是 3
7 ．（ 4 分）《九章算术》中记载了这样一道题：牛 5 头和羊 2 只共值 10 金，牛 2 头和羊 5 只共值 8 金，
问牛和羊各值多少金？设每头牛值 x 金，每只羊值 y 金，可列方程组为（ ）
A ． {
5 x + 2 y = 10
2 x + 5 y = 8
B ． {
2 x + 5 y = 10
5 x + 2 y = 8
C ． {
5 x + 5 y = 10
2 x + 5 y = 8
D ． {
5 x + 2 y = 10
2 x + 2 y = 8
8 ．（ 4 分）下列说法正确的是（ ）
A ．两点之间线段最短
B ．平行四边形是轴对称图形
C ．若 √ x − 1 有意义，则 x 的取值范围是全体实数
D ．三角形的中位线将三角形分成面积相等的两部分
9 ．（ 4 分）如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC ＝ 8 ， BC ＝ 5 ，线段 AB 的垂直平分线交 AB 于点 E ，交 AC 于点
D ，则△ BDC 的周长为（ ）
A ． 21
B ． 14
C ． 13
D ． 9
10 ．（ 4 分）如图，抛物线 y ＝ ax 2 + bx + c （ a ≠0 ）与 x 轴交于点 A （ 1 ， 0 ），点 B （ 3 ， 0 ），下列结论：
① abc ＜ 0 ； ② 4 a + b ＝ 0 ； ③ b 2
4
﹣ ac ＞ 0 ； ④ a ﹣ b + c ＞ 0 ．正确的个数为（ ）
A ． 1 个
B ． 2 个
C ． 3 个
D ． 4 个
二、填空题（每小题 4 分 . 共 20 分）
11 ．（ 4 分）因式分解： m 2 +2 m ＝ ．
12 ．（ 4 分）已知关于 x 的方程 x 2 + mx
3
﹣ ＝ 0 的一个根是 1 ，则 m 的值为 ．
13 ．（ 4 分）如图，圆锥的侧面展开图是一个扇形，已知圆锥的底面半径为 2 ，则扇形的弧长是
．
14 ．（ 4 分）化简： 3 x
x − y − 5 − 3 x
y − x = ¿ ．
15 ．（ 4 分）定义：在平面直角坐标系中，一个图形向右平移 a 个单位长度，再绕原点按顺时针方向旋转
θ 角度，这样的图形运动叫 做 图形的 γ （ a ， θ ） 变换 ． 现 将 斜 边为 1 的等 腰 直角三角形 ABC 放置 在如
图的平面直角坐标系中，△ ABC 经 γ （ 1 ， 180° ） 变换 后 得 △ A 1 B 1 C 1 为 第 一 次变换 ，△ A 1 B 1 C 1 经
γ （ 2 ， 180° ） 变换 后 得 △ A 2 B 2 C 2 为 第 二 次变换 ， … ，经 γ （ n ， 180° ） 变换得 △ A n B n ∁ n ，则点 C 2025 的坐
标是 ．
三、解 答 题：解 答 时应 写 出 必要 的 文字 说明、 证 明过程 或演 算 步骤 （共 90 分）
16 ．（ 12 分）（ 1 ） 计 算：（ √ 2025 − ¿ 1 ） 0 ﹣ （﹣ 1 ） 2 +|
2|
﹣ ；
（ 2 ）解 不 等式： 3 x − 1
2
≤ 2 x + 1
3
， 并把 解 集 表示在数轴 上 ．
17 ．（ 10 分）项 目调 研
项 目 主题
阳 光学 校 学 生 研学 需求 情况 调 查
调 查人 员
数学 兴趣 小组
调 查方法
抽样 调 查
调 研 内容
阳 光学 校计划 组 织 学 生前往以 下 5 个研学 基地 中的一个 基地进 行研学 .5 个研
学 基地 分别为： A ． 张 爱 萍故居 ； B ． 王维舟纪念馆 ； C ． 万源保卫战纪念
馆 ； D ． 广子村农 业示范 园 ； E ．开 江白宝塔 ．
数学 兴趣 小组对 本校 学 生 的意向 目 的 地 展开抽样 调 查， 并 为学 校 出具了 调 查
报告 （每位学 生 只能选 1 个研学 基地 ）
统计 数据
请阅读上述材料 ，解 决 下列问题：
（ 1 ） 请 将 条 形 统计 图 补充完整 ，查向 参加 B 研学 基地 人数对应的扇形圆 心 角度数是 ；
（ 2 ）若 该校 共有 2000 名 学 生 ， 请你估计 全 校参加 A 研学 基地 的学 生 人数；
