2025 年黑龙江省绥化市中考数学试卷
一、单项选择题（本题共 12 个小题，每小题 3 分，共 36 分）请在答题卡上用 2B 铅笔将你的选项所对应
的方框涂黑
1 ．（ 3 分）下列数学符号是轴对称图形的是（ ）
A ．≠
B ．≌
C ．≥
D ． ±
2 ．（ 3 分）据统计， 2025 年端午期间，我国民航客运累计发送旅客 560.1 万人次，把 560.1 万用科学记数
法表示为（ ）
A ． 56.01×10 4
B ． 5.601×10 5
C ． 5.601×10 6
D ． 0.5601×10 7
3 ．（ 3 分）某几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（ ）
A ．圆柱
B ．长方体
C ．圆锥
D ．四棱柱
4 ．（ 3 分）如图， AD 是∠ EAC 的平分线， AD ∥ BC ，∠ B ＝ 38° ，则∠ C 的度数是（ ）
A ． 16°
B ． 30°
C ． 38°
D ． 76°
5 ．（ 3 分）下列计算中，结果正确的是（ ）
A ． a 3 • a 4 ＝ a 12
B ．（﹣ 2 m 3 ） 2 ＝ 4 m 6
C ． √ (− 3 )
2 =− ¿ 3
D ．（ x +3 ）（ x
3
﹣ ）＝ x 2
3
﹣
6 ．（ 3 分）两个相似三角形的最长边分别是 10 cm 和 6 cm ，并且它们的周长之和为 48 cm ，那么较小三角
形的周长是（ ）
A ． 14 cm
B ． 18 cm
C ． 30 cm
D ． 34 cm
7 ．（ 3 分）小新同学参加某次诗朗诵比赛，七位评委的打分是： 7.0 、 7.0 ， 8.8 ， 9.0 ， 9.3 ， 9.4 ， 10 ．工作
人员根据评委所打的分数对平均数、方差、众数、中位数进行了统计．如果去掉一个最高分和一个最
低分，那么下列统计量中一定不发生变化的是（ ）
A ．平均数
B ．方差
C ．众数
D ．中位数
8 ．（ 3 分）一个矩形的一条对角线长为 10 ，两条对角线的一个交角为 60° ．则这个矩形的面积是（
）
A ． 25
B ． 25 √ 3
C ． 25 √ 5
D ． 50 √ 3
9 ．（ 3 分）在 ⊙ O 中，如果 75° 的圆心角所对的弧长是 2.5 π cm ，那么 ⊙ O 的半径是（ ）
A ． 6 cm
B ． 8 cm
C ． 10 cm
D ． 12 cm
10 ．（ 3 分）用 A ， B 两种货车运输化工原料， A 货车比 B 货车每小时多运输 15 吨， A 货车运输 450 吨所
用时间与 B 货车运输 300 吨所用时间相等．若设 B 货车每小时运输化工原料 x 吨，则可列方程为（
）
A ． 300
15 + x = 450
x
B ． 300
15 − x = 450
x
C ． 450
15 + x = 300
x
D ． 450
15 − x = 300
x
11 ．（ 3 分）如图，反比例函数 y ¿ k
x 经过 A 、 C 两点，过点 A 作 AB ⊥ y 轴于点 B ，过点 C 作 CD ⊥ x 轴于点
D ，连接 OA 、 OC 、 AC ．若 S △ ACO ＝ 4 ， CD ： OB ＝ 1 ： 3 ，则 k 的值是（ ）
A ．﹣ 12
B ．﹣ 9
C ．﹣ 6
D ．﹣ 3
12 ．（ 3 分）如图，二次函数 y ＝ ax 2 + bx + c 与 x 轴交于点 A （ 3 ， 0 ）、 B （﹣ 1 ， 0 ），与 y 轴交于点
C （ 0 ， m ），其中﹣ 4 ＜ m ＜﹣ 3 ．则下列结论：
① a ﹣ c ＞ 0 ；
