2025 年山西省中考数学试卷

一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分 . 在每个小题给出的四个选项中，只有

1 ．（ 3 分）下列各数中比﹣ 3 小的数是（　　）

A ．﹣ 4

B ．﹣ 2

C ．﹣ 1

D ． 3

2 ．（ 3 分）科技创新型企业的不断涌现，促进了我国新质生产力的快速发展．以下四个科技创新型企业

的品牌图标中，为中心对称图形的是（　　）

A ．

B ．

C ．

D ．

3 ．（ 3 分）下列运算正确的是（　　）

A ． 2 a +3 b ＝ 5 ab

B ． m ² • m ⁴ ＝ m ⁶

C ．（ a ﹣ b ） ² ＝ a ² ﹣ b ²

D ．（ 2 m ² ） ³ ＝ 6 m ⁶

4 ．（ 3 分）如图，小谊将两根长度不等的木条 AC ， BD 的中点连在一起，记中点为 O ，即 AO ＝ CO ， BO

＝ DO ．测得 C ， D 两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上 A ， B 两点之间的距

离．图中△ AOB 与△ COD 全等的依据是（　　）

A ． SSS

B ． SAS

C ． ASA

D ． HL

5 ．（ 3 分）不等式组 {

2 x + 1 ＞ 5

1 − 3 x≥ − 8 ^{的解集是（　　）}

A ． x ＜ 2

B ． x ≥3

C ． 2 ＜ x ≤3

D ．无解

6 ．（ 3 分）如图，在 ▱ ABCD 中，点 O 是对角线 AC 的中点，点 E 是边 AD 的中点，连接 OE ．下列两条

线段的数量关系中一定成立的是（　　）

A ． OE ¿ ¹

2 ^AD

B ． OE ¿ ¹

2 ^BC

C ． OE ¿ ¹

2 ^AB

D ． OE ¿ ¹

2 ^AC

7 ．（ 3 分）如表记录了某市连续五天的日最高气温和日最低气温．比较这五天的日最高气温与日最低气

温的波动情况，下列说法正确的是（　　）

日期气温

2 月 2 日

2 月 3 日

2 月 4 日

2 月 5 日

2 月 6 日

最高 /℃

12

6

10

9

8

最低 /℃

1

﹣ 2

﹣ 1

0

2

A ．日最高气温的波动大

B ．日最低气温的波动大

C ．一样大

D ．无法比较

8 ．（ 3 分）如图， AB 为 ⊙ O 的直径，点 C ， D 是 ⊙ O 上位于 AB 异侧的两点，连接 AD ， CD ．若

^

AC = ^{^}

BC ，则∠ D 的度数为（　　）

A ． 30°

B ． 45°

C ． 60°

D ． 75°

9 ．（ 3 分）氢气是一种绿色清洁能源，可通过电解水获得．实践小组通过实验发现，在电解水的过程中，

生成物氢气的质量 y （ g ）与分解的水的质量 x （ g ）满足我们学过的某种函数关系．如表是一组实验数

据，根据表中数据， y 与 x 之间的函数关系式为（　　）

水的质量 x / g

4.5

9

18

36

45

氢气的质量

y / g

0.5

1

2

4

5

A ． y ¿ ⁹

x

B ． y ＝ 9 x

C ． y ¿ ¹

9 ^x

D ． y ¿ ¹

9 x

10 ．（ 3 分）如图，在△ ABC 中，∠ BAC ＝ 90° ， AB ＝ AC ，分别以点 B ， C 为圆心、 BC 的长为半径画弧，

与 BA ， CA 的延长线分别交于点 D ， E ．若 BC ＝ 4 ，则图中阴影部分的面积为（　　）

A ． 2 π

﹣ 4

B ． 4 π

﹣ 4

C ． 8 π

﹣ 8

D ． 4 π

8

﹣

二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题 3 分，共 15 分）

11 ．（ 3 分）因式分解： m ²

﹣ 16

＝　 　 ．

12 ．（ 3 分）近年来，我省依托乡村 e 镇建设，打造农村电商新产业，提高了农民收入．某农户通过网上

销售传统手工艺品布老虎，利润由原来的每个 20 元增加到 80 元．该农户通过网上售出 a 个布老虎，

则他的利润增加了 　 　 元（用含 a 的代数式表示）．

13 ．（ 3 分）如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（ 6 ， 0 ），将线段 OA 绕点 O 逆时针旋 转 45° ，

