2025 年山东省烟台市中考数学试卷
一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 3 分，满分 30 分。每小题都给出标号为 A ， B ， C ， D 四个备
选答案，其中有且只有一个是正确的）
1 ．（ 3 分） |
3|
﹣ 的倒数是（ ）
A ． 3
B ． 1
3
C ．﹣ 3
D ． − 1
3
2 ．（ 3 分） 2025 年 4 月 24 日，神舟二十号载人飞船成功发射，以壮丽升空将第 10 个中国航天日从纪念
变为庆祝．下列航天图案是中心对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3 ．（ 3 分）下列计算正确的是（ ）
A ． 2 x 2 + x 3 ＝ 3 x 5
B ． 2 x 2 • x 3 ＝ 2 x 5
C ． 2 x 3 ÷ （﹣ x 2 ）＝ 2 x
D ．（ 2 x 2 ） 3 ＝ 2 x 6
4 ．（ 3 分）如图是社团小组运用 3 D 打印技术制作的模型，它的左视图是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5 ．（ 3 分）如图是一款儿童小推车的示意图，若 AB ∥ CD ，∠ 1 ＝ 30° ，∠ 2 ＝ 70° ，则∠ 3 的度数为（
）
A ． 40°
B ． 35°
C ． 30°
D ． 20°
6 ．（ 3 分）求一组数据方差的算式为： s 2 ¿ 1
n × [ ( 6 − x )
2 +( 8 − x )
2 +( 8 − x )
2 +( 6 − x )
2 +( 7 − x )
2 ] ．由算式提
供的信息，下列说法错误的是（ ）
A ． n 的值是 5
B ．该组数据的平均数是 7
C ．该组数据的众数是 6
D ．若该组数据加入两个数 7 ， 7 ，则这组新数据的方差变小
7 ．（ 3 分）某商场打折销售一款风扇，若按标价的六折出售，则每台风扇亏损 10 元；若按标价的九折出
售，则每台风扇盈利 95 元．这款风扇每台的标价为（ ）
A ． 350 元
B ． 320 元
C ． 270 元
D ． 220 元
8 ．（ 3 分）如图，菱形 OABC 的顶点 A 在 x 轴正半轴上， OA ＝ 3 ，反比例函数 y ¿ k
x （ x ＞ 0 ）的图象过点 C
和菱形的对称中心 M ，则 k 的值为（ ）
A ． 4
B ． 4 √ 2
C ． 2
D ． 2 √ 2
9 ．（ 3 分）如图，二次函数 y ＝ ax 2 + bx + c 的部分图象与 x 轴的一个交点 A 位于（﹣ 2 ， 0 ）和（﹣ 1 ， 0 ）之
间，顶点 P 的坐标为（ 1 ， n ）．下列结论： ① abc ＜ 0 ； ② 对于任意实数 m ，都有 am 2 + bm ﹣ a ﹣ b ≥0 ；
③ 3 b ＜ 2 c ； ④ 若该二次函数的图象与 x 轴的另一个交点为 B ，且△ PAB 是等边三角形，则 n ¿ − 3
a ．其
中所有正确结论的序号是（ ）
A ． ①②
B ． ①③
C ． ①④
D ． ①③④
10 ．（ 3 分）如图，在△ ABC 中，∠ ACB ＝ 90° ， AC ＝ BC ， AD 是角平分线．点 E 从点 A 出发，沿 AB 方向
向点 B 运动，连接 CE ，点 F 在 BC 上，且∠ CEF ＝ 45° ．设 AE ＝ x ， FD ＝ y ，若 y 关于 x 的函数图象过
点（ 0 ， 2 − √ 2 ），则该图象上最低点的坐标为（ ）
A ．（ 1
2 ， 3
2 − √ 2 ）
B ．（ √ 2
2
， 3
2 − √ 2 ）
C ．（ 1
2 ， 3
2
﹣ √ 2 ）
D ．（ √ 2
2
， 3
2
﹣ √ 2 ）
二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 3 分，满分 18 分）