② 方程 ax 2 + bx + c
5
﹣ ＝ 0 没有实数根；
③ − 8
3 ＜ b ＜﹣ 2 ；
④ a + b + c
b − a ＞ 0 ．
其中错误的个数有（ ）
A ． 1 个
B ． 2 个
C ． 3 个
D ． 4 个
二、填空题（本题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分）请在答题卡上把你的答案写在所对应的题号后的
指定区域内
13 ．（ 3 分）计算：（﹣ 1 ） 2025 + （ − 1
2025 ） 0 ＝ ．
14 ．（ 3 分）若式子
1
√ x + 1 有意义，则 x 的取值范围是 ．
15 ．（ 3 分）分解因式： 2 mx 2
4
﹣ mxy +2 my 2 ＝ ．
16 ．（ 3 分）已知 m ， n 是关于 x 的一元二次方程 x 2
﹣ 2025
x +1 ＝ 0 的两个根，则（ m +1 ）（ n +1 ）＝
．
17 ．（ 3 分）在平面直角坐标系中，把△ ABC 以原点 O 为位似中心放大，得到△ A ′ B ′ C ′ ．若点 A 和它的对
应 点 A ′ 的 坐 标 分 别 为 （ 3 ， 7 ） ， （ ﹣ 9 ， ﹣ 21 ） ， 则 △ ABC 与 △ A ′ B ′ C ′ 的 相 似 比 为
．
18 ．（ 3 分）计算： 1 − x − y
x + 2 y ÷
x
2 − y
2
x
2 + 4 xy + 4 y
2 = ¿ ．
19 ．（ 3 分）如图，某水库堤坝横断面迎水坡 AB 的斜面坡度 i ＝ 1 ： √ 2 （斜面坡度是指坡面的铅直高度
BC 与水平宽度 AC 的比），堤坝高 BC ＝ 15 m ，则迎水坡面 AB 的长度是 ．
20 ．（ 3 分）如图，在菱形 ABCD 中， AB ＝ 4 ，对角线 BD ＝ 4 √ 3 ，点 P 是边 CD 的中点，点 M 是对角线
BD 上的一个动点，连接 PM 、 CM ．则 PM + CM 的最小值是 ．
21 ．（ 3 分） 观察 如图，图（ 1 ）有 2 个三角形，记作 a 1 ＝ 2 ；图（ 2 ）有 3 个三角形，记作 a 2 ＝ 3 ；图
（ 3 ）有 6 个三角形，记作 a 3 ＝ 6 ；图（ 4 ）有 11 个三角形，记作 a 4 ＝ 11 ； 按此 方法 继续 下去，则 a n ＝
（结果用 含 n 的 代 数式表示）．
22 ．（ 3 分）在边长为 7 的等边三角形 ABC 中，点 D 在 AB 上， BD ＝ 2 ．点 M 是直线 BC 上的一个动点，
连接 MD ，以 MD 为边在 MD 的 左侧 作等边三角形 MND ，连接 BN ． 当 △ BND 为直角三角形时，则 CM
的长是 ．
三、解答题（本题共 6 个小题，共 54 分）
23 ．（ 7 分） 尺规 作图（ 温馨提 示：以下作图均不写作法， 但需保留 作图 痕迹 ）
【初步尝 试 】
如图（ 1 ），用 无刻 度的直 尺 和圆 规 作一条经过圆心的直线 OP ， 使扇 形 OMN 的面积 被 直线 OP 平分．
【拓展探究】
如图（ 2 ），若 扇 形 OMN 的圆心角为 30° ，请你用 无刻 度的直 尺 和圆 规 作一条以点 O 为圆心的弧 CD ，
交 OM 于点 C ，交 ON 于点 D ， 使扇 形 OCD 的面积与 扇 形 OMN 的面积比为 1 ： 4 ．
24 ．（ 7 分） 2025 年 1 月 ， 哈尔滨亚冬会举办前 ， 亚冬会组 委 会 为 使 参与 服务 的 志愿者队伍整齐 一 致 ， 随
