2025 年北京市中考数学试卷
一、选择题（共 16 分，每题 2 分）第 1-8 题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。
1 ．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2 ．实数 a ， b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A ． a ＞﹣ 1
B ． a + b ＝ 0
C ． a ﹣ b ＞ 0
D ． | a | ＞ | b |
3 ．若一个六边形的每个内角都是 x ° ，则 x 的值为（ ）
A ． 60
B ． 90
C ． 120
D ． 150
4 ．一个不透明的袋子中仅有 3 个红球、 2 个黄球和 1 个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随
机摸出一个球，摸出的球是白球的概率是（ ）
A ． 1
6
B ． 1
3
C ． 1
2
D ． 5
6
5 ．若关于 x 的一元二次方程 ax 2 +2 x +1 ＝ 0 有两个相等的实数根，则实数 a 的值为（ ）
A ．﹣ 4
B ．﹣ 1
C ． 1
D ． 4
6 ． 2025 年 5 月 29 日，行星探测工程天问二号探测器在西昌卫星发射中心成功发射，开启对近地小行星
2016 H 03 的探测与采样返回之旅．已知该小行星与地球的最近距离约为月球远地点距离的 45 倍，月球
远地点距离约为 4×10 5 km ，则该小行星与地球的最近距离约为（ ）
A ． 1.8×10 5 km
B ． 1.8×10 6 km
C ． 1.8×10 7 km
D ． 1.8×10 10 km
7 ．如图，∠ MON ＝ 100° ，点 A 在射线 OM 上，以点 O 为圆心， OA 长为半径画弧，交射线 ON 于点 B ．若
分别以点 A ， B 为圆心， AB 长为半径画弧，两弧在∠ MON 内部交于点 C ，连接 AC ，则∠ OAC 的大小
为（ ）
A ． 80°
B ． 100°
C ． 110°
D ． 120°
8 ．如图，在平面直角坐标系 xOy 中， A ， B 分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形 OACB 是矩形，函
数 y ¿ 1
x （ x ＞ 0 ）的图象与边 AC 交于点 M ，与边 BC 交于点 N （ M ， N 不重合）．给出下面四个结论：
① △ COM 与△ CON 的面积一定相等；
② △ MON 与△ MCN 的面积可能相等；
③ △ MON 一定是锐角三角形；
④ △ MON 可能是等边三角形．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A ． ①③
B ． ①④
C ． ②③
D ． ②④
二、填空题（共 16 分，每题 2 分）
9 ．若 √ 3 x − 3 在实数范围内有意义，则实数 x 的取值范围是 ．
10 ．分解因式： 7 m 2
﹣ 28
＝ ．
11 ．方程
2
x − 6 + 1
x = ¿ 0 的解为 ．
12 ．某地区七年级共有 2000 名男生．为了解这些男生的体重指数（ BMI ）分布情况，从中随机抽取了 100
名男生，测得他们的 BMI 数据（单位： kg / m 2 ），并根据七年级男生体质健康标准整理如下：
等级
低体重
正常
超重
肥胖
BMI
≤15.4
15.5 ～ 22.1
22.2 ～ 24.9
≥25.0
人数
6
75
15
4
根据以上信息，估计该地区七年级 2000 名男生中 BMI 等级为正常的人数是 ．
