2025 年吉林省中考数学试卷
一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意．每小题 3 分，共 18 分）
1 ．如图，点 A 表示的数是 1 ．若将点 A 向左移动 3 个单位长度得到点 A ′ ，则点 A ′ 表示的数为（ ）
A ．﹣ 3
B ．﹣ 2
C ． 2
D ． 4
2 ．一个正方体的展开图如图所示，把它折叠成正方体后，有“的”字一面的相对面上的字为（ ）
A ．我
B ．中
C ．国
D ．梦
3 ．计算（ 2 a 2 ） 3 的结果为（ ）
A ． 2 a 5
B ． 2 a 6
C ． 8 a 5
D ． 8 a 6
4 ．不等式 x
3
﹣ ＞ 2 的解集为（ ）
A ． x ＞ 5
B ． x ＜ 5
C ． x ＞﹣ 1
D ． x ＜﹣ 1
5 ．如图，风力发电机的叶片在风的吹动下转动，使风能转化为电能．图中的三个叶片组成的图形绕着它
的中心旋转角 α 后，能够与它本身重合，则角 α 的大小可以为（ ）
A ． 90°
B ． 120°
C ． 150°
D ． 180°
6 ．如图，在△ ABC 中，∠ B ＝ 45° ，∠ A ＞∠ ACB ＞∠ B ，尺规作图操作如下：（ 1 ）以点 B 为圆心，适当
长为半径画弧，分别交边 BA ， BC 于点 M ， N ；（ 2 ）以点 C 为圆心， BN 长为半径画弧，交边 CB 于点
N ′ ；再以点 N ′ 为圆心， MN 长为半径画弧，与前一条以点 C 为圆心的弧相交于三角形内部的点 M ′ ；
（ 3 ）过点 M ′ 画射线 CM ′ 交边 AB 于点 D ．下列结论错误的为（ ）
A ．∠ B ＝∠ DCB
B ．∠ BDC ＝ 90°
C ． DB ＝ DC
D ． AD + DC ＝ BC
二、填空题（每小题 3 分，共 15 分）
7 ．因式分解： a 2 ﹣ ab ＝ ．
8 ．计算： √ 3 + √ 12 = ¿ ．
9 ．《孙子算经》中记载了这样一道题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问车几何？其译文
为：有若干人乘车，若每 3 人同乘一车，最终剩余 2 辆空车；若每 2 人同乘一车，最终剩下 9 人因无
车可乘而步行．问有多少辆车？为解决此问题，设共有 x 辆车，可列方程为 ．
10 ．如图，正五边形 ABCDE 的边 AB ， DC 的延长线交于点 F ，则∠ F 的大小为 度．
11 ．如图，在平面直角坐标系中，过原点 O 的直线与反比例函数 y ¿ √ 3
x 的图象交于 A ， B 两点，分别以点
A ，点 B 为圆心，画半径为 1 的 ⊙ A 和 ⊙ B ．当 ⊙ A ， ⊙ B 分别与 x 轴相切时，切点分别为点 C 和点 D ，
连接 AC ， BD ，则阴影部分图形的面积和为 ．（结果保留 π ）
三、解答题（本题共 11 小题，共 87 分）
12 ．（ 6 分）先化简，再求值：
a
a − 1 ⋅ a
2 − 1
a
，其中 a ＝ 2025 ．
13 ．（ 6 分）在“健康中国 2030” 与“体重管理年”的行动引领下，某校田径社团开展了“ 2025 健康长
跑”活动．由于参加的人数较多，场地空间有限，活动将分 A ， B ， C 三组进行，每人只能被随机分配
到其中一组，分组工作由计算机软件完成．请 用 画 树状 图 或 列表的方 法 ，求参与 者 小 刚 和小 利 被分配
到同一组的 概率 ．
14 ．（ 6 分）吉林省长 白山盛产 人参、为 促 进我省 特色 经 济 的发展，某 公司现 将人参加工成 甲 、 乙 两 种盒
装 的 商品出售 ， 甲 、 乙 两 种商品 的 售价 分别为每 盒 25 元 和 20 元 ．某 游客购买 了 甲 、 乙 两 种商品 共 10
盒 ， 花费 230 元 ．求 该游客购买甲种商品 和 乙种商品 的 盒 数．