机抽 取 部 分 志愿者 ，对其 身 高 情况 进行了 调查 ，将 身 高 x （单位： cm ）数据分为 A 、 B 、 C 、 D 、 E 五组 ，
并 制成 了如下不 完整 的统计图表．
组 别
身 高分 组
人数
A
155≤ x ＜ 160
5
B
160≤ x ＜ 165
4
C
165≤ x ＜ 170
m
D
170≤ x ＜ 175
12
E
175≤ x ＜ 180
9
根据以上 信息回 答：
（ 1 ）这次 抽查 的 志愿者 共有 人， 扇 形统计图中 A 的圆心角度数是 ，请 补全 条
形统计图．
（ 2 ）若 B 组 的 4 人中， 男女志愿者各 有 2 人， 从 中 随机抽 取 2 人 担任组 长，请用列表法 或画材状 图法，
求出刚好抽 中两 名女志愿者担任组 长的 概率 ．
25 ．（ 12 分） 自主研 发和 创 新 让 我国的科 技快速 发 展 ， “ 中国 智造” 正 引领世界潮流 ．某科 技公司 计 划
投入 一笔 资金 用 来购买 A 、 B 两种 型 号的 芯片 ．已知 购买 1 颗 A 型芯片 和 2 颗 B 型芯片 共 需要 750 元，
购买 2 颗 A 型芯片 和 3 颗 B 型芯片 共 需要 1300 元．
（ 1 ） 求购买 1 颗 A 型芯片 和 1 颗 B 型芯片各需要 多 少 元．
（ 2 ）若 该公司 计 划购买 A 、 B 两种 型 号的 芯片 共 8000 颗 ，其中 购买 A 型芯片 的数量不 少 于 B 型芯片 数
量的 3 倍 ． 当购买 A 型芯片 多 少颗 时，所 需资金 最 少 ，最 少资金 是多 少 元．
（ 3 ） 该公司 用 甲 、 乙 两 辆芯片 运输车， 先 后 从 M 地出 发， 沿着 同一条 公路匀速 行 驶 ， 前往目 的 地
N ，两车到 达 N 地 后均 停止 行 驶 ．如图， y 甲 （ km ）、 y 乙 （ km ）分别是 甲 、 乙 两车 离 M 地 的 距离 与 甲
车行 驶 的时间 x （ h ）之间的函数关系．请根据图 象信息 解答下列 问 题：
① 甲 车的 速 度是 km / h ．
② 当甲 、 乙 两车相 距 30 km 时，直接写 出 x 的值 ．
26 ．（ 7 分）如图，∠ APO ＝∠ BPO ， PA 与 ⊙ O 相 切 于点 M ，连接 OM ， OP 与 ⊙ O 相交于点 C ，过点 C
作 CD ⊥ OM ， 垂足 为 E ，交 ⊙ O 于点 D ，连接 PD 交 OM 于点 F ．
（ 1 ） 求证 ： PB 是 ⊙ O 的 切 线．
（ 2 ） 当 PC ＝ 6 ， PM ¿ 5
4 CD 时， 求 线 段 MF 的长．
27 ．（ 10 分） 综合 与实 践
如图．在边长为 8 的正方形 ABCD 中，作 射 线 BD ，点 E 是 射 线 BD 上的一个动点，连接 AE ，以 AE 为
边作正方形 AEFG ，连接 CG 交 射 线 BD 于点 M ，连接 DG ．（ 提 示： 依 题意 补全 图形，并解答）
【 用数学的 眼光观察】
（ 1 ）请 判 断 BD 与 DG 的位 置 关系，并 利 用图（ 1 ） 说明 你的 理由 ．
【 用数学的 思维思 考 】
（ 2 ）若 DG ＝ a ，请你用 含 a 的 代 数式直接写 出 ∠ CMB 的正 切 值 ．
【 用数学的 语言 表 达】
（ 3 ）设 DE ＝ x ，正方形 AEFG 的面积为 S ，请 求出 S 与 x 的函数解 析 式．（不 要求 写 出自 变量 x 的取
值范围）
28 ．（ 11 分） 综合 与 探究
如图， 抛物 线 y ＝ ax 2 + bx
5
﹣ 交 x 轴于 A 、 B 两点，交 y 轴于点 C ．直线 y ＝ kx