13 ．能说明命题“若 a 2 ＞ 4 b 2 ，则 a ＞ 2 b ” 是假命题的一组实数 a ， b 的值为 a ＝ ， b ＝
．
14 ．如图， ⊙ O 是地球的示意图，其中 AB 表示赤道， CD ， EF 分别表示北回归线和南回归线，∠ DOB ＝
∠ FOB ＝ 23.5° ．夏至日正午时，太阳光线 GD 所在直线经过地心 O ， 此 时点 F 处 的太阳 高度 角∠ IFH
（ 即 平行于 GD 的光线 HF 与 ⊙ O 的 切 线 FI 所成的锐角）的大小为 ° ．
15 ．如图，在正方形 ABCD 中，点 E 在边 CD 上， CF ⊥ BE ， 垂足 为 F ．若 AB ＝ 1 ，∠ EBC ＝ 30° ，则
△ ABF 的面积为 ．
16 ．某 企业研 发并生 产 了一 种新设备 ，计 划 分 配 给 A ， B ， C ， D 四 家 经 销商销售 ． 当 一 家 经 销商将 分 配
到 的 n 台设备全 部 售 出 后 ， 企业 从该经 销商处获 得的 利润 （单位： 万 元）与 n 的对应关系如下：
n ＝ 1
n ＝ 2
n ＝ 3
n ＝ 4
n ＝ 5
n ＝ 6
…
A
40
60
/
/
/
/
/
B
30
55
75
90
100
105
/
C
20
40
60
70
80
90
…
D
14
38
62
86
110
134
…
（ 1 ）如 果企业将 5 台设备 分 配 给这四 家 经 销商销售 ， 且 每 家 经 销商 至 少 分 配到 1 台设备 ，为 使 5 台设
备 都 售 出 后企业获 得的 总利润 最大，应 向 经 销商 分 配 2 台设备 （填“ A ”“ B ”“ C ” 或 “ D ” ）；
（ 2 ）如 果企业将 6 台设备 分 配 给这四 家 经 销商 中的一 家或多家销售 ， 那么 6 台设备 都 售 出 后 ， 企业 可
获 得的 总利润 的最大值为 万 元．
三、解 答 题（共 68 分，第 17-19 题每题 5 分，第 20 题 6 分，第 21 题 5 分，第 22 题 6 分，第 23 题 5 分，
第 24 题 6 分，第 25 题 5 分，第 26 题 6 分，第 27-28 题每题 7 分）解 答 应 写 出 文字 说明、 演算步骤或证 明
过程。
17 ．（ 5 分）计 算 ： |
3|
﹣ + √ 27 +( 1
2 )
− 1
− ¿ 2sin30° ．
18 ．（ 5 分）解不等式组： {
2 ( x + 1 ) ＞ x − 1
x + 5
2
＞ 3 x
．
19 ．（ 5 分）已知 a + b
3
﹣ ＝ 0 ， 求代 数式 4 ( a − b )+ 8 b
a
2 + 2 ab + b
2 的值．
20 ．（ 6 分）如图，在△ ABC 中， D ， E 分别为 AB ， AC 的中点， DF ⊥ BC ， 垂足 为 F ，点 G 在 DE 的 延 长
线上， DG ＝ FC ．
（ 1 ） 求证 ：四边形 DFCG 是矩形；
（ 2 ）若∠ B ＝ 45° ， DF ＝ 3 ， DG ＝ 5 ， 求 BC 和 AC 的长．
21 ．（ 5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，函数 y ＝ kx + b （ k ≠0 ）的图象经过点（ 1 ， 3 ）和（ 2 ， 5 ）．
（ 1 ） 求 k ， b 的值；
（ 2 ） 当 x ＜ 1 时，对于 x 的每一个值，函数 y ＝ mx （ m ≠0 ）的值既小于函数 y ＝ kx + b 的值， 也 小于函数
y ＝ x + k 的值，直接 写 出 m 的取值范围．
22 ．（ 6 分）北京 风筝制作技艺 是 国家 级 非物 质 文化遗产 ．为 制作 一只京 燕风筝 ，小明准 备 了 五 根直 竹条
