2025 年上海市中考数学试卷（回忆版）
一、选择题：（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是
正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
1 ．（ 4 分）下列运算中，正确的是（ ）
A ． m 3 + m 3 ＝ 2 m 3
B ． m 3 + m 3 ＝ m 6
C ． m 3 • m 3 ＝ m 9
D ．（ m 3 ） 3 ＝ m 6
2 ．（ 4 分）下列代数式中，能表示“ x 与 y 的差的平方”的是（ ）
A ． x 2 ﹣ y 2
B ．（ x ﹣ y ） 2
C ． x 2 ﹣ y
D ． x ﹣ y 2
3 ．（ 4 分）下列函数中，是正比例函数的是（ ）
A ． y ＝ 3 x +1
B ． y ＝ 3 x 2
C ． y ¿ 3
x
D ． y ¿ x
3
4 ．（ 4 分）如图是某校体育组 60 人的某科成绩，下列说法中正确的是（ ）
A ．中位数是 21
B ．中位数是 85
C ．众数是 21
D ．众数是 85
5 ．（ 4 分）在正方形 ABCD 中， | AB
→
+ BC
→ | ： | CD
→ | 的值是（ ）
A ． √ 2
2
B ． 1
2
C ． √ 2
D ． 2
6 ．（ 4 分）在锐角三角形 ABC 中， AB ＝ AC ， BC ＝ 8 ，它的外接圆 O 的半径长为 5 ，若点 D 是边 AC 的中
点，以点 D 为圆心的圆和 ⊙ O 相交，那么 ⊙ D 的半径长可以是（ ）
A ． 2
B ． 5
C ． 8
D ． 10
二、填空题：（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】
7 ．（ 4 分）分解因式： a 2 b + ab 2 ＝ ．
8 ．（ 4 分）不等式组 {
x
2 − 1 ＞ 0
2 x + 3 ≥ x
的解集是 ．
9 ．（ 4 分）方程 √ x − 6 = ¿ 2 的解为 ．
10 ．（ 4 分）一元二次方程 2 x 2 + x + m ＝ 0 没有实数根，那么 m 的取值范围是 ．
11 ．（ 4 分）抛物线 y ＝ 3 x 2 向下平移两个单位所得的抛物线解析式为 ．
12 ．（ 4 分）已知一个反比例函数，在每个象限内，函数值 y 随 x 的增大而减小，那么这个反比例函数的
解析式可以是 ．（只需写出一个）
13 ．（ 4 分）小明手中有 1 、 2 、 3 、 4 四张牌，小军手中有 2 、 4 、 6 、 8 四张牌，若小明从小军手中抽一张
牌 ， 抽 到 任 何 牌 的 概 率 相 等 ， 那 么 抽 到 的 牌 和 自 己 原 有 的 牌 的 数 字 相 等 的 概 率 为
．
14 ．（ 4 分）如图，某公司安装了一个人脸打卡器， AB 是高 2.7 m 的门框，某人 CD 高 1.8 m ，只有当
∠ CAB ＝ 53° 时 ， 他 才 能 开 门 ， 那 么 BD 长 为 ． （ 参 考 数 据 ：
sin53°≈0.8 ， cos53°≈0.6 ， tan53°≈1.33 ，保留 1 位小数）
15 ．（ 4 分）某高铁站出站后有出租车、地铁、汽车、公交等出行方式，高铁站为调查各个出行方式的人
流，先对 2000 人展开调查，结果如图所示，那么某日高铁站出站客流约为 1.8 万人，其中有约
人选择出租车．
16 ．（ 4 分）已知我国通过科技，研究出了一种超皮秒工具，进行一次擦除仅仅需要 400 皮秒，已知 1 皮
秒等于 1×10
12
﹣ 秒，那么这个工具 1 秒可以擦除 次（用科学记数法表示）．
17 ． （ 4 分 ） 已 知 矩 形 ABCD 中 ， 点 E 在 边 CD 上 ， F 是 点 E 关 于 直 线 AD 的 对 称 点 ， 联 结
EF 、 AF 、 BE ，若四边形 ABEF 是菱形，那么 AB
AD 的值为 ．
18 ．（ 4 分）已知平面内有一个角，一个圆与这个角的两边都有两个交点，若此圆在角的边上截得的两条
弦恰好是某正五边形的一边，那么这个角的度数为 度．
三、解答题（本大题共 7 题，共 78 分）
19 ．（ 10 分）计算：
4
√ 5 + 1
− 20
1
2 + ¿ |2 − √ 5 | +( 1
2 )
− 3
．
20 ．（ 10 分）解方程： x − 3
x − 2 −
2
x
2 − 3 x + 2
=
2
x − 1 ．
21 ．（ 10 分）某品牌储水 机 的 容量 是 200 升 ，当 加 水 加 满时，储水 机会 自 动停止加 水，已知 加冷 水 量 y
