2025 年黑龙江省齐齐哈尔市中考数学试卷
一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题 3 分，满分 30 分）
1 ．（ 3 分）《九章算术》是我国古代著名的数学著作，在世界数学史上首次正式引入负数．若收入 10 元
记作 +10 元，则支出 10 元记作（ ）
A ． +10 元
B ．﹣ 10 元
C ． 0 元
D ． +20 元
2 ．（ 3 分）社会规则营造良好的社会秩序，我们要了解并遵守社会规则．下列标志是中心对称图形的是
（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3 ．（ 3 分）下列计算正确的是（ ）
A ．（ 3 x ） 2 ＝ 9 x 2
B ． 5 x •2 x ＝ 10 x
C ． x 6 ÷ x 2 ＝ x 3
D ．（ x
2
﹣ ） 2 ＝ x 2
4
﹣
4 ．（ 3 分）将一个含 30° 角的三角尺和直尺按如图摆放，若∠ 1 ＝ 50° ，则∠ 2 的度数是（ ）
A ． 50°
B ． 60°
C ． 70°
D ． 80°
5 ．（ 3 分）为了全面地反映物体的形状，生产实践中往往采用多个视图来反映同一物体不同方面的形状．
如图中飞机的俯视图是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6 ．（ 3 分）如果关于 x 的分式方程 mx
1 − x +
x
x − 1 = ¿ 2 无解，那么实数 m 的值是（ ）
A ． m ＝ 1
B ． m ＝﹣ 1
C ． m ＝ 1 或 m ＝﹣ 1
D ． m ≠1 且 m ≠
1
﹣
7 ．（ 3 分）假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌鸟与雄鸟的概率相同．如果 2 枚鸟卵全部成功孵化，那么 2 只雏
鸟都是雄鸟的概率是（ ）
A ． 1
2
B ． 1
3
C ． 2
3
D ． 1
4
8 ．（ 3 分）神舟二十号发射窗口时间恰逢第十个“中国航天日”．为激发青少年探索浩瀚宇宙的兴趣，
学校组织 900 名师生乘车前往航空科技馆参观，计划租用 45 座和 60 座两种客车（两种客车都要租），
若每名学生都有座位且每辆客车都没有空座位，则租车方案有（ ）
A ． 3 种
B ． 4 种
C ． 5 种
D ． 6 种
9 ．（ 3 分）如图，在菱形 ABCD 中，∠ A ＝ 60° ， AB ＝ 4 ，动点 E 从点 A 出发沿边 AB → BC 匀速运动，运动
到点 C 时停止，过点 E 作 AD 的垂线 l ，在点 E 运动过程中，垂线 l 扫过菱形（即阴影部分）的面积为
y ，点 E 运动的路程为 x （ x ＞ 0 ）．下列图象能反映 y 与 x 之间函数关系的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10 ．（ 3 分）如图，二次函数 y ＝ ax 2 + bx + c （ a ≠0 ）的图象与 x 轴交于两点（﹣ 1 ， 0 ），（ x 1 ， 0 ），且 2 ＜
x 1 ＜ 3 ．下列结论：
① abc ＞ 0 ； ② 2 a + c ＜ 0 ； ③ 4 a ﹣ b +2 c ＜ 0 ； ④ 若 m 和 n 是关于 x 的一元二次方程 a （ x +1 ）（ x ﹣
x 1 ） + c ＝ 0 （ a ≠0 ）的两根，且 m ＜ n ，则 m ＜﹣ 1 ， n ＞ 2 ； ⑤ 关于 x 的不等式 ax 2 + bx + c ＞ − c
x 1
x + c （ a ≠0 ）的解集为 0 ＜ x ＜ x 1 ．其中正确结论的个数是（ ）
A ． 2