15 ．（ 7 分）如图，在 矩 形 ABCD 中，点 E ， F 在边 BC 上，连接 AE ， DF ，∠ BAE ＝∠ CDF ．
（ 1 ）求 证 ：△ ABE ≌△ DCF ．
（ 2 ）当 AB ＝ 12 ， DF ＝ 13 时，求 BE 的长．
16 ．（ 7 分）图 ① 、图 ② 均 是 6×6 的正方形 网格 ，每个小正方形的 顶 点 称 为 格 点．△ ABC 内接于 ⊙ O ，
且 点 A ， B ， C ， O 均 在 格 点上．只 用 无 刻 度的直尺，在 给定 的 网格 中 按要 求画图．
（ 1 ）在图 ① 中 找 一个 格 点 D （点 D 不与点 C 重合）；画 出 ∠ ADB ，使∠ ADB ＝∠ ACB ．
（ 2 ）在图 ② 中 找 一个 格 点 E ，画 出 ∠ AEC ，使∠ AEC + ∠ ABC ＝ 180° ．
17 ．（ 7 分） 端午节 是我国的 传统节日 ．某 食品公司 为 迎 接 端午节 的到 来 ，组 织 了“ 浓情端午 ， 粽 叶 飘
香 ”的 包粽 子比 赛 ，规 定 ： 粽 子 质量 为（ 150±9 ） 克 时，其 质量 等 级 为合 格 ； 粽 子 质量 为（ 150±3 ） 克
时，其 质量 等 级 为 优秀 ．共有 甲 、 乙 两个小组参加比 赛 ， 他们 在相同时间内分别 包 了 220 个和 200 个
粽 子， 质检员 小 李从甲 、 乙 两个参 赛 小组所 包粽 子中各随机 抽检 10 个，分别对它 们 的 质量整 理和分 析 ，
得到如下 信息 ：
被 抽检粽 子的 质量 （单位： 克 ）分 布
甲 组
144
146
147
148
150
152
152
152
154
155
乙 组
146
147
147
150
150
151
153
154
155
被 抽检粽 子 质量 的平 均 数和 众 数（单位： 克 ） 统 计
参 赛 小组
平 均 数
众 数
甲 组
150
152
乙 组
150
147
根据 以上 信息 ， 回 答下列问题：
（ 1 ）在被 抽检粽 子的 质量 分 布 表中，有一个数 据缺失 ， 通 过计算 说明缺失 数 据 对 应 的 粽 子的 质量 等 级 是
否 为 优秀 ？
（ 2 ）此 次 比 赛 规 定 ：相同时间内所 包粽 子中 质量 等 级 为 优秀 的个数较多的小组 获 得 奖励 ． 估 计 甲 、 乙 两
个参 赛 小组 哪 组能 获 得 奖励 ， 并说明 理由．
18 ．（ 8 分） 综 合与 实践 ： 确定建筑物 的 3 D 打印模型 的 高 度项 目提出 ：如图是某 城市 规 划 展 览馆 ， 树 人
中学的 3 D 打印 社团为展示 城市 文化， 准备制 作 该城市 规 划 展 览馆 的 3 D 打印模型 ， 需要测量并 计算展
览馆高 度，为 制 作 3 D 打印模型提供 数 据 ．
项 目报告 表 时间： 2025 年 5 月 29 日
项 目 分 析
活动 目 标
测量该城市 规 划 展 览馆 的 实
际高 度 并换 算其 3 D 打印模
型 的 高 度
测量 工 具
测 角 仪 、 皮 尺
灰 实施
任务 一
测量 数 据
以下
是 测 得的相 关 数 据 ， 并 画 出
了如图所示的 测量草 图．
1 ． 测出测 角 仪 的 高 CD ＝
1.4 m ．
2 ． 利用测 角 仪测出 展 览馆
顶端 A 的 仰 角∠ ACE ＝ 61° ．
3 ． 测出测 角 仪 CD 底端 D
处 到展 览馆 AB 底端 B 处之
间的 距离 DB ＝ 42 m ．
任务 二
计算 实际高 度
根据 上 述测 得的数 据 ，计算
该城市 规 划 展 览馆 AB 的 高
度．（结果 精 项到 1 m ）
（
参
考
数
据
：
sin61°≈0.87
5 ， cos61°≈0.485 ， tan61°≈1.