（如图 1 ）；一根 门条 、两根等长的 膀条 和两根等长的 尾条 ．他 将门条 和 膀条 分别 烤弯后 与 尾条 一 起
扎 成 风筝 的 骨架 （如图 2 ），其 头 部 高 、 胸腹高 与 尾 部 高 的 比 是 1 ： 1 ： 2 ．已知单根 膀条 长是 胸腹高 的
5 倍， 门条比 单根 膀条短 10 cm ，图 1 中 BC 的长是 门条 长的 5
9 ， AB ． CD 的长均等于 胸腹高 ． 求 这只 风
筝 的 骨架 的 总高 ．
23 ．（ 5 分） 校田 径 队教练 选出 甲 、 乙 、 丙 、 丁 四名 运 动 员参加 100 米比赛 ．对这四名 运 动 员 最近 10 次
100 米跑 测试成 绩 （单位： s ）的数据 进 行整理、 描 述和分 析 ．下面给出了部分信息．
a ． 甲 、 乙 两名 运 动 员 10 次测试成 绩 的 折 线图：
b ． 丙运 动 员 10 次测试成 绩 ：
12.4 12.4 12.5 12.7 12.8 12.8 12.8 12.8 12.9 12.9
c ．四名 运 动 员 10 次测试成 绩 的平均数、中位数、方差
甲
乙
丙
丁
平均数
12.5
12.5
p
12.5
中位数
m
12.5
12.8
12.45
方差
0.056
n
0.034
0.056
（ 1 ）表中 m 的值为 ；
（ 2 ）表中 n 0.056 （填“＞ ” “＝ ”或 “ ＜” ）；
（ 3 ）根据这 10 次测试成 绩 ， 教练按 如下方式 评 估这四名 运 动 员 的实 力强弱 ： 首先比较 平均数，平均
数 较 小 者 实 力更强 ；若平均数相等，则 比较 方差，方差 较 小 者 实 力更强 ；若平均数、方差分别相等，
则测试成 绩 小于平均数的次数 较多者 实 力更强 ． 评 估结 果 ：这四名 运 动 员按 实 力由强到弱依 次为
．
24 ．（ 6 分）如图，过点 P 作 ⊙ O 的两 条切 线， 切 点分别为 A ， B ，连接 OA ， OB ， OP ，取 OP 的中点 C ，
连接 AC 并 延 长，交 ⊙ O 于点 D ，连接 BD ．
（ 1 ） 求证 ：∠ ADB ＝∠ AOP ；
（ 2 ） 延 长 OP 交 DB 的 延 长线于点 E ．若 AP ＝ 10 ， tan ∠ AOP ¿ 1
2 ， 求 DE 的长．
25 ．（ 5 分）工 厂 对 新员 工 进 行某 种 工 艺品制作 的 培训 ．在 完 成理论学 习后 ， 新员 工接下 来先使用智 能 辅
助训练 系 统进 行一次为 期 T 日（ T 可取 0 ， 1 ， 2 或 3 ）的 模拟练习 ， 然后 开 始 试 制 ． 记 一名 新员 工在试
制阶段 的第 x 日单日 制 成的合 格品 的个数为 y ，根据以 往 的 培训 经 验 ，对于给定的 T ，可以 认 为 y 是 x
的函数． 当 T ＝ 0 和 T ＝ 3 时，部分数据如下：
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
T ＝ 0
时 y 的
值
0
7
8
10
12
16
20
23
25
26
T ＝ 3
时 y 的
值
0
26
37
43
m
48
50
51
52
53
T ＝ 3 时，从试 制阶段 的第 2 日 起 ，一名 新员 工每一日 比前 一日 多制 成的合 格品 的个数 逐渐减少或保持
不 变 ．
对于给定的 T ，在平面直角坐标系 xOy 中 描 出该 T 值下 各 数对（ x ， y ）所对应的点，并根据 变化趋势
用 平 滑曲 线连接，得 到曲 线 ∁ T . 当 T ＝ 1 和 T ＝ 2 时， 曲 线 C 1 ， C 2 如图所示．
（ 1 ） 观察曲 线 C 1 ， 当 整数 x 的值为 时， y 的值 首 次超过 35 ；
（ 2 ） 写 出表中 m 的值，并在给出的平面直角坐标系中画出 T ＝ 3 时的 曲 线 C 3 ；