（ 3 ） 甲同 学 从 B ， C ， D 三个 基地 中随机选择一个 参加 研学， 乙同 学 从 C ， D 两个 基地 中随机选择一
个 参加 研学， 请 用列表 或画树状 图的方法， 求 两位 同 学选择相 同 研学 基地 的 概率 ．
18 ．（ 7 分）开 启 作角平分线的 智慧 之 窗
问题：作∠ AOB 的平分线 OP
作法： 甲同 学用 尺规 作出了角平分线； 乙同 学用圆 规 和直角三角 板 作出了角平分线； 丙同 学 也 用 尺规
作出了角平分线；工人 师傅 用 带刻 度的直角 弯尺 ， 通 过移动 弯尺使上 下相 同刻 度在角的两边 上 ， 即得
OP 为∠ AOB 的平分线；
讨 论：大家对 甲同 学和工人 师傅 的作法 都 深 信不疑 ， 认 为 判断 角平分线的 依 据是 利 用三角形全等，其
判 定全等的方法是 ；
对 乙同 学作法半 信 半 疑 ， 通 过 讨 论最 终 确定的 判 定 依 据： ① 三角形全等， AAS ， ASA 或 HL ， ②
对 丙同 学的作法 陷 入了 沉思 ．
任务 ：（ 1 ） 请你 将 上述讨 论 得 出的 依 据 补充完整 ；
（ 2 ） 完 成对 丙同 学作法的 验证 ．
已知∠ AED ＝∠ AOB ， EP ＝ EO ， 求证 ： OP 平分∠ AOB ．
19 ．（ 8 分）如图，直线 y ＝ kx + b （ k ≠0 ）与 双曲 线 y ¿ m
x （ m ≠0 ）交于点 A （ 2 ， 2 ），点 B （﹣ 4 ， a ）．
（ 1 ） 求 一 次函 数与反 比例函 数的表达式；
（ 2 ）点 P 在 x 轴 上 ， S △ AOP ＝ 3 ， 求 点 P 的坐标．
20 ．（ 8 分）
为了 让莲花湖湿地公园 的 天更蓝 ，水 更清 ， 莲花湖管委会 定 期利 用无人机 指引 工作人 员清理湖 中 垃圾 ，
已知无人机 悬停 在 湖 面 上 的 C 处 ，工作人 员所乘 小 船 在 A 处测得 无人机的 仰 角为 30° ， 当 工作人 员沿
正 前 方向 划 行 30 米 到 达 B 处 ， 测得 无人机的 仰 角为 45° ， 求 无人机 离湖 面的 高 度．（结果 不 取 近似
值）
21 ．（ 9 分） 归纳 与应用
归纳 是学 好 数学的 敲门砖 ， 尤 其对几 何而言 ． 例 如， 我们看到 图 1 是平行四边形， 就会联想到 ： 从 边
的角度，平行四边形对边平行 且 相等； 从 角的角度，平行四边形对角相等， 邻 角 互补 ； 从 对角线的角
度，平行四边形对角线 互 相平分； 从 对称 性 的角度，平行四边形是中 心 对称图形． 通 过如 此归纳 形成
知 识 体系的学 习 方法，成为 我们 解 决 相关问题的金 钥匙 ．
（ 1 ） 尝 试 归纳 ： 请你 根据图 2 ， 写 出 3 条 直角三角形的 性质
① ；
② ；
③ ．
（ 2 ）实 践 应用：小明 同 学在 思 考直角三角形的 性质 时，作出如图 3 ，∠ ABC ＝ 90° ，点 D 是 AC 的中点，
BE ∥ AC ， AE ∥ BD ，试 帮他判断 四边形 ADBE 的形 状 ， 并证 明 你 的结论．
22 ．（ 8 分）为 弘扬 达州 地 方 文 化， 让更 多 游客 了解 巴 人 故里 ， 某文旅公司推 出多 款文创产品 ．已知 某款
巴 小 虎吉祥 物的成 本价 是 30 元， 当售价 为 40 元时，每 天 可 以售 出 60 件 ．经 调 查发 现 ， 售价 每 降价 1
元，每 天 可 以 多 售 出 10 件 ．
（ 1 ）设 该款巴 小 虎吉祥 物 降价 x 元，则每 天售 出的数 量 是 件 ；
（ 2 ）为 让利 于 游客 ， 该款巴 小 虎吉祥 物应 该降价 多少元， 文旅公司 每 天 的 利润 是 630 元；
（ 3 ） 文旅公司 每 天售卖该款巴 小 虎吉祥 物的 利润 为 W 元， 当售价 为多少元时，每 天 的 利润 最大？最
大 利润 是多少？
23 ．（ 8 分）如图．在 ⊙ O 中， AB 是 弦 ， PA 是 ⊙ O 的 切 线， PA ＝ PB ，点 C ， D ， E 分别是线段