11 ．（ 3 分） 2025 年 2 月 2 日是第 29 个“世界湿地日”，主题是“保护湿地 共筑未来”．国家林草局公
布的最新数据显示，全国湿地面积稳定保持在 56350000 公顷以上．将数据 56350000 用科学记数法表
示为 ．
12 ．（ 3 分）实数 3 √ 2 的整数部分为 ．
13 ．（ 3 分）因式分解： 2 x 2
﹣ 12
xy +18 y 2 ＝ ．
14 ．（ 3 分）如图，正六边形 ABCDEF 的边长为 4 ，中心为点 O ，以点 O 为圆心，以 AB 长为半径作圆心
角为 120° 的扇形，则图中阴影部分的面积为 ．
15 ．（ 3 分）如图，在平面直角坐标系中，点 P 的坐标为（ 6 ， 3
2 ），△ ABC 的顶点 A 的坐标为
（ 4 ， 3 ）．以点 P 为位似中心作△ A 1 B 1 C 1 与△ ABC 位似，相似比为 2 ，且与△ ABC 位于点 P 同侧；以
点 P 为位似中心作△ A 2 B 2 C 2 与△ A 1 B 1 C 1 位似，相似比为 2 ，且与△ A 1 B 1 C 1 位于点 P 同侧 … ，按 照 以上
规律 作图，点 A 3 的坐标为 ．
16 ．（ 3 分）如图，在菱形 ABCD 中，∠ BAD ＝ 60° ，对角线 AC ＝ 6 cm ．点 M 从点 A 出发，沿 AC 方向以
1 cm / s 的 速 度向点 C 运动，同 时 ，点 N 从点 C 出发，沿 CD 方向以 √ 3 cm / s 的 速 度向点 D 运动， 当 一点
到达终 点 时 ，另一点 随 之 停止 运动，连接 AN ， DM 交于点 P ．在 此 过 程 中，点 P 的运动 路 径长为
cm ．
三、解答题（本大题共 8 个小题，满分 72 分）
17 ．（ 6 分） 先化简 ， 再 求值：（ 2+ m + 4
m − 2 ） ÷
m
3 m − 6 ，其中 m ＝（﹣ 1 ） 2025 ．
18 ．（ 7 分） 2025 年 4 月 19 日，烟台市 民文化艺 术 季启幕 ．某 校带领甲 、 乙 两个社团 参观甲骨 学发 展史
馆 ， 领略殷 商 文明甲骨文化穿越千 年的 不朽魅力 ． 活 动结 束后 ，两个社团 进行了 一次满分为 10 分的 甲
骨 学发 展史测 试， 并 对所有学 生 的成 绩进行了收集 、整 理 、分 析 ，信息如下：
① 甲 社团的成 绩 （ 单 位：分） 情况 如下：
6
， 6 ， 6 ， 6 ， 7 ， 7 ， 7 ， 7 ， 6 ， 7 ， 7 ， 6 ， 7 ， 8 ， 8 ， 8 ， 8 ， 9 ， 8 ， 8 ， 9 ， 9 ， 9 ， 8 ， 8 ， 9 ， 9 ， 9 ， 7 ， 9 ，
6 ， 9 ， 9 ， 10 ， 8 ， 8 ， 9 ， 9 ， 10 ， 10 ．
② 乙 社团的平均成 绩 为 6 × 8 + 7 × 12 + 8 × 6 + 9 × 10 + 10 × 4
8 + 12 + 6 + 10 + 4
= ¿ 7.75 （分）．
③ 将两个社团的成 绩绘 制成如下 不完 整的 统 计图：
根 据以上信息，解 决 下列 问 题：
（ 1 ）将 条 形 统 计图 补充完 整；
（ 2 ）成 绩 为 8 分的学 生 在 社团的 排名更靠前 （填“ 甲 ” 或 “ 乙 ”）；
（ 3 ） 已知甲 社团的满分学 生 中有两 名女生 ， 现 从 甲 社团满分学 生 中 随机抽取 两人， 参 加 甲骨 学发 展史
宣讲活 动． 请 用 树状 图 或 表 格 求所 抽取 的两人 恰好 是一 名男生 和一 名女生 的 概率 ．
19 ．（ 7 分）如图， BD 是 矩 形 ABCD 的对角线， 请 按以下 要 求解 决问 题：
（ 1 ）利用 尺规 作△ BED ， 使 △ BED 与△ BCD 关于直线 BD 成轴对称（ 不写 作法，保 留 作图 痕迹 ）；
（ 2 ）在（ 1 ）的 条件 下，若 BE 交 AD 于点 F ， AB ＝ 1 ， BC ＝ 2 ，求 AF 的长．
