2025 年山东省临沂市、枣庄市、聊城市、菏泽市、济宁市中考数学试卷
一、选择题：本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。每小题只有一个选项符合题目要求。
1 ．（ 3 分）如图，数轴上表示﹣ 2 的点是（ ）
A ． M
B ． N
C ． P
D ． Q
2 ．（ 3 分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3 ．（ 3 分）我国“深蓝 2 号”大型智能深海养殖网箱的主体是一个正六棱柱，其示意图的主视图是（
）
A ．
B ．
C ．
D ．
4 ．（ 3 分）好客山东以其宽厚仁德的人文情怀、风景秀丽的河海山川吸引了来自世界各地的朋友，据统
计，山东省 2024 年全年接待游客超 9 亿人次．数据“ 9 亿”用科学记数法表示为（ ）
A ． 9×10 7
B ． 0.9×10 8
C ． 9×10 8
D ． 0.9×10 9
5 ．（ 3 分）已知 a ≠0 ，则下列运算正确的是（ ）
A ．﹣ 2 a +3 a ＝ 5 a
B ．（﹣ 2 a 3 ） 2 ＝ 4 a 6
C ． a 2 ﹣ a ＝ a
D ． a 6 ÷ a 2 ＝ a 3
6 ．（ 3 分）某班学生到山东省博物馆参加研学活动．博物馆为同学们准备了以镇馆之宝“亚醜钺”“蛋
壳黑陶杯”“颂簋”为主题的三款文创产品，每位同学可从中随机抽取一个作为纪念品．若抽到每一
款的可能性相等，则甲、乙两位同学同时抽到“亚醜钺”的概率是（ ）
A ． 1
9
B ． 1
6
C ． 1
3
D ． 2
3
7 ．（ 3 分）明代数学家吴敬的《九章算法比类大全》中有一个“哪吒夜叉”问题，大意是：有 3 个头 6
只手的哪吒若干，有 1 个头 8 只手的夜叉若干，两方交战，共有 36 个头， 108 只手．问哪吒、夜叉各
有多少？设哪吒有 x 个，夜叉有 y 个，则根据条件所列方程组为（ ）
A ． {
x + 3 y = 36
8 x + 6 y = 108
B ． {
x + 3 y = 36
6 x + 8 y = 108
C ． {
3 x + y = 36
8 x + 6 y = 108
D ． {
3 x + y = 36
6 x + 8 y = 108
8 ．（ 3 分）在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修身齐家的象征．如图
是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切 圆和外 接 圆 组 成 ．已知内切 圆 的 半径 是 2 ，则图中 阴影
部 分的面 积 是（ ）
A ． π
B ． 2 π
C ． 3 π
D ． 4 π
9 ．（ 3 分）如图，在平面 直角坐标系 中， A ， C 两点在 坐标 轴上， 四边 形 OABC 是面 积 为 4 的正方形．若
函 数 y ¿ k
x （ x ＞ 0 ）的图象经 过 点 B ，则 满足 y ≥2 的 x 的取 值范围 为（ ）
A ． 0 ＜ x ≤2
B ． x ≥2
C ． 0 ＜ x ≤4
D ． x ≥4
10 ．（ 3 分）在 水 分、养 料 等条件一 定 的情 况 下，某 植 物的生 长速度 y （ 厘米 / 天 ） 和光照强度 x （ 勒克
斯 ）之 间存 在一 定关系 ．在 低光照强度范围 （ 200≤ x ＜ 1000 ）内， y 与 x 近似成 一次 函 数 关系； 在中 高
光照强度范围 （ x ≥1000 ）内， y 与 x 近似成二 次 函 数 关系 ．其 部 分图象如图所示．根据图象，下列 结论