B ． 3
C ． 4
D ． 5
二、填空题（每小题 3 分，满分 21 分）
11 ．（ 3 分）中国年 水资源总量约 为 27500 亿 m 3 ， 人均占 有 水量 相 当 于世界 人均 的 四 分之一， 居 世界第
110 位．将 27500 用科学记数 法表示 为 ．
12 ．（ 3 分）若代数式
x
√ x − 3
+ ¿ （ x
﹣ 2025
） 0 有 意义 ，则实数 x 的 取 值 范围 是 ．
13 ． （ 3 分 ） 已 知 圆 锥 的 底 面 半 径 为 40 cm ， 母 线 长 为 90 cm ， 则 它 的 侧 面 展 开 图 的 圆 心 角 为
度．
14 ．（ 3 分）如图，在 ▱ ABCD 中， BC ＝ 2 AB ＝ 8 ， 连接 AC ，分 别以 点 A ， C 为 圆 心， 大 于 1
2 AC 的 长 为 半
径 作 弧 ，两 弧 交于点 E ， F ，作直线 EF ，交 AD 于点 M ，交 BC 于点 N ，若点 N 恰为 BC 的中点，则 AC
的 长 为 ．
15 ．（ 3 分）如图，在 平 面直角 坐 标系中，一次函数 y ＝﹣ x
1
﹣ 的图象与反 比例 函数 y ¿ k
x （ k ≠0 ）的图象
在第二象 限内 交于点 A ，与 x 轴交于点 B ，点 C 坐 标为（ 0 ， 3 ）， 连接 AC ， BC ，若 AC ＝ BC ，则实数
k 的值为 ．
16 ．（ 3 分）等 腰 三角形 纸片 ABC 中， AB ＝ AC ，将 纸片 沿直线 l 折叠 ， 使 点 A 与点 B 重合 ，直线 l 交 AB
于 点 D ， 交 直 线 AC 于 点 E ， 连 接 BE ， 若 AE ＝ 5 ， tan ∠ AED ¿ 3
4 ， 则 △ BEC 的 面 积 为
．
17 ．（ 3 分） 利 用 几何 图形的 变 化 可以制 作出形 态各异 的图案．如图，在 平 面直角 坐 标系中，点 A 的 坐 标
为（ 2 ， 0 ）， 以 OA 为边作 Rt △ OAA 1 ， 使 ∠ OAA 1 ＝ 90° ，∠ AOA 1 ＝ 30° ， 再以 OA 1 为边作 Rt △ OA 1 A 2 ，
使 ∠ OA 1 A 2 ＝ 90° ，∠ A 1 OA 2 ＝ 30° ，过点 A ， A 1 ， A 2 作 弧 ^
A A 2 ，记作第 1 条弧 ； 以 OA 2 为边作
Rt △ OA 2 A 3 ， 使 ∠ OA 2 A 3 ＝ 90° ，∠ A 2 OA 3 ＝ 30° ， 再以 OA 3 为边作 Rt △ OA 3 A 4 ， 使 ∠ OA 3 A 4 ＝ 90° ，∠ A 3 OA 4
＝ 30° ，过点 A 2 ， A 3 ， A 4 作 弧 ^
A 2 A 4 ，记作第 2 条弧
⋯⋯ 按 此 规 律 ，第
2025 条弧 上与 原 点 O 的 距离最 小
的点的 坐 标为 ．
三、解答题（ 本 题 共 7 道大 题， 共 69 分）
18 ．（ 10 分）（ 1 ）计算： √ 9 − ¿ |1 − √ 2 |+2sin45° −( 1
3 )
− 2
；
（ 2 ）分解 因 式： 2 x 3
8
﹣ x ．
19 ．（ 5 分）解方程： x 2
7
﹣ x ＝﹣ 12 ．
20 ．（ 8 分）国 家卫 生 健康委员 会 宣布 将 2025 年定为“体 重管理 年”，并实 施 为 期 三年的体 重管理行 动．
某 校 响应 号 召 ，计划组织全校学生 开展 系列体 育活 动， 筹备足球 、 排球 、 篮球 、 羽毛球四 个 球类 运动
的体 育 社 团 ， 倡导 学生全 员 参 加 ，为了解学生对 这四项球类 运动的 喜爱情况 ， 随 机 抽取 部分学生，对