5
﹣ 经过 B 、 C 两点，若点
A （ 1 ， 0 ）， B （﹣ 5 ， 0 ），点 P 是 抛物 线上的一个动点（不与点 A 、 B 重合 ）．
（ 1 ） 求抛物 线的函数解 析 式；
（ 2 ）过点 P 作直线 PD ⊥ x 轴于点 D ，交直线 BC 于点 E ， 当 PE ＝ 3 ED 时， 求 P 点坐标；
（ 3 ）若点 F 是直线 BC 上的一个动点，请 判 断在点 B 右侧 的 抛物 线上是 否存 在点 P ， 使 △ AFP 是以 PF
为斜边的等 腰 直角三角形．若 存 在，请直接写 出 点 P 的坐标；若不 存 在，请 说明理由 ．
2025 年黑龙江省绥化市中考数学试卷
参考答案与试题解 析
一．选择题（共 12 小题）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
D
C ．
A
C
B
B
D
B
A
C
D
题号
12
答案
A
一、单项选择题（本题共 12 个小题，每小题 3 分，共 36 分）请在答题卡上用 2B 铅笔将你的选项所对应
的方框涂黑
1 ．（ 3 分）下列数学符号是轴对称图形的是（ ）
A ．≠
B ．≌
C ．≥
D ． ±
【 分 析】 根据轴对称图形的 概念 ，对 各 选项分 析判 断 即 可得解；如果一个图形 沿 一条直线 折叠 ，直线
两 旁 的 部 分 能够互 相 重合 ，这个图形 叫做 轴对称图形．
【 解答 】 解： A ， B ， C 选项中的数学符号 都 不 能找 到一条直线， 使剪纸 图案 沿 这条直线 折叠 ，直线两
旁 的 部 分 能够互 相 重合 ，所以不是轴对称图形；
D 选项中的数学符号 能找 到一条直线， 剪纸 图案 沿 这条直线 折叠 ，直线两 旁 的 部 分 能够互 相 重合 ，所
以是轴对称图形；
故 选： D ．
【 点评 】 本题考 查 了轴对称图形，正确 掌握 相关定义是解题关 键 ．
2 ．（ 3 分）据统计， 2025 年端午期间，我国民航客运累计发送旅客 560.1 万人次，把 560.1 万用科学记数
法表示为（ ）
A ． 56.01×10 4
B ． 5.601×10 5
C ． 5.601×10 6
D ． 0.5601×10 7
【 分 析】 科学记数法的表示形式为 a ×10 n 的形式，其中 1≤| a | ＜ 10 ， n 为 整 数．确定 n 的值时， 要看 把原
数变 成 a 时，小数点 移 动了多 少 位， n 的 绝 对值与小数点 移 动的位数相同． 当 原数 绝 对值≥ 10 时， n 是
正数； 当 原数的 绝 对值＜ 1 时， n 是 负 数．
【 解答 】 解： 560.1 万＝ 5601000 ＝ 5.601×10 6 ．
故 选： C ．
【 点评 】 此 题考 查 科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a ×10 n 的形式，其中 1≤| a | ＜ 10 ， n
为 整 数，表示时关 键要 正确确定 a 的值以 及 n 的值．
3 ．（ 3 分）某几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（ ）
A ．圆柱
B ．长方体
C ．圆锥
D ．四棱柱
【 分 析】 根据 主 视图和 左 视图可知 该 几何体是柱体，根据 俯 视图可知 该 几何体是圆柱．
【 解答 】 解：根据 主 视图和 左 视图是矩形可知 该 几何体是柱体，根据 俯 视图是圆可知 该 几何体是圆柱．
故 选： A ．