804 ）
任务 三
换 算 模型高 度
将 该城市 规 划 展 览馆 AB 的
高 度 按 1 ： 400 等比例 缩 小，
得到其 3 D 打即模型 的 高 度
约 为 cm ．（结果
精确 到 1 cm ）
项 目 结果
为社团 制 作 城市 规 划 展 览馆 的 3 D 打印模型提供 数 据
请结合上表中的 测量草 图和相 关 数 据 ， 帮助该 社团完成 任务 二和 任务 三．
19 ．（ 8 分）如图，在△ ABC 中， AB ＝ 3 √ 2 ， BC ＝ 5 ，∠ BAC ＝ 45° ．动点 P 从 点 A 出 发， 沿 边 AC 以每 秒
1 个单位长度的 速 度向终点 C 匀速运 动．当点 P 出 发后，以 AP 为边作正方形 APDE ，使点 D 和点 B 始
终在边 AC 同 侧 ．设点 P 的 运 动时间为 x （ s ）（ x ＞ 0 ），正方形 APDE 与△ ABC 重叠部分图形的面积
为 y （平方单位）．
（ 1 ） AC 的长为 ．
（ 2 ）求 y 关 于 x 的函数解 析 式， 并写出 可 变量 x 的 取 值 范围 ．
（ 3 ）当正方形 APDE 的对 称 中心与点 B 重合时，直接 写出 x 的值．
20 ．（ 10 分） 【知识链 接 】
实验目 的： 探究浮 力的大小与 哪些 因 素 有 关
实验 过程：如图 ① ，在两个完 全 相同的 溢水杯 中，分别 盛满甲 、 乙 两 种 不同 密 度的 液 体，将完 全 相同的
两个 质 地 均匀 的圆 柱 体小 铝块 分别 悬挂 在 弹簧测 力计 A 、 B 的下方， 从离桌 面 20 cm 的 高 度，分别 缓慢浸
入 到 甲 、 乙 两 种液 体中， 通 过 观察弹簧测 力计示数的 变 化， 探究浮 力大小的 变 化．（ 溢水杯 的 杯底厚 度
忽略 不计）
实验 结论： 物 体在 液 体中所 受浮 力的大小， 跟 它 浸 在 液 体中的体积有 关 、 跟液 体的 密 度有 关 ． 物 体 浸 在
液 体中的体积 越 大、 液 体的 密 度 越 大， 浮 力 就越 大．
总 结 公 式：当小 铝块 位于 液 面上方时， F 拉 力 ＝ G 重力 ；当小 铝块浸入液 面后， F 拉 力 ＝ G 重力 ﹣ F 浮 力 ．
【建立模型】 在 实验探究 的过程中， 实验 小组发 现 ： 弹簧测 力计 A ， B 各 自 的示数 F 拉 力 （ N ）与小 铝块 各
自 下 降 的 高 度 x （ cm ） 之 间的 关 系如图 ② 所示．
【 解决问题 】
（ 1 ）当小 铝块 下 降 10 cm 时，直接 写出弹簧测 力计 A 和 弹簧测 力计 B 的示数．
（ 2 ）当 6≤ x ≤10 时，求 弹簧测 力计 A 的示数 F 拉 力 关 于 x 的函数解 析 式．
（ 3 ）当 弹簧测 力计 A 悬挂 的小 铝块 下 降 8 cm 时， 甲液 体中的小 铝块受 到的 浮 力为 m （ N ），若使 乙液 体
中的小 铝块 所 受 的 浮 力 也 为 m （ N ），则 乙液 体中小 铝块浸入 的 深 度为 n （ cm ），直接 写出 m ， n 的值．
21 ．（ 10 分） 【 问题 背景】 在学 习 了平行四边形后，某数学 兴趣 小组 研究 了有一个内角为 60° 的平行四边
形的折叠问题．其 探究 过程如下：
【探究 发 现】 如图 ① ，在 ▱ ABCD 中，∠ A ＝ 60° ， AB ＞ AD ， E 为边 AD 的中点，点 F 在边 DC 上， 且 DF
＝ DE ，连接 EF ，将△ DEF 沿 EF 翻 折得到△ GEF ，点 D 的对 称 点为点 G ．小组成 员 发 现 四边形 DEGF 是