AB ， AP ， BP 上 的动点． 连接 CD ， CE ，∠ DCE ＝∠ P ＝ α ．
（ 1 ）试 判断 PB 与 ⊙ O 的位 置 关系， 并 说明 理由 ；
（ 2 ）若 α ＝ 60° ， CD ： CE ＝ 1 ： 2 ，试 求 4 AD + BE 与 ⊙ O 半径 r 的数 量 关系．
24 ．（ 10 分）如图，已知抛物线 y ＝﹣ x 2 + bx + c 交 x 轴于 A ， B 两点，交 y 轴于 C 点， B 的坐标为
（ 3 ， 0 ）， C 的坐标为（ 0 ， 3 ）， 顶 点为 M ．
（ 1 ） 求 抛物线的解 析 式；
（ 2 ） 连接 BC ，过 第 四 象限内 抛物线 上 一点作 BC 的平行线．交 x 轴于点 E ，交 y 轴于点 F ．
① 连接 AF ， 当 ∠ AFE ＝ 90° 时， 求 Rt △ AFE 内切 圆半径 r 与 外接 圆半径 R 的 比 值；
② 连接 CA ， CE ， 当 点 F 在△ AEC 的 内 角平分线 上 ， BC 上 的动点 P 满足 MP + √ 2
2 BP 的值最小时， 求
△ BPE 的面积．
25 ．（ 10 分） 综合 与实 践
问题 提 出： 探究 图形中线段之间的数 量 关系， 通常 将一个图形分 割 成几个图形，根据面积 不变 ， 获得
线段之间的数 量 关系．
探究 发 现 ：如图 1 ，在△ ABC 中， AC ＝ BC ， P 是 AB 边 上 一点，过点 P 作 PD ⊥ AC 于 D ， PE ⊥ BC 于
E ， 过 点 A 作 AF ⊥ BC 于 F ， 连 结 CP ， 由 图 形 面 积 分 割 法 得 ： S △ ABC ＝ S △ APC +
，则 AF ＝ + ；
实 践 应用：如图 2 ，△ ABC 是等边三角形， AC ＝ 3 ，点 G 是 AB 边 上 一点． 连 结 CG ，将线段 CG 绕点 C
逆 时针旋转 60° 得 CF ， 连 结 GF 交 BC 于 P ，过点 P 作 PD ⊥ GC 于 D ， PE ⊥ CF 于 E ， 当 AG ＝ 1 时， 求
PD + PE 的值；
拓 展延 伸 ：如图 3 ，已知 AB 是半圆 O 的直径， AC ， BE 是 弦 ， AC ＝ BE ， P 是 AB 上 一点， PD ⊥ AC ，
垂 足 为 D ， AB ＝ 10 ， AD ＝ 2 ， BD ＝ 4 √ 5 ， 求 S △ PAC + S △ PBE 的值．
2025 年四川省达州市中考数学试卷
参 考 答案 与试题解 析
一．选择题（共 10 小题）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C ．
B
B ．
A
B
A
A
A
C
D
一、单项选择题（每小题 4 分，共 40 分）
1 ．（ 4 分）如果收入 100 元记作 +100 元，那么支出 40 元应记作（ ）
A ． +60 元
B ． +40 元
C ．﹣ 40 元
D ．﹣ 60 元
【 解 答 】 解：“正”和“ 负 ”相对， 所以 ，如果收入 100 元记作 +100 元，那么支出 40 元应记作﹣ 40
元．
故 选： C ．
2 ．（ 4 分）如图是大竹“东汉醪糟”包装盒组成的立体图形．其主视图为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【 解 答 】 解： 从 正面 看该 组 合 体，底 层 是两个正方形， 上 层 的右边是一个正方形．
故 选： B ．
3 ．（ 4 分）“悟空”号全海深 AUV 是中国哈尔滨工程大学自主研发的无人无缆潜水器．具备在 11000 米
深海自主作业的能力．数据 11000 用科学记数法表示为（ ）
A ． 0.11×10 5
B ． 1.1×10 4
C ． 1.1×10 5
D ． 11×10 3
【 解 答 】 解： 11000 ＝ 1.1×10 4 ．
故 选： B ．
4 ．（ 4 分）如图，一束平行于主光轴的光线经过凹透镜后，其折射光线的反向延长线交于主光轴的焦点
F ．若∠ 1+
2
∠ ＝ 35° ，则∠ AFB 的度数为（ ）
