2025 年黑龙江省龙东地区中考数学试卷
一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）
1 ．（ 3 分）下列运算正确的是（ ）
A ． a 4 • a 3 ＝ a 6
B ． 2 a +3 b ＝ 6 ab
C ．（﹣ 2 a 2 b 3 ） 3 ＝﹣ 8 a 6 b 9
D ．（﹣ a + b ）（ a + b ）＝ a 2 ﹣ b 2
2 ．（ 3 分）我国古代有很多关于数学的伟大发现，其中包括很多美丽的图案，下列图形既是轴对称图形
又是中心对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3 ．（ 3 分） 2025 年 2 月 7 日至 2 月 14 日第九届亚冬会在哈尔滨市举办，本届亚冬会的吉祥物是一对可爱
的东北虎“滨滨”和“妮妮”．某专卖店“滨滨”和“妮妮”套盒纪念品连续六天的销售量（单位：
套）分别为： 136 ， 140 ， 129 ， 180 ， 136 ， 154 ，这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A ． 136 ， 136
B ． 138 ， 136
C ． 136 ， 129
D ． 136 ， 138
4 ．（ 3 分）一个由若干个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的主视图和俯视图如图所示，那么组成
该几何体所需小正方体的个数最少是（ ）
A ． 7
B ． 8
C ． 6
D ． 5
5 ．（ 3 分）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具．
某品牌新能源汽车的月销售量由一月份的 8000 辆增加到三月份的 12000 辆，设该汽车一月至三月销售
量平均每月增长率为 x ，则可列方程为（ ）
A ． 8000 （ 1+2 x ）＝ 1200
B ． 8000 （ 1+ x ） 2 ＝ 12000
C ． 8000+8000 （ 1+ x ） +8000 （ 1+ x ） 2 ＝ 12000
D ． 8000×2 （ 1+ x ）＝ 12000
6 ．（ 3 分）已知关于 x 的分式方程 x + k
x − 4 − 2 k
4 − x = ¿ 3 解为负数，则 k 的值为（ ）
A ． k ＜﹣ 4
B ． k ＞﹣ 4
C ． k ＜﹣ 4 且 k ≠ − 4
3
D ． k ＞﹣ 4 且 k ≠ − 4
3
7 ．（ 3 分）为促进学生德智体美劳全面发展，某校计划用 1200 元购买足球和篮球用于课外活动，其中足
球 80 元 / 个，篮球 120 元 / 个，共有多少种购买方案（ ）
A ． 6
B ． 7
C ． 4
D ． 5
8 ．（ 3 分）如图，在平面直角坐标系中，点 A 、点 B 都在双曲线 y ¿ k
x （ k ≠0 ）上，且点 A 在点 B 的右侧，
点 A 的横坐标为﹣ 1 ，∠ AOB ＝∠ ABO ＝ 45° ，则 k 的值为（ ）
A ． √ 2
B ． − √ 5
2
C ． √ 5 − 1
2
D ． − √ 5 + 1
2
9 ．（ 3 分）如图，在 Rt △ ABC 中，∠ B ＝ 90° ，点 D 、 E 分别在边 AB 和 BC 上，且 AD ＝ 4 ， CE ＝ 3 ，连接
DE ，点 M 、 N 分别是 AC 、 DE 的中点，连接 MN ，则 MN 的长度为（ ）
A ． 5
2
B ． 12
5
C ． 2
D ． 13
5
10 ．（ 3 分）如图，在正方形 ABCD 中，点 F 在 BC 边上（不与点 B 、 C 重合），点 E 在 CB 的延长线上，
且 BE ＝ BF ，连接 AC 、 AE 、 AF ，过点 E 作 EG ⊥ AF 于点 G ，分别交 AB 、 AC 、 DC 于点 M 、 H 、 N ．则
下列结论： ① MN ＝ AF ； ② ∠ EAH ＝∠ EHA ； ③ EN • BF ＝ EC • HN ； ④ 若 BF ： FC ＝ 3 ： 4 ，则
tan ∠ FAC ¿ 2
5 ； ⑤ 图中共有 5 个等腰三角形．其中正确的结论是（ ）
A ． ①②③⑤
B ． ①②④⑤
C ． ①②③④
D ． ①③④⑤
二、填空题（每小题 3 分，共 30 分）
11 ．（ 3 分）电影《哪吒之 魔童闹海》自 上 映以来 ， 好评 如 潮 ， 截 至 2025 年 4 月 22 日， 总票房 已 超 157