20 ．（ 8 分） 2025 年 6 月 5 日是第 54 个“世界 环境 日”，为打 造绿色 低 碳 社 区 ，某社 区决 定 购买甲 、 乙
两 种太阳能路灯安装 在社 区 公共 区域 ，升 级改造现 有 照明 系 统 ． 已知购买 1 盏甲种路灯 和 2 盏乙种路
灯 共 需 220 元， 购买 3 盏甲种路灯 比 4 盏乙种路灯 的 费 用 少 140 元．
（ 1 ）求 甲 、 乙 两 种路灯 的 单 价；
（ 2 ）该社 区 计 划购买甲 、 乙 两 种路灯 共 40 盏 ，且 甲种路灯 的数 量不超 过 乙种路灯 数 量 的 1
3 ， 请通 过
计算设计一 种购买 方案， 使 所 需费 用最 少 ．
21 ．（ 9 分） 【综合 与实 践】
烟台山 灯塔被誉 为“ 黄海夜明珠 ”，它坐 落 在烟台山上，为过 往 船只提供 导 航 服务 ．为 了 解 渔 船 海 上
作 业情况 ，某日，数学 兴趣 小组 开展了 实 践探究活 动．
如图，一 艘渔 船 自 东向 西 以每小 时 10 海里 的 速 度向 码头 A 航 行 ，小组同学 收集到 以下信息：
位 置 信息
码头 A 在 灯塔 B 北偏西 14° 方向
14 ： 30 时 ， 渔 船航 行至灯塔 B 北偏 东 53°
方向的 C 处
15 ： 00 时 ， 渔 船航 行至灯塔 B 东 北 方向的
D 处
天 气预警
受暖 湿 气流 影 响 ， 今 天 17 ： 30 到夜 间， 码
头 A 附近海域 将出 现浓雾 天 气 ． 请注 意 防
范 ．
请根 据以上信息，解答下列 问 题：
（ 1 ）求 渔 船在航 行 过 程 中 到灯塔 B 的最 短距离 ；
（ 2 ）若 不改 变航 行速 度， 请通 过计算说 明渔 船 能否 在 浓雾到 来 前到达码头 A （ 参 考数据：
sin37°≈0.60 ， cos37°≈0.80 ， tan37°≈0.75 ， sin14°≈0.24 ， cos14°≈0.97 ， tan14°≈0.25 ）．
22 ．（ 10 分）如图，△ ABC 内 接于 ⊙ O ，∠ ABC ＝ 2 ∠ C ，点 D 在线 段 CB 的 延 长线上，且 BD ＝ AB ，连接
AD ．
（ 1 ）求 证 ： AD 是 ⊙ O 的 切 线；
（ 2 ） 当 AB ＝ 5 ， AC ＝ 8 时 ，求 BC 的长 及 ⊙ O 的半径．
23 ．（ 11 分） 【问 题 呈现】
如图 1 ， 已知 P 是正方形 A 1 A 2 A 3 A 4 外 一点，且满 足 ∠ PA 1 A 2 + ∠ PA 3 A 2 ＝ 180° ， 探究 PA 1 ， PA 2 ， PA 3 三 条
线 段 的数 量 关系．
小 颖通 过 观察 、分 析 、 思 考，形成 了 如下 思路 ：
思路 一：如图 2 ， 构造 △ QA 3 A 2 与△ PA 1 A 2 全等，从 而得 出 PA 1 + PA 3 与 PA 2 的数 量 关系；
思路 二：如图 3 ， 构造 △ MA 1 A 2 与△ NA 3 A 2 全等，从 而得 出 PA 1 + PA 3 与 PA 2 的数 量 关系．
（ 1 ） 请参 考小 颖 的 思路 ，直接 写 出 PA 1 + PA 3 与 PA 2 的数 量 关系 ；
【类 比 探究】
（ 2 ）如图 4 ，若 P 是正 五 边形 A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 外 一点，且满 足 ∠ PA 1 A 2 + ∠ PA 3 A 2 ＝ 180° ， PA 1 ＝ 11 ， PA 3 ＝
49
，
求
PA 2
的
长
度
（
结
果
精
确
到
0.1
，
参
考
数
据
：
sin54°≈0.81 ， sin72°≈0.95 ， cos54°≈0.59 ， cos72°≈0.31 ）；
【拓展延伸】
（ 3 ）如图 5 ，若 P 是正十边形 A 1 A 2 ⋯ A 10 外 一点，且满 足 ∠ PA 1 A 2 + ∠ PA 3 A 2 ＝ 180° ，则 PA 1 ， PA 2 ， PA 3 三