则点 A 对 应 点的坐标为 　 　 ．

14 ．（ 3 分）如图是创新小组设 计 的一 款 小程 序 的 界 面示 意 图，程 序规 则为：每点 击 一 次按钮 ， “

”

就从 一个 格子向左或向右随机移 动到 相邻 的一个 格子 ． 当“

” 位于 格子 A 时，小 明 连续点 击 两 次

按钮 ， “

”回 到 格子 A 的 概率 是

15 ．（ 3 分）如图，在四边形 ABCD 中， AD ∥ BC ，∠ B ＝ 90° ， AB ＝ 8 ， BC ＝ 4 ，点 E 在边 AB 上， AE ＝

3 ，连接 CE ， 且 ∠ DCE ＝∠ BCE ．点 F 在 BC 的延长线上，连接 DF ．若 DF ＝ DC ，则线段 CF 的长为

．

三、解 答 题（本大题共 8 个小题，共 75 分 . 解 答应写 出 文字 说 明 ， 证明 过程 或演 算 步骤 ）

16 ．（ 10 分）（ 1 ） 计 算： | ^{− 1}

2 ^|×6

3

﹣ ² + （﹣ 8+4 ） ；

（ 2 ）解 方 程组： {

3 x − 2 y = 11 ①

x + 2 y = 1 ②

．

17 ．（ 7 分）如图，在平面直角坐标系中，直线 AB 分别与 x 轴 ， y 轴 交于点 A ， B ，与 反 比 例 函数 y ¿ ^k

x ^{（ x}

＞ 0 ）的图 象 交于点 C ． 已知 点 A 的坐标为（﹣ 2 ， 0 ），点 C 的坐标为（ 1 ， 6 ），点 D 在 反 比 例 函数 y

¿ ^k

x ^{（ x ＞ 0 ）的图 象 上， 纵 坐标为 2 ．}

（ 1 ） 求反 比 例 函数的表 达 式， 并 直接 写 出点 B 的坐标 ；

（ 2 ）连接 BD ， OD ， 请 直接 写 出四边形 ABDO 的面积．

18 ．（ 8 分）近年来，交通工 具 的 多 样 化 和 普及化 ，为 家 长接 送孩子带 来 便 利的 同 时， 也 在一定程度上造

成了 放 学时段 校门口 的交通 拥堵 ．为了解 具体 情况，某 校爱 心 社团 中 午放 学后在 校门口随机 选 取 300

名 接 送孩子 的 家 长，针对接 送孩子 的 方 式和时段进 行 了 问 卷 调查 ， 所 有 问 卷全部收 回且 有 效 ， 并 将 调

查结果绘制 成了如下 所 示的 扇 形统 计 图和条形统 计 图（不 完整 ）． 请认真阅读 上 述信息 ， 回答 下列 问

题：

中 午放 学后 家 长接 送孩子 情况 调查问 卷

尊敬 的 家 长：

您好！ 为 美化校园周 边交通 环境 ， 诚邀您参 加本 次匿名调查 ．（以下为 单

选）

1 ． 您 通 常 接 送孩子 的 方 式是（

）

ㅤㅤ

A ． 步行 B ． 自行车 C ．电动 自行车

D ． 私家车 E ． 公 共交通

2 ． 您 时 常 接 送孩子 的时段是（

）

ㅤㅤ

A ． 11 ： 50

﹣ 12

： 00

B ． 12 ： 00

﹣ 12

： 10

C ． 12 ： 00

﹣ 12

： 20

D ． 其 他时段