一个 特殊 的四边形，请 判断该 四边形的形 状 ，不 需要说明 理由．
【探究证明】取 图 ① 中的边 BC 的中点 M ，点 N 在边 AB 上， 且 BN ＝ BM ，连接 MN ，将△ BMN 沿 MN 翻
折得到△ HMN ，点 B 的对 称 点为点 H ，连接 FH ， GN ，如图 ② ，求 证 ：四边形 GFHN 是平行四边形．
【探究提升】 在图 ② 中，四边形 GFHN 能 否 成为轴对 称 图形．如果能，直接 写出 AD
AB 的值；如果不能，
说明 理由．
22 ．（ 12 分）如图，在平面直角坐标系中， O 为坐标原点， 抛物 线 y ＝ x 2 + bx
1
﹣ 经过点（ 2 ，﹣ 1 ）．点 P
在此 抛物 线上．其 横 坐标为 m ；连接 PO 并 延长 至 点 Q ，使 OQ ＝ 2 PO ．当点 P 不在坐标轴上时，过点
P 作 x 轴的 垂 线，过点 Q 作 y 轴的 垂 线，这两条 垂 线交于点 M ．
（ 1 ）求此 抛物 线对 应 的函数解 析 式．
（ 2 ）△ PQM 被 y 轴分成的两部分图形的面积比是 否 保 持 不 变 ，如果不 变 ，直接 写出 这个面积比；如果 变
化， 说明 理由．
（ 3 ）当△ PQM 的边 MQ 经过此 抛物 线的最 低 点时，求点 Q 的坐标．
（ 4 ）当此 抛物 线在△ PQM 内部的点的 纵 坐标 y 随 x 的 增 大而 减 小时，直接 写出 m 的 取 值 范围 ．
2025 年吉林省中考数学试卷
参考答 案 与试题解 析
一．选择题（共 6 小题）
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
B
C
D
A
B
D
一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意．每小题 3 分，共 18 分）
1 ．如图，点 A 表示的数是 1 ．若将点 A 向左移动 3 个单位长度得到点 A ′ ，则点 A ′ 表示的数为（ ）
A ．﹣ 3
B ．﹣ 2
C ． 2
D ． 4
【 分 析】 根据 左 减右 加列式进行计算 即 可求解．
【 解答 】 解：点 A ′ 表示的数为 1
3
﹣ ＝﹣ 2 ．
故 选： B ．
【 点 评】 此题考 查 了数轴，本题考 查 了数轴， 熟 记数轴上的数的移动，左 减右 加是解题的 关键 ．
2 ．一个正方体的展开图如图所示，把它折叠成正方体后，有“的”字一面的相对面上的字为（ ）
A ．我
B ．中
C ．国
D ．梦
【 分 析】 根据 正方体表面展开图的 特征 进行 判断即 可．
【 解答 】 解： 根据 正方体表面展开图的“相间、 Z 端 是对面”可 知 ，“国”与“的”是对面，
故 选： C ．
【 点 评】 本题考 查 正方体相对两个面上的文字， 掌握 正方体表面展开图的 特征 是正 确 解答的 关键 ．
3 ．计算（ 2 a 2 ） 3 的结果为（ ）
A ． 2 a 5
B ． 2 a 6
C ． 8 a 5
D ． 8 a 6
【 分 析】 根据幂 的乘方与积的乘方的计算方 法 进行计算 即 可．
【 解答 】 解：（ 2 a 2 ） 3 ＝ 2 3 • （ a 2 ） 3 ＝ 8 a 6 ．
故 选： D ．
【 点 评】 本题考 查幂 的乘方与积的乘方， 掌握幂 的乘方与积的乘方的计算方 法 是正 确 解答的 关键 ．
4 ．不等式 x
3
﹣ ＞ 2 的解集为（ ）
A ． x ＞ 5
B ． x ＜ 5
C ． x ＞﹣ 1
D ． x ＜﹣ 1
【 分 析】 移项、合 并 同 类 项 即 可得 出 答 案 ．
【 解答 】 解： ∵ x
3
﹣ ＞ 2 ，
∴ 移项得： x ＞ 2+3 ，