正确的是（ ）
A ． 当 x ≥1000 时， y 随 x 的 增 大 而减 小
B ． 当 x ＝ 2000 时， y 有 最 大 值
C ． 当 y ≥0.6 时， x ≥1000
D ． 当 y ＝ 0.4 时， x ＝ 600
二 、 填空 题：本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分。
11 ．（ 3 分） 写出使 分 式
1
2 x − 3 有意 义 的 x 的一个 值 ．
12 ．（ 3 分）在平面 直角坐标系 中， 将 点 P （ 3 ， 4 ） 向 下平 移 2 个 单 位 长度 ， 得 到的对 应 点 P ′ 的 坐标 是
．
13 ．（ 3 分）若 关于 x 的一 元二 次方程 x 2 +4 x ﹣ m ＝ 0 有两个 不 相等的 实 数根，则 实 数 m 的取 值范围 是
．
14 ．（ 3 分）取 直线 y ＝﹣ x 上一点 A （ x 1 ， y 1 ）， ① 过 点 A 1 作 x 轴的 垂线 ，交 y ¿ 1
x 于 点 A （ x 2 ， y 2 ） ； ②
过 点 A 2 作 y 轴的 垂线 ，交 y ＝﹣ x 于 点 A 3 （ x 3 ， y 3 ） ； 如 此循环进行 下 去 ． 按照 上面的 操 作，若点 A 1 的
坐标 为（ 1 ，﹣ 1 ），则点 A 2025 的 坐标 是 ．
15 ．（ 3 分）如图，在 Rt △ ABC 中， ∠ ABC ＝ 90° ， AB ＝ 6 ， BC ＝ 8 ．点 P 为 边 AC 上 异于 A 的一点，以
PA ， PB 为 邻边 作 ▱ PAOB ，则 线段 PQ 的 最 小 值 是 ．
三、 解答 题：本题共 8 小题，共 75 分 . 解答应写出 文 字说 明、 证 明 过 程 或演 算 步骤
16 ．（ 8 分）（ 1 ）计算： | − 1
3 | × √ 9 + ¿ π 0 ；
（ 2 ） 先 化 简 ， 再 求 值 ：（ x 2
1
﹣ ）（ 1
x + 1 + ¿ 1 ），其中 x ＝ 2 ．
17 ．（ 8 分）在 Rt △ ABC 中， ∠ ABC ＝ 90° ， ∠ ACB ＝ 30° ， ∠ BAC 的平分 线 AD 交 BC 于 点 D ，如图 1 ．
（ 1 ）求 ∠ ADC 的 度 数 ；
（ 2 ）已知 AB ＝ 3 ，分 别 以 C ， D 为 圆 心，以大 于 1
2 CD 的 长 为 半径 作 弧 ，两 弧 相交 于 点 M ， N ，作 直线
MN 交 BC 于 点 E ，交 AD 的 延长线于 点 F ．如图 2 ，求 DF 的 长 ．
18 ．（ 8 分）山东省在能 源绿色低碳转 型 过 程中， 探索出 一条“以 储调绿 ”的能 源转 型 路径 ．某地 结 合 实
际 情 况 ， 建立 了一 座圆 柱形 蓄水池 ， 通过蓄水发电实现低峰蓄 能、 高峰释 能， 助力 能 源转 型．
已知本次 注水前蓄水池 的 水 位 高度 为 5 米 ， 注水 时 水 位 高度 每小时上 升 6 米 ．
（ 1 ） 请写出 本次 注水过 程中， 蓄水池 的 水 位 高度 y （ 米 ）与 注水 时 间 x （小时）之 间 的 关系式；
（ 2 ）已知 蓄水池 的 底 面 积 为 0.4 万 平方 米 ，每 立 方 米 的 水 可 供发电 0.3 千瓦 时，求 注水 多 长 时 间 可 供
发电 4.2 万千瓦 时？
19 ．（ 10 分）在 2025 年全国科 技 活动 周期间 ，某 校 科 技 小组对甲、乙两个 水 产养殖 基 地 水 体的 pH 值进
