2025 年内蒙古中考数学试卷

一、选择题（共 8 小题．每小题 3 分，共 24 分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）

1 ．（ 3 分）我国是历史上最早认识和使用负数的国家．若盈利 100 元记作 +100 元，则亏损 200 元应记作

（　　）

A ． +200 元

B ．﹣ 200 元

C ． +100 元

D ．﹣ 100 元

2 ．（ 3 分）下列汽车电子控制装置显示的图案中，是中心对称图形的为（　　）

A ．

B ．

C ．

D ．

3 ．（ 3 分）不等式组 {

x − 1 ≥ 0

x ＜ 3 ^{的解集在数轴上表示正确的是（　　）}

A ．

B ．

C ．

D ．

4 ． （ 3 分 ） 如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， △ OAB 的 顶 点 坐 标 分 别 是

O （ 0 ， 0 ）， A （ 2 ， 1 ）， B （ 1 ， 2 ），以原点 O 为位似中心，在第三象限画△ OA ′ B ′ 与△ OAB 位似，若

△ OA ′ B ′ 与△ OAB 的相似比为 2 ： 1 ．则点 A 的对应点 A ′ 的坐标为（　　）

A ．（﹣ 2 ，﹣ 1 ）

B ．（﹣ 4 ，﹣ 2 ）

C ．（﹣ 1 ，﹣ 2 ）

D ．（﹣ 2 ，﹣ 4 ）

5 ．（ 3 分）如图， ABCD 是一个矩形草坪．对角线 AC 、 BD 相交于点 O ， H 是 BC 边的中点，连接 OH ，

且 OH ＝ 20 m ， AD ＝ 30 m ，则该草坪的面积为（　　）

A ． 2400 m ²

B ． 1800 m ²

C ． 1200 m ²

D ． 600 m ²

6 ．（ 3 分）如图，直线 AB ∥ CD ，点 E ， F 分别在直线 AB ， CD 上，连接 EF ，以点 E 为圆心，适当长为半

径画弧．交射线 EA 于点 M ．交 EF 于点 N ．再分别以点 M ， N 为圆心．大于 ¹

2 ^{MN 的长为半径画弧（两}

弧半径相等），两弧在∠ AEF 的内部相交于点 H ，画射线 EH 交 CD 于点 G ，若∠ AEF ＝ 80° ，则∠ EGF

的度数为（　　）

A ． 100°

B ． 80°

C ． 50°

D ． 40°

7 ．（ 3 分）在闭合电路中，通过定值电阻的电流 I （单位： A ）是它两端的电压 U （单位： V ）的正比例函

数，其图象如图所示．当该电阻两端的电压为 15 V 时，通过它的电流为（　　）

A ． 12 A

B ． 8 A

C ． 6 A

D ． 4 A

8 ．（ 3 分）已知点 A （ m ， y 1 ）， B （ m +1 ， y 2 ）都在反比例函数 y ¿ − ³

x ^{的图象上，则下列结论一定正确的}

是（　　）

A ． y 1 ＞ y 2

B ． y 1 ＜ y 2

C ．当 m ＜ 0 时， y 1 ＜ y 2

D ．当 m ＜﹣ 1 时， y 1 ＜ y 2

二、填空题（共 4 小题．每小题 3 分，共 12 分）

9 ．（ 3 分）在单词 class （班级）中随机选择一个字母，则选中字母“ s ” 的概率是　 　 ．

10 ．（ 3 分）冰糖葫芦是我国传统小吃．若大串冰糖葫芦每根穿 5 个山楂，小串冰糖葫芦每根穿 3 个山楂，

则穿 m 根大串和 n 根小串冰糖葫芦需要的山楂总个数用代数式表示为　 　 ．

11 ．（ 3 分）如图，因地形原因，湖泊两端 A ， B 的距离不易测量，某科技小组需要用无人机进行测量，

他们将无人机上升并飞行至距湖面 90 m 的点 C 处，从 C 点测得 A 点的俯角为 60° ，测得 B 点的俯角为