亿 元， 再次刷 新中国电影 票房 纪 录 ． 将 数据 157 亿 用 科 学 记 数 法表 示为 ．
12 ．（ 3 分）在 函 数 y = 1
x + 3 中， 自变 量 x 的 取 值 范围 是 ．
13 ． （ 3 分 ） 如 图 ， 在 平 行 四 边 形 ABCD 中 ， 对 角 线 AC ， BD 相 交 于 点 O ， 请 添 加 一 个 条 件
， 使 平行 四 边形 ABCD 为 菱 形．
14 ．（ 3 分）如图，随 机闭 合 开 关 K 1 、 K 2 、 K 3 中的 两 个，能 让两盏灯泡 L 1 、 L 2 同 时 发 光 的 概 率为
．
15 ．（ 3 分）关于 x 的不等式组 {
2 x − 3 ≤ 0
x − a ＞ 0 恰 有 3 个 整 数解，则 a 的 取 值 范围 是 ．
16 ．（ 3 分） 如图 ， PA 、 PB 是 圆 O 的 切 线， A 、 B 为 切 点， AC 是直 径 ， ∠ BAC ＝ 35° ，∠ P ＝
．
17 ．（ 3 分）若 圆锥 的 底 面 半径 为 3 ， 高 为 4 ，则 圆锥 侧面展 开 图的面 积 为 ．
18 ．（ 3 分）如图，已知 △ ABC 中，∠ ACB ＝ 90° ， AC ＝ 7 ， BC ＝ 9 ，点 M 是 △ ABC 内部 一点，连接
AM 、 BM 、 CM ，若 CM ＝ 3 ，则 AM + 1
3 BM 的最小值为 ．
19 ．（ 3 分）如图，在 矩 形 ABCD 中， AD ＝ 6 ，∠ CAD ＝ 60° ，点 E 是边 CD 的中点，点 F 是对角线 AC 上
一动点，作点 C 关于直线 EF 的对称点 P ，若 PE ⊥ AC ，则 CF 的长为 ．
20 ．（ 3 分）如图，在平面直角坐标系中，直线 y ¿ − 1
2 x +3 交 x 轴于点 A ，交 y 轴于点 B ． 四 边形
OA 1 B 1 C 1 ， A 1 A 2 B 2 C 2 ， A 2 A 3 B 3 C 3 ， A 3 A 4 B 4 C 4 ，
⋯ 都是正方形， 顶 点
A 1 ， A 2 ， A 3 ， A 4 ，
⋯ 都在
x 轴上， 顶
点 B 1 ， B 2 ， B 3 ， B 4 ，
⋯ 都 在 直 线
y ¿ − 1
2 x +3 上 ， 连 接 BA 1 ， B 1 A 2 ， B 2 A 3 ， B 3 A 4 ，
分 别 交
⋯
C 1 B 1
，
C 2 B 2
，
C 3 B 3
，
C 4 B 4
，
于
点
⋯
D 1
，
D 2
，
D 3
，
D 4
，
．
设
⋯
△ BB 1 D 1 ， △ B 1 B 2 D 2 ， △ B 2 B 3 D 3 ， △ B 3 B 4 D 4 ，
⋯ 的面 积 分 别为
S 1 ， S 2 ， S 3 ， S 4 ，
⋯ ，则
S 2025 ＝
．
三、解 答 题（ 满 分 60 分）
21 ．（ 5 分） 先化简 ， 再求 值：
1
a
2 − 1
• a
2 − 2 a + 1
a
+ 1
a
，其中 a ＝ 2sin60°
1
﹣ ．
22 ．（ 6 分）如图，在正方形 网格 中，每个小正方形的边长都是 1 个单位长度，在平面直角坐标系中，
△ ABC 的三个 顶 点坐标分别为 A （ 2 ，﹣ 1 ）， B （ 1 ，﹣ 3 ）， C （ 3 ，﹣ 4 ）．
（ 1 ） 将△ ABC 向 上平 移 5 个单位长度， 再向 右平 移 1 个单位长度， 得 到 △ A 1 B 1 C 1 ， 画 出 两次 平 移后 的
△ A 1 B 1 C 1 ， 并写 出点 C 1 的坐标；
（ 2 ） 画 出 △ A 1 B 1 C 1 绕原 点 O 逆时针旋转 90° 后得 到的 △ A 2 B 2 C 2 ， 并写 出点 C 2 的坐标；
（ 3 ）在（ 2 ）的 条件 下， 求 点 C 1 旋转 到点 C 2 的过程中，所经过的 路径 长（结 果保留 π ）．
23 ．（ 6 分）如图， 抛 物线 y ＝ x 2 + bx + c 交 x 轴于点 A 、点 B ，交 y 轴于点 C ，且点 A 在点 B 的 左 侧， 顶 点
坐标为（ 3 ，﹣ 4 ）．
（ 1 ） 求 b 与 c 的值．
（ 2 ）在 x 轴上方的 抛 物线上是 否存 在点 P ， 使△ PBC 的面 积 与 △ ABC 的面 积 相等．若 存 在， 请 直接 写