条 线 段 的数 量 关系为 （结 果 用 含 有 锐 角三角函数的式 子 表示）．
24 ．（ 14 分）如图， 抛物 线 y ＝ ax 2 + bx +3 与 x 轴交于 A ， B 两点（点 A 在点 B 左侧），与 y 轴交于点
C ， OA ＝ 2 ， OB ＝ 6 ， D 是直线 BC 上方 抛物 线上一动点，作 DF ⊥ AB 交 BC 于点 E ， 垂足 为点 F ，连接
CD ．
（ 1 ）求 抛物 线的表 达 式；
（ 2 ）设点 D 的 横 坐标为 t ，
① 用 含 有 t 的 代 数式表示线 段 DE 的长度；
② 是 否存 在点 D ， 使 △ CDE 是等 腰 三角形 ？ 若 存 在， 请 求出所有满 足条件 的点 D 的坐标；若 不存 在，
请 说 明理 由；
（ 3 ）连接 OE ，将线 段 OE 绕 点 O 按 顺时针 方向 旋转 90° 得到 线 段 OG ，连接 AG ， 请 直接 写 出线 段 AG
长度的最小值．
2025 年山东省烟台市中考数学试卷
参 考答案与试题解 析
一．选择题（共 10 小题）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
D
B
C
A
C
A
D
D
B
一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 3 分，满分 30 分。每小题都给出标号为 A ， B ， C ， D 四个备
选答案，其中有且只有一个是正确的）
1 ．（ 3 分） |
3|
﹣ 的倒数是（ ）
A ． 3
B ． 1
3
C ．﹣ 3
D ． − 1
3
【 解答 】 解： ∵ |
3|
﹣ ＝ 3 ， 3 的倒数是 1
3 ，
|
3|
∴ ﹣ 的倒数是 1
3 ．
故 选： B ．
2 ．（ 3 分） 2025 年 4 月 24 日，神舟二十号载人飞船成功发射，以壮丽升空将第 10 个中国航天日从纪念
变为庆祝．下列航天图案是中心对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【 解答 】 解：选 项 A 、 B 、 C 的图形均 不能找到 一个点， 使 图形 绕 某一点 旋转 180° 后 与 原 来的图形 重合 ，
所以 不 是中心对称图形；
选 项 D 的图形 能找到 一个点， 使 图形 绕 某一点 旋转 180° 后 与 原 来的图形 重合 ，所以是中心对称图形；
故 选： D ．
3 ．（ 3 分）下列计算正确的是（ ）
A ． 2 x 2 + x 3 ＝ 3 x 5
B ． 2 x 2 • x 3 ＝ 2 x 5
C ． 2 x 3 ÷ （﹣ x 2 ）＝ 2 x
D ．（ 2 x 2 ） 3 ＝ 2 x 6
【 解答 】 解： A ． 2 x 2 和 x 3 不 是同 类项 ， 不能进行 计算， 故 选 项 A 不符合 题意；
B ． 2 x 2 • x 3 ＝ 2 x 5 ， 故 选 项 B 符合 题意；
C ． 2 x 3 ÷ （﹣ x 2 ）＝﹣ 2 x ， 故 选 项 C 不符合 题意；
D ．（ 2 x 2 ） 3 ＝ 8 x 6 ， 故 选 项 D 不符合 题意；
故 选： B ．
4 ．（ 3 分）如图是社团小组运用 3 D 打印技术制作的模型，它的左视图是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【 解答 】 解：从左边 看 ，是一个 矩 形， 矩 形中间有一 条横 向的 虚 线，
故 选： C ．
5 ．（ 3 分）如图是一款儿童小推车的示意图，若 AB ∥ CD ，∠ 1 ＝ 30° ，∠ 2 ＝ 70° ，则∠ 3 的度数为（
）
A ． 40°
B ． 35°
C ． 30°
D ． 20°
【 解答 】 解： ∵ AB ∥ CD ，∠ 1 ＝ 30° ，
∴∠ A ＝∠ 1 ＝ 30° ，