【 点评 】 本题考 查由 三视图 判 断几何体， 理 解视图的定义， 掌握简 单几何体的三视图的形 状 是正确 判
断的 前提 ．
4 ．（ 3 分）如图， AD 是∠ EAC 的平分线， AD ∥ BC ，∠ B ＝ 38° ，则∠ C 的度数是（ ）
A ． 16°
B ． 30°
C ． 38°
D ． 76°
【 分 析】 根据平行线的 性质 得 出 ∠ EAD ＝∠ B ，∠ DAC ＝∠ C ，根据角平分线定义得 出 ∠ EAD ＝
∠ DAC ， 推出 ∠ B ＝∠ C 即 可．
【 解答 】 解： ∵ AD ∥ BC ，
∴∠ EAD ＝∠ B ，∠ DAC ＝∠ C ，
∵ AD 是∠ EAC 的平分线，
∴∠ EAD ＝∠ DAC ，
∴∠ B ＝∠ C ，
∵∠ B ＝ 38° ，
∴∠ C ＝ 38° ，
故 选： C ．
【 点评 】 本题考 查 了平行线的 性质 和角平分线定义的应用， 能灵活 运用 性质 进行 推理 是解 此 题的关 键 ．
5 ．（ 3 分）下列计算中，结果正确的是（ ）
A ． a 3 • a 4 ＝ a 12
B ．（﹣ 2 m 3 ） 2 ＝ 4 m 6
C ． √ (− 3 )
2 =− ¿ 3
D ．（ x +3 ）（ x
3
﹣ ）＝ x 2
3
﹣
【 分 析】 根据同 底 数 幂 的 乘 法法则、 幂 的 乘 方与积的 乘 方法则、二次根式的 性质 、平方差 公 式分别计
算 判 断 即 可．
【 解答 】 解： A 、 a 3 • a 4 ＝ a 7 ， 故此 选项不符 合 题意；
B 、（﹣ 2 m 3 ） 2 ＝ 4 m 6 ， 故此 选项符 合 题意；
C 、 √ ¿¿ ， 故此 选项不符 合 题意；
D 、（ x +3 ）（ x
3
﹣ ）＝ x 2
9
﹣ ， 故此 选项不符 合 题意；
故 选： B ．
【 点评 】 本题考 查 了二次根式的 性质 与化 简 、同 底 数 幂 的 乘 法、 幂 的 乘 方与积的 乘 方、平方差 公 式，
熟练掌握 运算法则是解题的关 键 ．
6 ．（ 3 分）两个相似三角形的最长边分别是 10 cm 和 6 cm ，并且它们的周长之和为 48 cm ，那么较小三角
形的周长是（ ）
A ． 14 cm
B ． 18 cm
C ． 30 cm
D ． 34 cm
【 分 析】 设较小三角形的周长为 x cm ，则较大三角形的周长为（ 48 ﹣ x ） cm ，根据相似三角形的 性质
得到 x ：（ 48 ﹣ x ）＝ 6 ： 10 ， 然 后 利 用比例的 性质求出 x 即 可．
【 解答 】 解：设较小三角形的周长为 x cm ，则较大三角形的周长为（ 48 ﹣ x ） cm ，
∵ 两个相似三角形的最长边分别是 10 cm 和 6 cm ，
∴ x ：（ 48 ﹣ x ）＝ 6 ： 10 ，
解得 x ＝ 18 ，
即 较小三角形的周长为 18 cm ．
故 选： B ．
【 点评 】 本题考 查 了相似三角形的 性质 ：相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比．
7 ．（ 3 分）小新同学参加某次诗朗诵比赛，七位评委的打分是： 7.0 、 7.0 ， 8.8 ， 9.0 ， 9.3 ， 9.4 ， 10 ．工作
人员根据评委所打的分数对平均数、方差、众数、中位数进行了统计．如果去掉一个最高分和一个最
低分，那么下列统计量中一定不发生变化的是（ ）
A ．平均数
B ．方差
C ．众数
D ．中位数
【 分 析】 根据中位数的定义：位于中间位 置或 中间两数的平均数可以得到去掉一个最高分和一个最低
分不 影响 中位数．
