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人教版高中数学 A 版选必第 3 册《第六章 计数原理》大单元整体教学设
计
学校：dxyc2360 指导教师：张元方
一、内容分析与整合
二、《普通高中数学课程标准（2017 年版 2020 年修订）》分解
三、学情分析
四、大主题或大概念设计
五、大单元目标叙写
六、大单元教学重点
七、大单元教学难点
八、大单元整体教学思路
九、学业评价
十、大单元实施思路及教学结构图
十一、大情境、大任务创设
十二、学科实践与跨学科学习设计
十三、大单元作业设计
十四、“教-学-评”一致性课时设计
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十五、大单元教学反思
一、内容分析与整合
（一）教学内容分析
《计数原理》作为高中数学人教版 A 版选修第三册的第六章，占据着举足轻重的地位。这一章节不仅深
入探讨了数学内部的逻辑推理与抽象思维，更为解决实际问题中的计数问题奠定了坚实的基础。
6.1 部分详细阐述了分类加法计数原理与分步乘法计数原理，这两者构成了计数问题的基础框架。分类
加法计数原理指出，若完成某件事情存在多种不同的方法，并且这些方法可以明确分类，则完成这件事情的
总方法数就是各类方法数的和。这一原理强调“分类”与“加法”的结合，帮助我们理解在面对复杂问题时
如何将其拆解为更简单的部分进行计数。而分步乘法计数原理则侧重于事情的完成需要多个步骤，每一步都
有多种方法，完成这件事情的总方法数就是各步骤方法数的乘积。这一原理突出了“分步”与“乘法”的关
联，教会我们如何在连续的过程中计算可能的方法数。
6.2 部分则进一步深入到排列与组合的概念及其性质。排列关注的是从 n 个不同元素中取出 m 个元素进
行有序排列的情况数，其计算公式 Aₙᵐ 直观地反映了元素数量与排列方式之间的关系。组合则侧重于无序的
选择，即从 n 个不同元素中取出 m 个元素的所有可能组合的数量， Cₙᵐ 的计算公式及其两个重要性质揭示
了组合数之间的内在联系和规律，为处理更复杂的组合问题提供了强有力的工具。
6.3 部分的二项式定理是计数原理中的一颗璀璨明珠。它不仅展示了 (a+b) ⁿ 展开式的每一项系数与组合
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数之间的对应关系，还为我们提供了一个高效计算二项式展开式系数的通用方法。二项式定理的应用广泛，
无论是在代数表达式的化简、近似计算，还是在概率论与组合数学中，都发挥着不可替代的作用。
《计数原理》这一章节通过系统的理论构建和丰富的实例解析，不仅提升了学生的逻辑推理能力和抽象
思维能力，还为他们解决日常生活中的计数问题提供了强有力的数学工具。无论是分类加法与分步乘法的巧
妙运用，还是排列组合的精妙计算，亦或是二项式定理的广泛应用，都充分展现了数学的魅力与实用价值。
掌握这些原理和方法，不仅能够帮助学生更好地理解和应用数学知识，还能够培养他们的创新思维和解决问
题的能力，为他们未 来 的学 习 和生活 打下 坚实的基础。
（二）单元内容分析
本 章内 容 作为数学学 科 中的一个重要组成部分，其 核心目标 是 让 学生 全 面掌握基 本 的计数方法，深入理
解排列、组合以及二项式定理的概念、性质及其计算方法，并能够 灵 活地将这些知识应用于解决实际问题。
通过 本 章的学 习 ，学生将构建 起 坚实的数学基础，提升逻辑思维能力和代数运算 技 巧。
在内 容安 排 上 ， 本 章 首先介绍 了分类加法计数原理与分步乘法计数原理，这是计数问题中 最 基础 也 是 最
重要的两种方法。通过生 动 的实例 引 入，帮助学生直观理解并掌握这两种计数原理，为 后 续学 习 排列组合 打
下 坚实的基础。分类加法计数原理强调“分类 相 加”，即 当 一个问题可以分成 几 个 互 不 相干 的 子 问题时，每
个 子 问题的解数之和就是原问题的解数 ； 而分步乘法计数原理则强调“分步 相 乘”，即一个问题的解需要分
成 几 个 相互依赖 的步骤 来 完成时，各步骤的解数之积就是原问题的解数。
本 章详细 讲 解了排列与组合的概念、性质及计算方法。排列关注的是 顺 序问题，即从 n 个不同元素中取