出点 P 的横坐标；若不 存 在， 请说明 理由．
24 ．（ 7 分） 2025 年 6 月 5 日是中国的第 11 个 环境 日， 育华 中学 八 年 级 学生 积极参 加 公益 活动，为 了 解
活动 时间 （单位： h ）， 张老师 随 机抽取了 该校 八 年 级 m 名 学生进行 问 卷 调查 ，用 得 到的数据 绘制 出
如下 两幅 不 完整 的 统 计图．
请根 据相关 信息 ，解 答 下列 问 题：
（ 1 ） m ＝ ， 扇 形 统 计图中 a ＝ ， 并补 全 条 形 统 计图；
（ 2 ）在 扇 形 统 计图中， 求参 加 公益 活动 时间 为 7 h 所对 应扇 形 圆 心角的度数；
（ 3 ）若 育华 中学 八 年 级 共有学生 1200 人， 请根 据 样 本数据， 估 计 育华 中学 八 年 级参 加 公益 活动的 时
间 是 10 h 的学生有多少人 ？
25 ．（ 8 分）一 条公路 上 依次 有 A 、 B 、 C 三地，一辆 轿 车 从 A 地出发 途 经 B 地接人， 停留 一 段时间后原
速驶往 C 地；一辆 货 车 从 C 地出发， 送货 到 达 B 地 后立即原路原速返回 C 地（ 卸货时间忽略 不计）．
两 车同 时 出发， 轿 车 比货 车 晚 1
3 h 到 达终 点， 两 车均 按各自速 度 匀速 行 驶 ．如图是 轿 车和 货 车 距各自 出
发地的 距离 y （单位： km ）与 轿 车的行 驶时间 x （单位： h ）之 间 的 函 数图 象 ，结合图 象回答 下列 问 题：
（ 1 ）图中 a 的值是 ， b 的值是 ；
（ 2 ）在 货 车 从 B 地 返回 C 地的过程中， 求货 车 距 出发地的 距离 y （单位： km ）与行 驶时间 x （单位：
h ）之 间 的 函 数解 析 式；
（ 3 ）直接 写 出 轿 车出发多长 时间 与 货 车相 距 40 km ．
26 ．（ 8 分）已知：如图， △ ABC 中， AB ＝ AC ，设∠ BAC ＝ α ，点 D 是直线 BC 上一动点，连接 AD ， 将
线 段 AD 绕 点 A 顺时针旋转 α 至 AE ，连接 DE 、 BE ，过点 E 作 EF ⊥ BC ，交直线 BC 于点 F ． 探究 如下：
（ 1 ）若 α ＝ 60° 时 ，
如图 ① ，点 D 在 CB 延长线上 时 ， 易证 ： BF ＝ DF + BC ；
如图 ② ，点 D 在 BC 延长线上 时 ，试 探究 线 段 BF 、 DF 、 BC 之 间存 在 怎样 的数量关系， 请写 出结论，
并说明 理由．
（ 2 ）若 α ＝ 120° ，点 D 在 CB 延长线上 时 ，如图 ③ ， 猜想 线 段 BF 、 DF 、 BC 之 间 又有 怎样 的数量关系 ？
请 直接 写 出结论，不需 要证明 ．
27 ．（ 10 分） 2024 年 8 月 6 日，第 十 二届 世界 运动会 口号 “运动 无限 ， 气象万千 ”在 京 发 布 ，吉祥物
“ 蜀宝 ”和“ 锦仔 ” 亮 相．第一中学为 鼓励 学生 积极参 加体 育 活动， 准备 购买“ 蜀宝 ”和“ 锦仔 ” 奖
励 在活动中 表 现 优秀 的学生．已知购买 3 个“ 蜀宝 ”和 1 个“ 锦仔 ”共需 花费 332 元，购买 2 个“ 蜀
宝 ”和 3 个“ 锦仔 ”共需 380 元．
（ 1 ）购买一个“ 蜀宝 ”和一个“ 锦仔 ”分别需 要 多少元 ？
（ 2 ）若学校计划购买这 两 种吉祥物共 30 个， 投入资金 不少于 2160 元又不多于 2200 元，有哪几种购
买方案 ？
（ 3 ）设学校 投入资金 W 元，在（ 2 ）的 条件 下，哪种购买方案需 要 的 资金 最少 ？ 最少 资金 是多少元 ？
28 ．（ 10 分）如图，在平面直角坐标系中， 菱 形 OABC 的边 OA 在 x 轴上， tan ∠ COA ¿ √ 3 ， OA 的长是一
元二 次 方程 x 2
3
﹣ x
﹣ 18
＝ 0 的 根 ，过点 C 作 CQ ⊥ OA 交 OA 于点 Q ，交对角线 OB 于点 P ．动点 M 从 点
O 以 每 秒 1 个单位长度的 速 度 沿 OA 向终 点 A 运动，动点 N 从 点 B 以 每 秒 √ 3 个单位长度的 速 度 沿 BO
向终 点 O 运动， M 、 N 两 点同 时 出发，设运动 时间 为 t 秒 ．
（ 1 ） 求 点 P 坐标；
（ 2 ）连接 MN 、 PM ， 求△ PMN 的面 积 S 关于运动 时间 t 的 函 数解 析 式；