30° （ A ， B ， C 三点在同一竖直平面内），则湖泊两端 A ， B 的距离为 m （结果

保留根号）．

12 ．（ 3 分）如图，在菱形 ABCD 中， AB ＝ 4 √ 5 ，对角线 BD 的长为 16 ， E 是 AD 的中点， F 是 BD 上一点，

连接 EF ．若 BF ＝ 3 ，则 EF 的长为　 　 ．

三、解答题（共 6 小题，共 64 分）

13 ．（ 10 分）计算：

（ 1 ） |

5|

﹣ + √ 4 + ¿ （﹣ 6 ） × ¹

3 ^；

（ 2 ） ^x

2 − 1

x

⋅

x

x

2 + 2 x + 1

．

14 ．（ 7 分）每年的 6 月 6 日是全国爱眼日．某校为了解八年级学生的视力健康状况，从该年级学生今年

的体检结果中随机 抽取 了 40 名 学生的视力数 据 ，将所得视力数 据 进行 整理后 分为 5 组，得 到 如下的 频

数分 布 表：

分组

A

B

C

D

E

1.0≤ x ＜ 4.2

4.2≤ x ＜ 4.5

4.5≤ x ＜ 4.8

4.8≤ x ＜ 5.1

5.1≤ x ≤5.3

人数（ 频 数）

2

8

14

12

4

请 根 据 所给 信息 ，解答下列 问 题：

（ 1 ） 这 40 名 学生视力的中位数 落 在 哪 个组内 ？

（ 2 ）该校八年级共有 500 名 学生．

① 根 据 如表数 据 ， 请估 计 这 500 名 八年级学生的视力在 4.8≤ x ≤5.3 范围 内的人数；

② 从 去 年同 期这 500 名 学生的体检结果中 可 知，视力在 4.8≤ x ≤5.3 范围 内的人数为 263 人．如果 你 是该

校的一 名 学生， 请说明这 500 名 学生今年和 去 年视力在 4.8≤ x ≤5.3 范围 内的人数 变化情 况，并为学校 提

一 条 保 护 学生视力的合 理化建议 ．

15 ．（ 10 分） 智能 机 器 人的 广泛 应用是 智慧农业 的 发展趋势之 一．某 品牌苹 果 采摘 机 器 人的机 械手能自

动 对 成熟 的 苹 果进行 采摘 ，一个机 器 人 可 以 搭载多 个机 械手 同时 工 作．在正 常工 作状 态 下，该机 器 人

的每一个机 械手 平 均 a 秒采摘 一个 成熟 的 苹 果，它的一个机 械手 用 800 秒采摘苹 果的个数比用 600 秒

采摘苹 果的个数 多 25 个．

（ 1 ）求 a 的值；

（ 2 ） 现 需要一定数量的 苹 果 发往外 地， 采摘工 作 由多 个机 器 人共同 完成 ．每个机 器 人 搭载 4 个相同的

机 械手 ， 那么 至 少 需要 多少 个 这样 的机 器 人同时 工 作 1 小时， 才能 使 采摘 的 苹 果个数不 少 于 10000 个 ？

16 ．（ 12 分）如图， AB 是 ⊙ O 的直径，半径 OC ⊥ AB ． 垂足 为 O ， OC ＝ 2 ， P 是 BA 延 长线上一点，连接

CP ，交 ⊙ O 于点 D ，连接 AD ，∠ OCP ＝ 60° ．过点 P 作 ⊙ O 的 切 线， 切 点为 E ．交 CO 的 延 长线于点

F ．

（ 1 ）求 ^{^}

CD 的长；

（ 2 ）求∠ DAB 的度数；

（ 3 ）求 cos ∠ OFP 的值．

17 ．（ 12 分） 问 题 背景 ：

综 合与 实践课 上， 老师让 同学们 设 计一个家电装置图案，某小组 设 计的 效 果图如图 1 所示．

外 形 参 数：

如图 2 ，装置 整 体图案为轴对称图形， 外 形 由 上 方 的 抛物 线 L 1 ，中 间 的矩形 ABCD 和下 方 的 抛物 线 L 2

组 成 ． 抛物 线 L 1 的 高 度为 8 cm ，矩形 ABCD 的边 AB ＝ 8 cm ， BC ＝ 6 cm ， 抛物 线 L 2 的 高 度为 4 cm ．在装