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出 m 个元素的所有不同排列方式的总数 ； 而组合则不 考虑顺 序， 只 关注选取的方式。通过丰富的实例分析，
帮助学生深 刻 理解排列数与组合数的计算方法，以及排列与组合之间的 区别 与联系，培养学生的抽象思维能
力和问题解决能力。
本 章还重 点介绍 了组合数的两个重要性质，并通过逻辑推理和数学 证 明的方式， 让 学生深 刻 理解并掌握
这两个性质。这两个性质不仅是组合数学中的基 本 定理， 也 是解决 许 多复杂计数问题的关 键 工具。通过学 习 ，
学生能够更加 灵 活地运用组合数的性质进行问题的 求 解，提高解题效率。
本 章 介绍 了二项式定理及其展开式的性质。二项式定理是代数中的一个重要定理，它 给 出了 (a+b) n 的
展开式的通项公式和项数规律。通过实例 讲 解，不仅 让 学生掌握了二项式定理的应用，还培养了他们的代数
运算能力和逻辑推理能力。学会运用二项式定理，可以简化 许 多代数表达式的计算，是解决数学、 物 理 等领
域 中一系列问题的有力工具。
本 章内 容 通过系统而深入的学 习 ， 使 学生能够 全 面掌握基 本 的计数方法，深 刻 理解排列、组合和二项式
定理的 核心 概念与应用 技 巧，为他们在数学及其他 相 关 领域 的学 习 和 研究 奠定坚实的基础。
（三）单元内容整合
在 整 合 本 章内 容 时，我们需 特别 注重知识的连 贯 性和系统性，以确 保 学生能够 全 面、深入地理解和掌握
所学内 容 。 本 章以基 本 的计数原理为 起点 ， 逐 步 引导 学生进入排列、组合以及二项式定理的广 阔天 地，通过
这一系列的学 习 ，学生将构建 起 一 套 完 整 的、逻辑 严密 的数学知识 体 系。
我们从 最 基 本 的计数原理出发，这是理解 后 续复杂概念的基础。通过生 动 的实例和直观的 演 示，帮助学
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生理解并掌握加法原理、乘法原理 等 基 本 概念， 使 他们明 白 在不同情况 下 如何合理地计算总数或可能性。这
一 环 节的教学注重培养学生的逻辑思维能力和实际应用能力。
我们深入到排列的学 习 。排列是计数原理的一个重要应用，它 涉 及到从一组元素中选出若 干 元素进行排
序的问题。通过具 体 的例 子 和详细的解析，我们 引导 学生理解排列的概念、性质以及计算方法， 特别 是排列
数的计算公式和推 导 过程。这一部分的学 习 不仅要 求 学生掌握理论知识，还要 求 他们能够 灵 活运用所学知识
解决实际问题。
我们进入组合的学 习 。与排列不同，组合关注的是从一组元素中选出若 干 元素 （ 不 考虑顺 序 ） 的问题。
我们同 样 通过实例分析和逻辑推理，帮助学生理解组合的概念、性质以及计算方法， 特别 是组合数的计算公
式和性质。这一部分的学 习 强调学生的抽象思维能力和逻辑推理能力。
我们探讨二项式定理。二项式定理是排列组合知识的进一步 拓 展和应用，它 涉 及到二项式的展开、二项
式系数的性质以及二项式定理的应用 等 问题。我们通过详细的 证 明和推 导 ，帮助学生理解二项式定理的深 刻
内 涵 和广泛应用。这一部分的学 习 要 求 学生具 备较 高的数学素养和 证 明能力。
本 章内 容 的 整 合注重知识的连 贯 性和系统性，通过实例分析、逻辑推理和数学 证 明 等 多种方式，帮助学
生 全 面掌握计数原理、排列、组合以及二项式定理 等核心 概念和方法。我们 希望 通过这一系列的学 习 ，学生
能够建 立起 坚实的数学基础，培养出 严谨 的逻辑思维能力和强 大 的数学应用能力，为 后 续的数学学 习打下 坚
实的基础。
二、《普通高中数学课程标准（ 2017 年版 2020 年修订）》分解
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根 据《 普 通高中数学 课 程 标准（ 2017 年 版 2020 年 修 订） 》， 本 章内 容 应达到以 下课 程 目标：
数学抽象 ： 通过实例 引 入计数原理、排列、组合和二项式定理 等 概念，培养学生的数学抽象能力。