其 进行 了“我 最喜爱 的 球类 运动 项目 ” 问 卷 调查 （每名学生在 这四项球类 运动 项目 中选择且只能选择
一 项 ），将 这 部分学生的 问 卷 进行整理 ， 依据样本 数 据绘制 了如下两 幅 不 完整 的 统 计图．
根 据以 上 信息 ，解答下列 问 题：
（ 1 ）填空： m ＝ ；
（ 2 ） 请补 全 条 形 统 计图；
（ 3 ） 扇 形 统 计图中，“ 足球 ”对 应扇 形的 圆 心角为 度；
（ 4 ）若 该 校有 3000 名学生， 请你估 计 该 校 最喜爱篮球 运动的学生有多少 人？
21 ．（ 10 分）如图， △ ABC 内接 于 ⊙ O ， AB 为 ⊙ O 的直 径 ，点 D 在 AB 的 延长 线上， 连接 CD ，∠ BCD ＝
∠ A ，过点 B 作 BE ⊥ AD ，交 CD 于点 E ．
（ 1 ） 求证 ： CD 是 ⊙ O 的 切 线；
（ 2 ）若点 B 是 AD 的中点，且 BE ＝ 3 ， 求 ⊙ O 的 半径 ．
22 ．（ 10 分） 2025 年 春晚舞台 上的机 器人表演 ， 充 分 演绎 了科技与 民族文 化的 完美融合 ．为满 足 学生的
好 奇 心和 求知欲 ， 某 校组织科技 活 动“机 器人走进 校 园 ”， AI 热情瞬 间 燃爆 ．校 园里 一 条笔 直的“ 勤
学路”上 依 次 设置 了 A ， B ， C 三个 互 动 区 ，机 器人甲 、 乙 分 别 从 A ， C 两 区 同时出发 开始表演 ，机 器
人甲 沿“ 勤 学路” 以 20 米 / 分的速度匀速 向 B 区行进 ， 行至 B 区 时停 留 4.5 分 钟 （与师生 热情互 动）后，
继续 沿“ 勤 学路” 向 C 区 匀速 行进 ，机 器人乙 沿“ 勤 学路” 以 10 米 / 分的速度匀速 向 B 区行进 ， 行至 B
区 时 接 到 指令立 即匀速 返回 ，结果两机 器人 同时到 达 C 区 ．机 器人甲 、 乙距 B 区 的 距离 y （ 米 ）与机
器人乙行进 的时间 x （分）之间的函数关系如图 所示 ． 请 结 合 图象 信息 解答下列 问 题：
（ 1 ） A ， C 两 区 相 距 米 ， a ＝ ；
（ 2 ） 求 线 段 EF 所 在直线的函数解 析 式；
（ 3 ）机 器人乙行进 的时间为多少分时，机 器人甲 、 乙 相 距 30 米？ （直 接写 出答案即 可 ）
23 ．（ 12 分） 综合 与实践
在探索 几何 图形 变 化的过程中， 通 过直观 猜想 、 逻辑推理 、 归纳总 结 可以获得典型 的 几何模型 ，运用
几何模型 能 够轻松 解 决很 多 问 题， 让 我们 共 同体会 几何模型 的“数学之 美 ”．
（ 1 ） 【几何 直观 】 如图 1 ， △ ABC 中，∠ BAC ＝ 90° ， AB ＝ AC ，在 △ ABC 内 部 取 一点 D ， 连接 AD ，
将线 段 AD 绕 点 A 逆 时 针旋转 90° 得 到线 段 AD ′ ， 连接 BD ， CD ′ ，则 CD ′ 与 BD 的数 量 关系是
；∠ AD ′ C 与∠ ADB 的数 量 关系是 ；
（ 2 ） 【类比推理】 如图 2 ，在正方形 ABCD 内 部 取 一点 E ， 使 ∠ CED ＝ 90° ，将线 段 CE 绕 点 C 逆 时 针
旋转 90° 得 到线 段 CE ′ ， 连接 E ′ B ， 延长 E ′ B 交 DE 的 延长 线于点 F ， 求证 ： 四 边形 CEFE ′ 是正方形；
（ 3 ） 【深 度探 究】 如图 3 ， 矩 形 ABCD 中， AB ＝ 3 ， BC ＝ 4 ，在其 内 部 取 一点 E ， 使 ∠ CED ＝ 90° ，将
线 段 CE 绕 点 C 逆 时 针旋转 90° 得 到线 段 CE ′ ， 延长 CE ′ 至 点 G ， 使 CG