（ 1 ） 扇 形统 计 图中 “公 共交通 ”所 在 扇 形的圆心角度数为 ° ； 本 次调查 的 家 长中 骑 电动 自

行车 接 送孩子 的有 人 ， 并补 全条形统 计 图 ；

（ 2 ）若该 校 共有 1500 名家 长中 午放 学后接 送孩子 ， 请估计 用 私家车 接 送孩子 的 家 长 人 数 ；

（ 3 ） 假 如 你 是 爱 心 社团 的成 员 ， 请 根据上 述 统 计 图中的 信息 ， 写 出一个造成 放 学后 校门口 交通 拥堵 的

原因， 并 给 家 长提出一条 缓 解 拥堵 的建 议 ．

19 ．（ 7 分）我国 自主研 发的 HGCZ

﹣ 2000

型快速 换轨车 ， 采 用 先 进的 自 动 化 技 术 ，能 精准 高 效地完 成 更

换铁路钢轨 的 任务 ．一 辆 该型 号 快速 换轨车 每小时 更换钢轨 的 公里 数是一个工 作队人 工 更换钢轨 的 2

倍 ， 它更换 116 公里钢轨 比一个工 作队人 工 更换 80 公里钢轨所 用时间 少 22 小时． 求 一 辆 该型 号 快速

换轨车 每小时 更换钢轨多少公里 ．

20 ．（ 8 分）项 目 学 习

项 目背景 ： “ 源 池泉 涌 ” 为我省某 景区 的一个 景 点， 主体 设 计包括外栏墙 与内 栏墙 ， 外栏墙 高于内 栏

墙 ，两 栏 中间为 步道 ，内 栏墙 内为 泉池 ， 池 内 泉 水清 澈见底 ． 从 正上 方看 ， 外栏墙呈 正 八 边形，内 栏

墙呈 圆形． 综合 实践小组的 同 学 围 绕 “景 物的测量与 计 算 ”开 展项 目 学 习活 动，形成了如下 活 动 报告 ．

项

目

主

题

景 物的测量与 计 算

驱

动

问

题

如 何 测量内 栏墙围 成 泉池 的直径

活

动

内

容

利用 视 图、三角函数等有关 知识 进 行 测量与 计 算

活 方案 图 1 为该 景 点 俯视 图的示 意 图，点 A ， D 是正 八 边形中一组平 行 边的中点， BC 为圆的直径，

动

过

程

说 明

图中点 A ， B ， C ， D 在 同 一条直线上．

图 2 为测量 方案 示 意 图，直径 BC 所 在水平直线与 外栏墙 分别交于点 E ， F ， 外栏墙 AE 与 DF

均 与水平 地 面 垂 直， 且 AE ＝ DF ． BE ， CF 均 表示 步道 的 宽 ， BE ＝ CF ．图中各点 都 在 同 一 竖

直平面内．

数据

测量

在点 A 处 测得点 B 和点 C 的 俯 角分别为∠ DAB ＝ 37° ，∠ DAC ＝ 8.5° ， AD ＝ 26 米 ．图中 墙 的

厚 度 均忽略 不 计 ．

计 算

…

交

流

展

示

…

请 根 据 上 述 数 据 ， 计 算 内 栏 墙 围 成 泉 池 的 直 径 BC 的 长 （ 结 果 精 确 到 1 米 ． 参 考 数 据 ：

（ sin8.5°≈0.15 ， cos8.5°≈0.99 ， tan8.5°≈0.15 ， sin37°≈0.60 ， cos37°≈0.80 ， tan37°≈0.75 ）．