逻辑推理 ： 通过逻辑推理和数学 证 明，掌握排列、组合的性质和二项式定理的展开式，培养学生的逻辑
推理能力。
数学建 模：引导 学生将实际问题抽象为数学问题，运用排列、组合和二项式定理 等 知识解决问题，培养
学生的数学建 模 能力。
直观 想 象 ： 通过 图形 、 图像等 方式帮助学生理解二项式定理的展开式，培养学生的直观 想 象能力。
数学运算 ： 通过排列、组合和二项式定理的计算，培养学生的数学运算能力。
三、学情分析
在教学活 动 中，深入了解学生的学情是 制 定有效教学 策略 的基础。 针 对 本 章内 容 ，我们将从 已 知内 容 、
新知内 容 、学生学 习 能力以及学 习障碍 突 破策略四 个方面进行详细分析。
（一）已知内容分析
学生在学 习本 章内 容 之 前 ， 已经 掌握了基 本 的代数运算、 函 数、不 等 式 等 数学知识，这为他们进一步学
习 新的数学知识 打下 了坚实的基础。代数运算作为数学的基础工具，在解决各种数学问题时都发挥着重要作
用。而 函 数和不 等 式的理解，则为学生提供了分析和解决问题的新 视角 。
学生在 初 中 阶段也接触 过简单的计数问题，对计数有一定的 认 识。这种 初 步的 认 识为他们学 习本 章的排
列、组合 等 计数原理提供了有 益 的 铺垫 。需要注 意 的是， 初 中 阶段 的计数问题 相 对简单，与 本 章内 容相比 ，
深 度 和广 度 都有所不足。在教学过程中，教 师 需要关注学生的这一 认 知基础， 适 时进行知识的 拓 展和深化。
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（二）新知内容分析
本 章内 容 对于学生 来说 ，是 全 新的知识 点 。排列、组合和二项式定理 等 概念需要学生深入理解并掌握。
这些概念在计数问题中具有广泛的应用，是解决复杂计数问题的关 键 。 由 于这些概念 相 对抽象，学生在 初次
接触 时可能会 感 到 困惑 。教 师 在教学过程中需要 采 用多种教学方法，帮助学生 逐 步建 立 对这些概念的理解。
本 章内 容涉 及逻辑推理和数学 证 明，对学生的思维能力提出了 较 高的要 求 。逻辑推理是数学学 习 的 核心
素养之一，它要 求 学生能够运用 已 知 条 件进行推理和 判断 ， 得 出 正 确的结论。而数学 证 明则要 求 学生能够 严
格按照 逻辑规则进行推理， 证 明数学 命 题的 正 确性。这些要 求 对于学生 来说 可能是一个 挑战 ，需要教 师 在教
学过程中进行有 针 对性的指 导 和 训练 。
（三）学生学习能力分析
大 多数学生能够理解并掌握基 本 的计数原理，这是他们进一步学 习本 章内 容 的有 利条 件。在处理复杂的
计数问题时，学生可能会 遇 到 困难 。这 主 要是 因 为复杂的计数问题 往往涉 及多个计数原理的 综 合运用，需要
学生具 备较 高的思维能力和解题 技 巧。教 师 在教学过程中需要关注学生的学 习动态 ，及时 给予 指 导 和帮助。
学生在逻辑推理和数学 证 明方面可能存在一定的不足。这 主 要表现在两个方面 ： 一是逻辑推理不 严密 ，
容易 出现 漏洞 和 错误； 二是数学 证 明不规 范 ， 缺乏严格 的逻辑推理和 证 明过程。这些不足可能会 影响 学生对
本 章内 容 的深入理解和掌握。教 师 需要在教学过程中加强逻辑推理和数学 证 明的 训练 ，提高学生的思维能力。
（四）学习障碍突破策略
为了帮助学生 克服 学 习障碍 ，提高学 习 效 果 ，我们 制 定了以 下 突 破策略：
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实例 引导： 通过生 动 的实例 引 入计数原理、排列、组合和二项式定理 等 概念，帮助学生建 立 直观 认 识。
实例 引导 是一种有效的教学方法，它能够将抽象的数学概念与具 体 的实际问题 相 结合， 使 学生更 容易 理解和
接受 。在教学过程中，教 师 可以选取一些具有代表性的实例， 引导 学生进行分析和讨论，从而帮助他们建 立
对这些概念的理解。
循 序 渐 进 ： 从简单的计数问题入 手 ， 逐 步深入到复杂的计数问题，帮助学生 逐 步掌握计数方法。 循 序 渐
进是一种 符 合学生 认 知规律的教学方法，它能够 使 学生在 逐 步深入的学 习 过程中不 断 积 累 知识和 经验 ，提高