合 并 同 类 项得： x ＞ 5 ，
故 选： A ．
【 点 评】 本题 主要 考 查 解一 元 一 次 不等式的 基 本能力， 严格遵循 解不等式的 基 本步 骤 是 关键 ， 尤 其 需要
注 意不等式两边 都 乘以 或 除 以同一个 负 数不等 号 方向 要 改 变 ．
5 ．如图，风力发电机的叶片在风的吹动下转动，使风能转化为电能．图中的三个叶片组成的图形绕着它
的中心旋转角 α 后，能够与它本身重合，则角 α 的大小可以为（ ）
A ． 90°
B ． 120°
C ． 150°
D ． 180°
【 分 析】 先求 出 正三角形的中心角，再 根据 旋转 变换 的 性 质 解答 即 可．
【 解答 】 解： 360°÷3 ＝ 120° ，
图中的三个叶片组成的图形绕着它的中心旋转角 α 后，能够与它本身重合，则角 α 的大小可以为 120° ．
故 选： B ．
【 点 评】 本题考 查 了旋转对 称 图形、正多边形的 性 质 ， 掌握 正三角形的中心角是 关键 ．
6 ．如图，在△ ABC 中，∠ B ＝ 45° ，∠ A ＞∠ ACB ＞∠ B ，尺规作图操作如下：（ 1 ）以点 B 为圆心，适当
长为半径画弧，分别交边 BA ， BC 于点 M ， N ；（ 2 ）以点 C 为圆心， BN 长为半径画弧，交边 CB 于点
N ′ ；再以点 N ′ 为圆心， MN 长为半径画弧，与前一条以点 C 为圆心的弧相交于三角形内部的点 M ′ ；
（ 3 ）过点 M ′ 画射线 CM ′ 交边 AB 于点 D ．下列结论错误的为（ ）
A ．∠ B ＝∠ DCB
B ．∠ BDC ＝ 90°
C ． DB ＝ DC
D ． AD + DC ＝ BC
【 分 析】 判断出 选项 A ， B ， C 正 确 可得结论．
【 解答 】 解：由作图可 知 ∠ B ＝∠ DCB ＝ 45° ，
∴ DB ＝ DC ，∠ BDC ＝ 90° ，
故 选项 A ， B ， C 正 确 ．
故 选： D ．
【 点 评】 本题考 查 作图﹣ 基 本作图，等 腰 三角形的 判定 和 性 质 ，等 腰 直角三角形等 知识 ，解题的 关键 是
理解题意， 灵 活 运用 所学 知识 解决问题．
二、填空题（每小题 3 分，共 15 分）
7 ．因式分解： a 2 ﹣ ab ＝
a （
a ﹣
b ）
．
【 分 析】 直接 提公 因式 a 即 可．
【 解答 】 解：原式＝ a （ a ﹣ b ），
故 答 案 为： a （ a ﹣ b ）．
【 点 评】 本题考 查提公 因式 法 分解因式， 掌握提公 因式 法 是正 确 解答的 关键 ．
8 ．计算： √ 3 + √ 12 = ¿ 3 √ 3 ．
【 分 析】 先化简二 次根 式，再合 并 同 类 二 次根 式 即 可．
【 解答 】 解： √ 3 + √ 12 = √ 3 + 2 √ 3 = 3 √ 3 ，
故 答 案 为： 3 √ 3 ．
【 点 评】 本题考 查 了二 次根 式的加 减法 ， 熟 练 掌握运 算 法 则是解题的 关键 ．
9 ．《孙子算经》中记载了这样一道题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问车几何？其译文
为：有若干人乘车，若每 3 人同乘一车，最终剩余 2 辆空车；若每 2 人同乘一车，最终剩下 9 人因无
车可乘而步行．问有多少辆车？为解决此问题，设共有 x 辆车，可列方程为
3 （
x
﹣ 2
）＝
2 x +9
．
【 分 析】 根据 人数不 变 ， 即 可得 出关 于 x 的一 元 一 次 方程，此题得解．
【 解答 】 解： 依 题意，得： 3 （ x
2
﹣ ）＝ 2 x +9 ．