置内部 安 装矩形电子显示 屏 EFGH ，点 E ， F 在 抛物 线 L 2 上，点 H ， G 在 抛物 线 L 1 上．

问 题解 决 ：

如图 3 ，该小组以矩形 ABCD 的顶点 A 为原点，以 AB 边所在的直线为 x 轴，以 AD 边所在的直线为 y

轴， 建立 平面直角坐标系． 请 结合 外 形 参 数， 完成 以下 任务 ：

（ 1 ）直接 写 出 B ， C ， D 三点的坐标；

（ 2 ）直接 写 出 抛物 线 L 1 和 L 2 的顶点坐标，并分别求出 抛物 线 L 1 和 L 2 的函数表 达 式；

（ 3 ）为 满足 矩形电子显示 屏 EFGH 的空 间 要求，需要 EH 边的长为 15 cm ，求 此 时 EF 边的长．

18 ．（ 13 分）如图， ABCD 是一个平行四边形 纸片 ， BD 是一 条 对角线， BD ＝ BC ＝ 5 ， CD ＝ 6 ．

（ 1 ）如图 1 ，将平行四边形 纸片 ABCD 沿 BD 折叠 ，点 A 的对应点 落 在点 P 处， PB 交 CD 于点 M ．

① 试 猜想 PM 与 CM 的数量 关 系，并 说明理由 ；

② 求△ BDM 的面积；

（ 2 ）如图 2 ，点 E ， F 分别在平行四边形 纸片 ABCD 的 AB ， AD 边上，连接 EF ，且 EF ∥ BD ，将平行

四边形 纸片 ABCD 沿 EF 折叠 ，使点 A 的对应点 G 落 在 CD 边上，求 DG 的长．

2025 年内蒙古中考数学试卷

参 考答案与试题解 析

一．选择题（共 8 小题）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

B ．

B

C

B

C

D

A

D

一、选择题（共 8 小题．每小题 3 分，共 24 分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）

1 ．（ 3 分）我国是历史上最早认识和使用负数的国家．若盈利 100 元记作 +100 元，则亏损 200 元应记作

（　　）

A ． +200 元

B ．﹣ 200 元

C ． +100 元

D ．﹣ 100 元

【 分 析】 在一对 具 有相反 意义 的量中， 先规 定其中一个为正，则 另 一个 就 用负表示．

【 解答 】 解：“正 ” 和“负 ” 相对，所以，若盈利 100 元记作 +100 元，则亏损 200 元应记作﹣ 200 元．

故 选： B ．

【 点 评】 此 题 主 要考 查 了正负数的 意义 ，解题 关键 是 理 解“正 ” 和“负 ” 的相对 性 ， 明 确 什么 是一对

具 有相反 意义 的量．

2 ．（ 3 分）下列汽车电子控制装置显示的图案中，是中心对称图形的为（　　）

A ．

B ．

C ．

D ．

【 分 析】 根 据 中心对称图形的定 义 ：“ 绕 某一点 旋转 180° ， 旋转后 的图形 能 与原图形 重 合， 那么这 个

图形是中心对称图形， ” 进行 判断即可 ．

【 解答 】 解：是中心对称图形的为选项 B 中的图案．

故 选： B ．

【 点 评】 本 题考 查 中心对称图形的定 义 ， 熟练掌握 该知识点是 关键 ．

3 ．（ 3 分）不等式组 {

x − 1 ≥ 0

x ＜ 3 ^{的解集在数轴上表示正确的是（　　）}

A ．

B ．

C ．

D ．

【 分 析】 求出第一个不等式的解集，根 据口诀 ：同大 取 大、同小 取 小、大小小大中 间找 、大大小小无

解了确定不等式组的解集， 继而 结合数轴 可 得答案．

【 解答 】 解： 由 x

﹣ 1≥0

得： x ≥1 ，

又 x ＜ 3 ，

所以不等式组的解集为 1≤ x ＜ 3 ，

故 选： C ．

【 点 评】 本 题考 查 的是解一元一 次 不等式组，正确求出每一个不等式解集是 基础 ， 熟 知“同大 取 大；

同小 取 小；大小小大中 间找 ；大大小小 找 不 到” 的原则是解答 此 题的 关键 ．

4 ． （ 3 分 ） 如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， △ OAB 的 顶 点 坐 标 分 别 是

O （ 0 ， 0 ）， A （ 2 ， 1 ）， B （ 1 ， 2 ），以原点 O 为位似中心，在第三象限画△ OA ′ B ′ 与△ OAB 位似，若

△ OA ′ B ′ 与△ OAB 的相似比为 2 ： 1 ．则点 A 的对应点 A ′ 的坐标为（　　）

A ．（﹣ 2 ，﹣ 1 ）

B ．（﹣ 4 ，﹣ 2 ）

C ．（﹣ 1 ，﹣ 2 ）

D ．（﹣ 2 ，﹣ 4 ）

【 分 析】 根 据 位似的 性质可 得答案．

【 解答 】 解： ∵ 以原点 O 为位似中心，在第三象限画△ OA ′ B ′ 与△ OAB 位似，△ OA ′ B ′ 与△ OAB 的相似

比为 2 ： 1 ，

∴ 点 A （ 2 ， 1 ）的对应点 A ′ 的坐标为（﹣ 2×2 ，﹣ 2×1 ）， 即 （﹣ 4 ，﹣ 2 ）．

故 选： B ．