21 ．（ 9 分） 阅读 与 思 考

下面是小 宣同 学数学 笔 记中的部分内 容 ， 请认真阅读并完 成 相应 的 任务 ．

双 关 联 线段

【概念理 解 】

如 果 两条线段 所 在直线形成的 夹 角中有一个角是 60° ， 且 这两条线段 相 等，则称 其 中一条线段是

另 一条线段的 双 关 联 线段， 也 称这两条线段 互 为 双 关 联 线段．

例 如，下列各图中的线段 AB 与 CD 所 在直线形成的 夹 角中有一个角是 60° ，若 AB ＝ CD ，则下列

各图中的线段 CD 都 是 相应 线段 AB 的 双 关 联 线段．

【问 题解 决】

问 题 1 ：如图 1 ，在 矩 形 ABCD 中，

AB ＜ AD ，若对角线 AC 与 BD 互 为 双 关 联 线段，则∠ ACB ＝ ° ．

问 题 2 ：如图 2 ，在等边△ ABC 中，点 D ， E 分别在边 BC ， CA 的延长线上， 且 AE ＝ CD ，连接

AD ， BE ． 求证 ：线段 AD 是线段 BE 的 双 关 联 线段．

证明 ：延长 DA 交 BE 于点 F ．

∵△ ABC 是等边三角形，

∴ AB ＝ AC ，∠ BAC ＝∠ ACB ＝ 60°

∵∠ BAC + ∠ BAE ＝ 180° ，∠ ACB + ∠ ACD ＝ 180° ，

∴∠ BAE ＝∠ ACD （依据）．

∵ AE ＝ CD ，

∴ △ ABE ≌△ CAD ．

∴ BE ＝ AD ，∠ E ＝∠ D ．

……

任务 ：

（ 1 ） 问 题 1 中的∠ ACB ＝ ° ， 问 题 2 中的依据是 ；

（ 2 ） 补 全 问 题 2 的 证明 过程 ；

（ 3 ）如图 3 ，点 C 在线段 AB 上， 请 在图 3 中 作 线段 AB 的 双 关 联 线段 CD （ 要求 ： ① 尺规作 图， 保留

作 图 痕迹 ，不 写作 法 ； ② 作 出一条即可）．

22 ．（ 13 分） 综合 与实践

问 题情 境 ： 青蛙腾 空 阶 段的运动 路 线可 看作抛 物线．我国某科 研团队 根据 青蛙 的生物 特征 和运动 机理

设 计 出了 仿青蛙机器人 ， 其 起 跳 后的运动 路 线与实 际 情况中 青蛙腾 空 阶 段的运动 路 线 相吻合 ．

实验数据： 仿青蛙机器人从 水平 地 面起 跳 ， 并落 在水平 地 面上， 其 运动 路 线的最高点距 地 面 60 cm ，起

跳 点与 落地 点的距离为 160 cm ．

数学建 模 ：如图 1 ，将 仿青蛙机器人 的运动 路 线 抽象 为 抛 物线， 其顶 点为 N ，对称 轴 为直线 l ， 仿青蛙

机器人 在水平 地 面上的起 跳 点为 O ， 落地 点为 M ．以 O 为原点， OM 所 在直线为 x 轴 ，过点 O 与 OM

所 在水平 地 面 垂 直的直线为 y 轴 ，建立平面直角坐标系．

（ 1 ） 请 直接 写 出 顶 点 N 的坐标， 并求 该 抛 物线的函数表 达 式 ；

问 题解 决 ： 已知仿青蛙机器人 起 跳 后的运动 路 线形 状保持 不 变 ，即 抛 物线的形 状 不 变 ．

（ 2 ）如图 1 ，若 仿青蛙机器人从 点 O 正上 方 的点 P 处 起 跳 ， 落地 点为 Q ，点 P 的坐标为（ 0 ， 75 ），

点 Q 在 x 轴 的正半 轴 上． 求 起 跳 点 P 与 落地 点 Q 的水平距离 OQ 的长 ；

（ 3 ）实验表 明 ： 仿青蛙机器人 在 跃 过 障碍 物时，与 障碍 物上表面的每个点在 竖 直 方向 上的距离不 少 于

3 cm ， 才 能 安 全通过．如图 2 ，水平 地 面上有一个 障碍 物， 其纵切 面为四边形 ABCD ， 其 中∠ ABC ＝

∠ BCD ＝ 90° ， AB ＝ 57 cm ， BC ＝ 40 cm ， CD ＝ 48 cm ． 仿青蛙机器人从 距离 AB 左 侧 80 cm 处 的 地 面起 跳 ，

发现不能 安 全通过该 障碍 物．若 团队人员 在起 跳处放置 一个平 台 ， 仿青蛙机器人从 平 台 上起 跳 ，则 刚

好安 全通过该 障碍 物． 请 直接 写 出该平 台 的高度（平 台 的大小 忽略 不 计 ， 障碍 物的 纵切 面与 仿青蛙机

器人 的运动 路 线在 同 一 竖 直平面内）．

23 ．（ 13 分） 综合 与 探究

问 题情 境 ：如图 1 ，在△ ABC 纸片 中， AB ＞ BC ，点 D 在边 AB 上， AD ＞ BD ． 沿 过点 D 的直线 折叠 该

纸片 ， 使 DB 的对 应 线段 DB ′ 与 BC 平 行 ， 且折痕 与边 BC 交于点 E ，得到△ DB ′ E ， 然 后展平．

猜想 证明 ：（ 1 ） 判 断四边形 BDB ' E 的形 状 ， 并 说 明理 由 ；

拓 展延 伸 ：（ 2 ）如图 2 ， 继 续 沿 过点 D 的直线 折叠 该 纸片 ， 使 点 A 的对 应 点 A ′ 落 在 射 线 DB ′ 上， 且折

痕 与边 AC 交于点 F ， 然 后展平．连接 A ′ E 交边 AC 于点 G ，连接 A ′ F ．

① 若 AD ＝ 2 BD ， 判 断 DE 与 A ′ E 的位 置 关系， 并 说 明理 由 ；

② 若∠ C ＝ 90° ， AB ＝ 15 ， BC ＝ 9 ， 当 △ A ′ FG 是以 A ′ F 为 腰 的等 腰 三角形时， 请 直接 写 出 A ′ F 的长．