行 了 检测 ， 并 对一 天 （ 24 小时）内每小时的 pH 值进行 了 整理 、 描述及 分 析 ．
【收集 数据 】
甲 基 地 水 体的 pH 值 数据：
7.2
7 ， 7.28 ， 7.34 ， 7.35 ， 7.36 ， 7.51 ， 7.53 ， 7.67 ， 7.67 ， 7.67 ， 7.67 ， 7.81 ， 7.81 ， 7.88 ， 7.91 ， 8.01 ， 8.02
， 8.03 ， 8.07 ， 8.16 ， 8.17 ， 8.23 ， 8.26 ， 8.26 ．
乙 基 地 水 体的 pH 值 数据：
7.1
1 ， 7.12 ， 7.14 ， 7.25 ， 7.36 ， 7.52 ， 7.63 ， 7.67 ， 7.69 ， 7.75 ， 7.77 ， 7.77 ， 7.81 ， 7.84 ， 7.89 ， 8.01 ， 8.12
， 8.13 ， 8.14 ， 8.16 ， 8.17 ， 8.18 ， 8.20 ， 8.21 ．
【整理 数据 】
7.00≤ x ＜ 7.30 7.30≤ x ＜ 7.60 7.60≤ x ＜ 7.90 7.90≤ x ＜ 8.20 8.20≤ x ≤8.50
甲
2
5
7
7
3
乙
4
2
9
a
2
【描述 数据 】
【 分 析 数据 】
平 均 数
众 数
中位数
方 差
甲
7.79
b
7.81
0.10
乙
7.78
7.77
c
0.13
根据以上 信息解决 下列问题：
（ 1 ） 补 全 频 数分 布直 方图 ；
（ 2 ） 填空 ： b ＝ ， c ＝ ；
（ 3 ） 请判断 甲、乙哪个 基 地 水 体的 pH 值更稳定 ， 并说 明 理 由 ；
（ 4 ）已知两 基 地对 水 体 pH 值 的 日变 化 量 （ pH 值最 大 值 与 最 小 值 的 差 ）要求为 0.5 ～ 1 ，分 别判断并说
明 该日 两 基 地的 pH 值 是 否 符合要求．
20 ．（ 10 分）如图，在 △ OAB 中，点 A 在 ⊙ O 上， 边 OB 交 ⊙ O 于 点 C ， AD ⊥ OB 于 点 D ． AC 是 ∠ BAD
的平分 线 ．
（ 1 ）求 证 ： AB 为 ⊙ O 的切 线；
（ 2 ）若 ⊙ O 的 半径 为 2 ， ∠ AOB ＝ 45° ，求 CB 的 长 ．
21 ．（ 9 分） 【 问题情 境】
2025 年 5 月 29 日 “ 天 问 二 号” 成功发射 ， 开启 了小 行星伴飞 取 样探测 的 新篇 章．某 校航天兴趣 小组 受
到 鼓舞 ， 制 作了一个 航天器模 型，其中某个 部 件 使 用 3 D 打印完成 ，如图 1 ．
【 问题 提出】
部 件主视图如图 2 所示，由 于 1 的 尺寸不易直 接 测量 ， 需 要设计一个可以 得 到 l 的 长度 的方 案 ，以 检测
该部 件中 l 的 长度 是 否 符合要求．
【 方 案 设计 】
兴趣 小组 通过查阅 文 献 ， 提出 了 钢 柱 测量 法．
测量工具 ：游 标卡尺 、若干个 底 面 圆半径 相同的 钢 柱（ 圆 柱）．
操 作 步骤 ：如图 3 ， 将 两个 钢 柱平 行放 在 部 件合 适 位 置 ， 使得钢 柱与 部 件 紧密贴 合．示意图如图
4 ， ⊙ O 分 别 与 AC ， AD 相切 于 点 B ， D ．用游 标卡尺测量出 CC ′ 的 长度 y ．
【 问题 解决】
已知 ∠ CAD ＝ ∠ C ′ A ′ D ′ ＝ 60° ， l 的 长度 要求是 1.9 cm
∼ 2.1
cm ．
（ 1 ）求 ∠ BAO 的 度 数 ；
（ 2 ）已知 钢 柱的 底 面 圆半径 为 1 cm ， 现测得 y ＝ 7.52 cm ．根据以上 信息 ， 通过 计算 说 明 该部 件 l 的 长