CE' = 4
3 ， 连接 GB ， 延长 GB 交 DE
的 延长 线于点 F ， 连接 AF ，若 AF ＝ 2 ，则 BF ＝ ；
（ 4 ） 【拓展延伸】 在 矩 形 ABCD 中，点 E 为 BC 边上的一点， 连接 AE ，将线 段 AE 绕 点 A 逆 时 针旋转
60° 得 到线 段 AE ′ ， 连接 DE ′ ，若 AD ＝ 3 √ 2 ， AB ¿ √ 6 ，则 DE ′ 的 最 小值为 ．
24 ．（ 14 分） 综合 与探 究
如图 1 ，在 平 面直角 坐 标系中， 抛 物线 y ＝ ax 2 + bx +3 （ a ＜ 0 ）与 x 轴交于点 A （﹣ 1 ， 0 ）， C （ 6 ， 0 ），
与 y 轴交于点 B ， 连接 BC ．
（ 1 ） 求抛 物线的解 析 式；
（ 2 ）点 P 是直线 BC 下方 抛 物线上的点， 连接 PB ， PC ， 当 S △ PBC ＝ 24 时， 求 点 P 的 坐 标；
（ 3 ） 点 G 是 第 四 象 限 内 抛 物 线 上 的 一 点 ， 连 接 BG ， 若 ∠ CBG ＝ 45° ， 则 点 G 的 坐 标 为
；
（ 4 ）如图 2 ，作点 B 关于 x 轴的对称点 D ，过点 D 作 x 轴的 平行 线 l ，过点 C 作 CE ⊥ l ，垂 足 为点 E ，
动点 M ， N 分 别 从点 O ， E 同时出发，动点 M 以 每 秒 1 个 单 位 长 度的速度沿射线 OC 方 向 匀速运动，动
点 N 以 每 秒 2 个 单 位 长 度的速度沿射线 ED 方 向 匀速运动（ 当 点 N 到 达 点 D 时，点 M ， N 都停止运
动 ） ， 连 接 MN ， 过 点 D 作 MN 的 垂 线 ， 垂 足 为 点 F ， 连 接 CF ， 则 CF 的 取 值 范 围 是
．
2025 年黑龙江省齐齐哈尔市中考数学试卷
参考答案与试题解 析
一．选择题（ 共 10 小题）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B ．
D
A
C
A
C
D
B
A
B
一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题 3 分，满分 30 分）
1 ．（ 3 分）《九章算术》是我国古代著名的数学著作，在世界数学史上首次正式引入负数．若收入 10 元
记作 +10 元，则支出 10 元记作（ ）
A ． +10 元
B ．﹣ 10 元
C ． 0 元
D ． +20 元
【 分 析】 在一对 具 有相反 意义 的 量 中， 先 规定其中一个为正，则 另 一个 就 用负 表示 ．
【 解答 】 解：“正”和“负”相对， 所以 ，若收入 10 元记作 +10 元，则支出 10 元记作﹣ 10 元．
故 选： B ．
【 点 评】 此 题 主 要考 查 了正负数的 意义 ，解题关 键 是 理 解“正”和“负”的相对 性 ， 明 确 什 么是一对
具 有相反 意义 的 量 ．
2 ．（ 3 分）社会规则营造良好的社会秩序，我们要了解并遵守社会规则．下列标志是中心对称图形的是
（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【 分 析】 把 一个图形 绕某 一点 旋转 180° ，如果 旋转 后的图形能 够 与 原 来的图形 重合 ，那么 这 个图形 就
叫做 中心对称图形， 由此 即 可判断 ．
【 解答 】 解： A 、 B 、 C 中的标志不是中心对称图形， 故 A 、 B 、 C 不 符合 题 意
D 、 此 标志是中心对称图形， 故 D 符合 题 意 ．