（ 升 ）和时 间 x （分 钟 ）的图象如图所示， 加 水过程中，水的 温 度 t （ 摄氏 度）和 x （分 钟 ）的关 系 ： t
¿ 20 x + 100
x + 2
．
（ 1 ） 求 y 与 x 的函数关 系 式，并写出 定义域；
（ 2 ） 求 储水 机 中的水 加 满时，储水 机 内水的 温 度．
22 ．（ 10 分）某小组对分 割梯 形组成等 腰 三角形展开研究．
（ 1 ）如图 1 ， 梯 形 ABCD 中， AD ∥ BC ， AB ⊥ BC ，点 E 是 AB 中点， D 是 梯 形的 顶 点，将 △ ADE 绕 E
旋转 180° 得到 △ BFE ，若 AD ＝ a ，且此时 DF ＝ DC ， 求 BC 的长（用 含 a 的代数式 尝 试表示） ；
（ 2 ）如图 2 ， 梯 形 MNPQ ， MN ∥ PQ ， MQ ＝ NP ，请 设 计一种方法，用一条直线 或 两条直线分 割梯 形
为若 干部 分， 再 进行一 系 列的图形运 动 ， 拼 成一个等 腰 三角形，在图 2 中 画 出图形，要 求 ： ① 所得的
部 分不 重叠 ，不 间隙 地 拼； ② 在答题纸 横 线上并写出等 腰 三角形的 腰 是 哪 条线 段； ③ 在答题纸 横 线
上写出这一 或 两条直线的 顶 点．（ 模仿 1 中的表 述 ：点 E 是 AB 中点， D 是 梯 形的 顶 点）
23 ．（ 12 分）如图，在 ⊙ O 中， AB 和 CD 是弦，半径 OA 、 OB 分 别 交 CD 于点 E 、 F ，且 CE ＝ DF ．
（ 1 ） 求证 ： AB ∥ CD ；
（ 2 ）若 AB ＝ BD ， 求证 ： AB 2 ＝ BF • OB ．
24 ．（ 12 分）在平面直角 坐标系 xOy 中，抛物线 y ＝ x 2 + bx + c 经 过点 A （ 1 ， 1 ）和 B （ 3 ， 1 ）， 顶 点为点
P ，抛物线于 y 轴 交于点 C ．
（ 1 ） 求 b 和 c 的值．
（ 2 ） 另 一条抛物线 y ＝ ax 2 + mx + n （ a ≠1 ） 也经 过点 A （ 1 ， 1 ）和 B （ 3 ， 1 ）， 顶 点为点 Q ，与 y 轴 交于
点 D ．
① 求 CD
PQ 的值 ；
② 当四边形 CDPQ 是直角 梯 形， 求 其 最 小内角的正弦值．
25 ．（ 14 分）如图 1 ，平行四边形 ABCD 中，点 E 、 F 分 别 是边 BC 、 CD 上的点．
（ 1 ）若 E 是 BC 中点 ；
① 若 AE ＝ EF ， 求证 ：∠ BAE ＝∠ EFC ；
② 若 CF ＝ DF ，联结 BF 交 AE 于 G ， 求 S △ BEG ： S △ AEF 的值 ；
（ 2 ）如图 2 ，若 AB ＝ 3 ， AD ＝ 5 ， CF ＝ 1 ，∠ AEB ＝∠ AFE ＝∠ EFC ， 求 AF 的长．
2025 年上海市中考数学试卷（回忆版）
参考答 案 与试题解析
一．选择题（共 6 小题）
题号
1
2
3
4
5
6
答 案
A
B
D
D
C
B
一、选择题：（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是
正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
1 ．（ 4 分）下列运算中，正确的是（ ）
A ． m 3 + m 3 ＝ 2 m 3
B ． m 3 + m 3 ＝ m 6
C ． m 3 • m 3 ＝ m 9
D ．（ m 3 ） 3 ＝ m 6
【分析】 A 、 B 选项 均 根据 合 并 同类 项法 则 计算， 然 后 判断即 可 ；
C ．根据 同底 数 幂 相 乘 法 则 进行计算， 然 后 判断即 可 ；
D ．根据 幂 的 乘 方法 则 进行计算， 然 后 判断即 可．
【解答】 解： A ． ∵ m 3 + m 3 ＝ 2 m 3 ， ∴ 此选项的计算正确， 故 此选项 符合 题 意；
B ． ∵ m 3 + m 3 ＝ 2 m 3 ， ∴ 此选项的计算 错误 ， 故 此选项不 符合 题 意；
C ． ∵ m 3 • m 3 ＝ m 6 ， ∴ 此选项的计算 错误 ， 故 此选项不 符合 题 意；
D ． ∵ （ m 3 ） 3 ＝ m 9 ， ∴ 此选项的计算 错误 ， 故 此选项不 符合 题 意；
故 选： A ．
【点 评 】 本题 主 要考查了 整 式的有关运算，解题关 键 是 熟练掌握同底 数 幂 的 乘 法法 则 、 幂 的 乘 方法 则