（ 3 ） 新员 工小 云 和小 腾刚刚完 成理论学 习 ，接下 来进 行 模拟练习 和试 制 ．
① 若 新员 工单日 制 成不 少 于 45 个合 格品即 可 获 得“ 优秀 学 员”证书 ，根据上述函数关系，小 云 最 早
在 完 成理论学 习后 的第 日可 获 得“ 优秀 学 员”证书 ；
② 若工 厂希望 小 腾 在 完 成理论学 习后 的 4 日内 制 成的合 格品 的 总 数最 多 ，根据上述函数关系，在这 4
日中应 安排 小 腾先进 行 日的 模拟练习 ．
26 ．（ 6 分）在平面直角坐标系 xOy 中， 抛物 线 y ＝ ax 2 + bx + c （ a ≠0 ）经过点 O 和点 A （ 3 ， 3 a ）．
（ 1 ） 求 c 的值，并 用含 a 的式子表示 b ；
（ 2 ）过点 P （ t ， 0 ） 作 x 轴的 垂 线，交 抛物 线于点 M ，交直线 y ＝ ax 于点 N ．
① 若 a ＝ 1 ， t ＝ 4 ， 求 MN 的长；
② 已知在点 P 从点 O 运 动 到 点 B （ 2 a ， 0 ）的过程中， MN 的长随 OP 的长的 增 大 而增 大， 求 a 的取值
范围．
27 ．（ 7 分）在△ ABC 中，∠ ACB ＝ 90° ，∠ ABC ＝ α ，点 D 在射线 BC 上，连接 AD ， 将 线 段 AD 绕 点 A 逆
时 针旋转 180°
2
﹣ α 得 到 线 段 AE （点 E 不在直线 AB 上），过点 E 作 EF ∥ AB ，交直线 BC 于点 F ．
（ 1 ）如图 1 ， α ＝ 45° ，点 D 与点 C 重合， 求证 ： BF ＝ AC ；
（ 2 ）如图 2 ，点 D ， F 都在 BC 的 延 长线上， 用 等式表示 DF 与 BC 的数 量 关系，并 证 明．
28 ．（ 7 分）在平面直角坐标系 xOy 中，对于点 A 和 ⊙ C 给出如下定义：若 ⊙ C 上 存 在两个不 同 的点
M ， N ，对于 ⊙ C 上 任 意 满足 AP ＝ AQ 的两个不 同 的点 P ， Q ，都有∠ PAQ ≤ ∠ MAN ，则称点 A 是 ⊙ C 的
关 联 点，称∠ MAN 的大小为点 A 与 ⊙ C 的关 联 角 度 ．（ 本 定义中的角均指锐角、直角、 钝 角 或 平角）
（ 1 ）如图， ⊙ O 的半径为 1 ．
① 在点 A 1 （ 1
2 ， 0 ）， A 2 （ 4
3 ， 0 ）， A 3 （ 2 ， 0 ）中，点 是 ⊙ O 的关 联 点 且 其与 ⊙ O 的关 联
角 度 小于 90° ，该点与 ⊙ O 的关 联 角 度 为 ° ；
② 点 B （ 1 ， m ）在第一象 限 ，若对于 任 意长 度 小于 1 的线 段 BD ， BD 上所有的点都是 ⊙ O 的关 联 点，
则 m 的最小值为 ；
（ 2 ）已知点 E （ 1 ， 3 ）， F （ 4 ， 3 ）， T （ t ， 0 ）， ⊙ T 经过 原 点，线 段 EF 上所有的点都是 ⊙ T 的关 联
点， 记 这些点与 ⊙ T 的关 联 角 度 的最大值为 α ．若 90°≤ α ≤180° ，直接 写 出 t 的取值范围．
2025 年北京市中考数学试卷
参 考 答案 与试题解 析
一．选择题（共 8 小题）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
D
C
A
C
C
B
A
一、选择题（共 16 分，每题 2 分）第 1-8 题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。
1 ．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【 分 析】 把 一个图形 绕 某一点 旋转 180° ，如 果旋转后 的图形能 够 与 原来 的图形重合， 那么 这个图形 就