度 是 否 符合要求．（参考数据： √ 3 ≈ 1.73 ）
【结果反思】
（ 3 ）本次 实践过 程 借助圆 柱 将不 可 测量 的 长度转 化为可 测量 的 长度 ，能 将圆 柱 换成 其 他几何 体 吗 ？如
果 能， 写出 一个 ； 如 果不 能， 说 明 理 由．
22 ．（ 11 分）已知 二 次 函 数 y ＝ x （ x ﹣ a ） + （ x ﹣ a ）（ x ﹣ b ） + x （ x ﹣ b ），其中 a ， b 为两个 不 相等的 实
数．
（ 1 ） 当 a ＝ 0 、 b ＝ 3 时，求 此函 数图象的对称轴 ；
（ 2 ） 当 b ＝ 2 a 时，若 该函 数在 0≤ x ≤1 时， y 随 x 的 增 大 而减 小 ； 在 3≤ x ≤4 时， y 随 x 的 增 大 而增 大，求
a 的取 值范围；
（ 3 ）若点 A （ a ， y 1 ）， B （ a + b
2
， y 2 ）， C （ b ， y 3 ） 均 在 该函 数的图象上，是 否存 在常数 m ， 使得
y 1 + my 2 + y 3 ＝ 0 ？若 存 在，求 出 m 的 值； 若 不存 在， 说 明 理 由．
23 ．（ 11 分） 【 图形 感 知 】
如图 1 ，在 四边 形 ABCD 中，已知 ∠ BAD ＝ ∠ ABC ＝ ∠ BDC ＝ 90° ， AD ＝ 2 ， AB ＝ 4 ．
（ 1 ）求 CD 的 长；
【探究发现】
老师指导 同学们对图 1 所示的 纸片进行 了 折叠探究 ．
在 线段 CD 上取一点 E ， 连 接 BE ． 将四边 形 ABED 沿 BE 翻折得 到 四边 形 A ′ BED ′ ，其中 A ′ ， D ′ 分 别 是
A ， D 的对 应 点．
（ 2 ）其中甲、乙两位同学的 折叠 情 况 如下：
① 甲：点 D ′ 恰 好 落 在 边 BC 上， 延长 A ′ D ′ 交 CD 于 点 F ，如图 2 ． 判断四边 形 DBA ′ F 的形 状 ， 并说 明 理
由 ；
② 乙：点 A ′ 恰 好 落 在 边 BC 上，如图 3 ．求 DE 的 长；
（ 3 ）如图 4 ， 连 接 DD ′ 交 BE 于 点 P ， 连 接 CP ． 当 点 E 在 线段 CD 上运动时， 线段 CP 是 否存 在 最 小 值 ？
若 存 在， 直 接 写出； 若 不存 在， 说 明 理 由．
2025 年山东省临沂市、枣庄市、聊城市、菏泽市、济宁市中考数学试卷
参考 答案 与试题 解析
一．选择题（共 10 小题）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
B
C
C ．
B
A
D
D
A
B
一、选择题：本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。每小题只有一个选项符合题目要求。
1 ．（ 3 分）如图，数轴上表示﹣ 2 的点是（ ）
A ． M
B ． N
C ． P
D ． Q
【解答】 解 ：数轴上表示﹣ 2 的点是 M ．
故 选： A ．
2 ．（ 3 分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【解答】 解 ： A 、 C 、 D 中的图形是轴对称图形， 不 是中心对称图形， 故 A 、 C 、 D 不 符合题意 ；
B 、图形既是轴对称图形又是中心对称图形， 故 B 符合题意．
故 选： B ．
3 ．（ 3 分）我国“深蓝 2 号”大型智能深海养殖网箱的主体是一个正六棱柱，其示意图的主视图是（
）