解题能力。在教学过程中，教 师 可以 按照由易 到 难 、 由 简单到复杂的 顺 序 安 排教学内 容 ， 引导 学生 逐 步掌握
计数方法。
逻辑推理 训练： 通过逻辑推理和数学 证 明的 训练 ，提高学生的逻辑思维能力。逻辑推理 训练 是提高学生
思维能力的有效 途径 。在教学过程中，教 师 可以 设 计一些逻辑推理题 目 ， 引导 学生进行推理和 判断 ，从而培
养他们的逻辑思维能力。教 师 还可以结合具 体 的教学内 容 ， 引导 学生进行数学 证 明的 训练 ，提高他们的 证 明
能力。
合作学 习： 通过 小 组合作学 习 的方式， 促 进学生之间的 交流 与合作， 共 同解决计数问题。合作学 习 是一
种有效的学 习 方式，它能够 使 学生在 交流 与合作中 相互 学 习 、 相互启 发， 共 同提高。在教学过程中，教 师 可
以组 织 学生进行 小 组合作学 习 ， 引导 他们 共 同分析和解决计数问题。通过合作学 习 ，学生可以 相互补 充和完
善自己 的思 路 和方法，从而提高解题能力。
针 对 本 章内 容 的学情分析表明，学生在 已 知内 容 、新知内 容 、学 习 能力以及学 习障碍等 方面都存在一定
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的 差异 和 挑战 。为了帮助学生更好地掌握 本 章内 容 ，提高学 习 效 果 ，教 师 需要 制 定有 针 对性的教学 策略 和方
法。通过实例 引导 、 循 序 渐 进、逻辑推理 训练 和合作学 习等策略 的实 施 ，可以有效地突 破 学生的学 习障碍 ，
提高他们的学 习 能力和思维能力。教 师 还需要关注学生的学 习动态 和需 求 ，及时 给予 指 导 和帮助，确 保 他们
能够 顺利 完成 本 章内 容 的学 习任务 。
四、大主题或大概念设计
本 章内 容 的 大主 题可以 设 计为“计数原理与排列组合的应用”，通过这一 大主 题 贯穿整 个单元的教学。
在这一 主 题 下 ，学生可以深入理解并掌握分类加法计数原理、分步乘法计数原理、排列、组合和二项式定理
等核心 概念，并能够运用这些概念解决实际问题。
五、大单元目标叙写
知识与 技 能 ： 掌握分类加法计数原理、分步乘法计数原理、排列、组合和二项式定理 等核心 概念及其计
算方法 ； 能够运用这些知识解决实际问题。
过程与方法 ： 通过实例分析、逻辑推理和数学 证 明 等 方法，培养学生的数学抽象、逻辑推理、数学建 模
和直观 想 象 等 能力 ； 提高学生的代数运算能力。
情 感态度 与价值观 ：激 发学生的学 习兴趣 和 求 知 欲； 培养学生的探 索 精 神 和创新 意 识 ；引导 学生关注数
学与现实生活的联系。
六、大单元教学重点
掌握分类加法计数原理与分步乘法计数原理及其应用。
理解排列与组合的概念、性质及计算方法，并能 灵 活运用。
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掌握二项式定理及其展开式的性质和应用。
七、大单元教学难点
逻辑推理和数学 证 明在计数问题中的应用。
复杂计数问题的分析和解决 策略 。
二项式定理展开式的 灵 活应用。
八、大单元整体教学思路
一、教学内 容 分析
本 单元的教学内 容 为人教版高中数学 A 版选 必 第 3 册教 材 中的《第六章 计数原理》，具 体包括 6.1 分
类加法计数原理与分步乘法计数原理、探 究 与发现 子集 的个数、 6.2 排列与组合、探 究 与发现组合数的两个
性质，以及 6.2 二项式定理。这些内 容 是数学中基础且重要的计数工具，广泛应用于解决实际问题，同时 也
是 后 续学 习 概率统计、算法 设 计、组合数学 等 高 级 数学 课 程的基础。
二、教学 目标
知识与 技 能 ：
理解并掌握分类加法计数原理和分步乘法计数原理，能够 灵 活运用这些原理解决计数问题。
理解排列、组合的概念，掌握排列数、组合数的计算方法及性质。
理解二项式定理，掌握二项式展开式的通项公式，能够运用二项式定理进行化简和 求 值。
过程与方法 ：
通过实例分析，培养学生将实际问题抽象为数学 模型 的能力。
通过合作探 究 ，培养学生分析问题、解决问题的能力，以及逻辑推理和数学抽象能力。