叫做 中心对称图形；如 果 一个图形 沿 一 条 直线 折叠 ，直线两 旁 的部分能 够互 相重合，这个图形 叫做 轴
对称图形， 由此即 可 判断 ．
【 解 答】 解： A 、 B 中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形， 故 A 、 B 不符合题意；
C 、图形是中心对称图形，不轴对称图形， 故 C 不符合题意；
D 、图形既是轴对称图形又是中心对称图形， 故 D 符合题意．
故 选： D ．
【 点 评】 本 题考 查 中心对称图形，轴对称图形，关 键 是 掌握 中心对称图形和轴对称图形的定义．
2 ．实数 a ， b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A ． a ＞﹣ 1
B ． a + b ＝ 0
C ． a ﹣ b ＞ 0
D ． | a | ＞ | b |
【 分 析】 观察 数轴可知：﹣ 2 ＜ a ＜ ﹣ 1 ， 0 ＜ b ＜ 1 ， | a | ＞ | b | ， 然后 根据有理数的 加减法 则 判断 B ， C 选项
的 掌握 ，从 而 解 答即 可．
【 解 答】 解： 观察 数轴可知：﹣ 2 ＜ a ＜ ﹣ 1 ， 0 ＜ b ＜ 1 ， | a | ＞ | b | ，
∴ a + b ＜ 0 ， a ﹣ b ＜ 0 ，
∴ A 、 B 、 C 选项的结论 错误 ， D 选项的结论正确，
故 选： D ．
【 点 评】 本 题 主要 考 查 了实数与数轴，解题关 键 是 熟练掌握 数轴上 左 边的数 总比右 边的数小和有理数
的 加减法 则．
3 ．若一个六边形的每个内角都是 x ° ，则 x 的值为（ ）
A ． 60
B ． 90
C ． 120
D ． 150
【 分 析】 利用多 边形内角和 公 式 及 正 多 边形的 性 质 求 解 即 可．
【 解 答】 解： ∵ 一个六边形的每个内角都是 x ° ，
∴ 这个六边形为正六边形，
∴ 每个内角的 度 数为：（ 6
2
﹣ ） ×180°÷6 ＝ 120° ，
故 选： C ．
【 点 评】 本 题考 查 了 多 边形内角和 公 式， 即 （ n
2
﹣ ） ×180° ，其中 n 为边数， 掌握此性 质是解题的关 键 ．
4 ．一个不透明的袋子中仅有 3 个红球、 2 个黄球和 1 个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随
机摸出一个球，摸出的球是白球的概率是（ ）
A ． 1
6
B ． 1
3
C ． 1
2
D ． 5
6
【 分 析】 由 题意知，共有 6 种 等可能的结 果 ，其中摸出的球是白球的结 果 有 1 种 ， 利用 概率 公 式可得
答案 ．
【 解 答】 解： 由 题意知，共有 6 种 等可能的结 果 ，其中摸出的球是白球的结 果 有 1 种 ，
∴ 摸出的球是白球的概率为 1
6 ．
故 选： A ．
【 点 评】 本 题考 查 概率 公 式， 熟练掌握 概率 公 式是解 答本 题的关 键 ．
5 ．若关于 x 的一元二次方程 ax 2 +2 x +1 ＝ 0 有两个相等的实数根，则实数 a 的值为（ ）
A ．﹣ 4
B ．﹣ 1
C ． 1
D ． 4
【 分 析】 先 计 算 根的 判 别式， 再 根据方程解的情况得关于 a 的方程， 求 解 即 可．
【 解 答】 解： ∵ 关于 x 的一元二次方程 ax 2 +2 x +1 ＝ 0 有两个相等的实数根，
Δ
∴ ＝ 0 且 a ≠0 ．
2
∴ 2
4
﹣ a ＝ 0 且 a ≠0 ．
∴ a ＝ 1 ．
故 选： C ．