和 合 并 同类 项法 则 ．
2 ．（ 4 分）下列代数式中，能表示“ x 与 y 的差的平方”的是（ ）
A ． x 2 ﹣ y 2
B ．（ x ﹣ y ） 2
C ． x 2 ﹣ y
D ． x ﹣ y 2
【分析】 先列出 前 半 部 分“ x 与 y 的差”， 即 x ﹣ y ， 再 列后半 部 分“的平方”， 即 可得出答 案 ．
【解答】 解：根据题 目 可列出（ x ﹣ y ） 2 ，
故 选 B ．
【点 评 】 本题考查的是根据题 意 列出代数式．
3 ．（ 4 分）下列函数中，是正比例函数的是（ ）
A ． y ＝ 3 x +1
B ． y ＝ 3 x 2
C ． y ¿ 3
x
D ． y ¿ x
3
【分析】 根据形如 y ＝ kx （ k ≠0 ）的是正比例函数， 逐 项分析 判断 ， 即 可 求 解．
【解答】 解： A ． y ＝ 3 x +1 是一次函数，不是正比例函数， 故 不 符合 题 意；
B ． y ＝ 3 x 2 是二次函数， 故 不 符合 题 意；
C ． y ¿ 3
x 是反比例函数， 故 不 符合 题 意；
D ． y ¿ x
3 是正比例函数， 故符合 题 意；
故 选： D ．
【点 评 】 本题 主 要考查了正比例函数的 定义 ， 熟练掌握定义 是关 键 ．
4 ．（ 4 分）如图是某校体育组 60 人的某科成绩，下列说法中正确的是（ ）
A ．中位数是 21
B ．中位数是 85
C ．众数是 21
D ．众数是 85
【分析】 分 别 根据中位数和众数的 定义 解答 即 可．
【解答】 解： 由统 计图可知， 把该 校体育组 60 人的某科成绩中出 现最多 的是 85 分， 故 众数是 85 ．
故 选： D ．
【点 评 】 本题考查 频 数分 布 直方图、众数、中位数，能 够 从 统 计图中 获 取 必 要 信息 是解答本题的关 键 ．
5 ．（ 4 分）在正方形 ABCD 中， | AB
→
+ BC
→ | ： | CD
→ | 的值是（ ）
A ． √ 2
2
B ． 1
2
C ． √ 2
D ． 2
【分析】 利 用三角形法 则 ，等 腰 直角三角形的 性质求 解．
【解答】 解：如图， 连 接 AC ．
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴ AD ＝ CD ，∠ D ＝ 90° ，
∴ AC ¿ √ 2 CD ，
∵ AB
→
+ BC
→
= AC
→ ，
|
∴ AB
→
+ BC
→ | ： | CD
→ | ¿ √ 2 ．
故 选： C ．
【点 评 】 本题考查平面向 量 ，正方形的 性质 ，等 腰 直角三角形的 性质 ，解题的关 键 是 掌握 三角形法 则 ．
6 ．（ 4 分）在锐角三角形 ABC 中， AB ＝ AC ， BC ＝ 8 ，它的外接圆 O 的半径长为 5 ，若点 D 是边 AC 的中
点，以点 D 为圆心的圆和 ⊙ O 相交，那么 ⊙ D 的半径长可以是（ ）
A ． 2
B ． 5
C ． 8
D ． 10
【分析】 根据题 意 ，等 腰△ ABC 的外接圆半径为 5 ， 由 等 腰 三角形的 性质 、 勾股定理求 得 OD ＝ 3 ； 当
⊙ D 与 ⊙ O 相交时，圆心 距 需满 足 条 件 |5 ﹣ r | ＜ OD ＜ 5+ r ，代入数值 求 解 r 的范围，进而确 定 选项．
【解答】 解：如图， 连 接 AD 并 延 长交 ⊙ O 于点 E ，
∵ AB ＝ AC ， D 为 BC 中点，
∴ BD ＝ DC ＝ 4 ， OD ⊥ BC ，
锐角三角形 ABC 中， AB ＝ AC ，
∴ 外接圆心 O 在 AD 上，
连 接 OB ， 由勾股定理 得： OD = √ O B
2 − B D
2 = 3 ，
设 以 D 为圆心的圆的半径为 r ， ⊙ D ， ⊙ O 相交应满 足 ： |5 ﹣ r | ＜ OD ＜ 5+ r ，
即 |5 ﹣ r | ＜ 3 ＜ 5+ r ，
解得： 2 ＜ r ＜ 8 ，在此范围的半径只有选项 B ，
故 选： B ．
【点 评 】 本题考查了等 腰 三角形的 性质 ， 勾股定理 ，两圆相交的条 件 等知 识 ， 掌握 两圆相交的条 件 是
关 键 ．
二、填空题：（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】
7 ．（ 4 分）分解因式： a 2 b + ab 2 ＝
ab
（
a + b ）
．