（ 3 ） 当 t ＝ 3 时 ，在对角线 OB 上是 否存 在一点 E ， 使得△ MNE 是 含 30° 角的等腰三角形．若 存 在， 请
直接 写 出点 E 的坐标；若不 存 在， 请说明 理由．
2025 年黑龙江省龙东地区中考数学试卷
参 考 答 案与试题解 析
一．选择题（共 10 小题）
题 号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答 案
C
B
D
A
B
A
C
D
A
C
一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）
1 ．（ 3 分）下列运算正确的是（ ）
A ． a 4 • a 3 ＝ a 6
B ． 2 a +3 b ＝ 6 ab
C ．（﹣ 2 a 2 b 3 ） 3 ＝﹣ 8 a 6 b 9
D ．（﹣ a + b ）（ a + b ）＝ a 2 ﹣ b 2
【 分 析】 利 用平方 差公 式，合 并 同 类项 ，同 底 数 幂乘法 ， 积 的 乘 方 法 则逐 项判断即 可．
【 解 答】 解： a 4 • a 3 ＝ a 7 ，则 A 不 符 合题 意 ，
2 a 与 3 b 不是同 类项 ， 无法 合 并 ，则 B 不 符 合题 意 ，
（﹣ 2 a 2 b 3 ） 3 ＝﹣ 8 a 6 b 9 ，则 C 符 合题 意 ，
（﹣ a + b ）（ a + b ）＝ b 2 ﹣ a 2 ，则 D 不 符 合题 意 ，
故 选： C ．
【 点 评】 本题考 查 平方 差公 式，合 并 同 类项 ，同 底 数 幂乘法 ， 积 的 乘 方， 熟练掌握 相关运算 法 则是解
题的关 键 ．
2 ．（ 3 分）我国古代有很多关于数学的伟大发现，其中包括很多美丽的图案，下列图形既是轴对称图形
又是中心对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【 分 析】 根 据轴对称图形与中心对称图形的 定义 解 答即 可．
【 解 答】 解： A ．图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不 符 合题 意 ；
B ．图形既是中心对称图形，又是轴对称图形， 符 合题 意 ；
C ．图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不 符 合题 意 ；
D ．图形既不是轴对称图形， 也 不是中心对称图形，不 符 合题 意 ；
故 选： B ．
【 点 评】 本题考 查了 轴对称图形与中心对称图形， 熟 知一个图形 绕 着某 固定 点 旋转 180° 后 能 够 与 原来
的图形重合，则称这个图形是中心对称图形；如 果 一个图形 沿 着某 条 直线对 折后 ，直线 两旁 的 部 分能
够 重合，则称这个图形是轴对称图形，这 条 直线 叫做 对称轴是解题的关 键 ．
3 ．（ 3 分） 2025 年 2 月 7 日至 2 月 14 日第九届亚冬会在哈尔滨市举办，本届亚冬会的吉祥物是一对可爱
的东北虎“滨滨”和“妮妮”．某专卖店“滨滨”和“妮妮”套盒纪念品连续六天的销售量（单位：
套）分别为： 136 ， 140 ， 129 ， 180 ， 136 ， 154 ，这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A ． 136 ， 136
B ． 138 ， 136
C ． 136 ， 129
D ． 136 ， 138
【 分 析】 将 这组数据重新 排 列， 再根 据众数和中位数的 定义求 解 即 可．
【 解 答】 解： 将 这组数据重新 排 列为 129 ， 136 ， 136 ， 140 ， 154 ， 180 ，
所 以 这组数据的众数为 136 ，中位数为 136 + 140
2
= ¿ 138 ，
故 选： D ．
【 点 评】 本题主 要 考 查 众数和中位数，解题的关 键 是 掌握 众数和中位数的 定义 ．
4 ．（ 3 分）一个由若干个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的主视图和俯视图如图所示，那么组成
该几何体所需小正方体的个数最少是（ ）
A ． 7
B ． 8
C ． 6
D ． 5
【 分 析】 在俯视图中标出正方体的个数 即 可 得 出 答 案．
【 解 答】 解：如图所示：
