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华东师大版初中八年级数学上册《第 11 章数的开方》大单
元整体教学设计
一、内容分析与整合
二、《义务教育课程标准（2022 年版）》分解
三、学情分析
四、大主题或大概念设计
五、大单元目标叙写
六、大单元教学重点
七、大单元教学难点
八、大单元整体教学思路
九、学业评价
十、大单元实施思路及教学结构图
十一、大情境、大任务创设
十二、学科实践与跨学科学习设计
十三、大单元作业设计
十四、“教-学-评”一致性课时设计
十五、大单元教学反思
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一、内容分析与整合
（一）教学内容分析
《第 11 章 数的开方》在初中数学课程中占据着举足轻重的地位，它不仅是对之前所学有理数、实数等
基本概念的自然延伸与深化，更是为后续学习二次根式、一元二次方程乃至更高层次的数学知识奠定了坚实
的基础。本章内容丰富多彩，既涵盖了平方根、立方根的基本概念及其性质，又深入探讨了实数的认识与运
算，形成了一个完整而系统的知识体系。
平方根与立方根作为数的开方的两种基本形式，是本章的核心内容。通过学习，学生将首次接触到非整
数解的概念，这对于他们数学思维的拓展是一次重要的飞跃。平方根部分，学生将学会如何求一个非负数的
平方根，理解平方根的双重性（正平方根与负平方根），并掌握平方根的基本性质，如非负性、乘积性质等。
立方根部分，则进一步将这一概念扩展到三维空间，让学生理解立方与开立方互为逆运算的关系，掌握求立
方根的方法及其性质。
实数的认识与运算是本章的另一大重点。在此之前，学生已经学习了有理数，而实数的学习则是对数系
的一次重要扩充，包括了有理数和无理数（如无法精确表示为两个整数之比的数，如 π 、 e 及大部分平方根
值）。通过对实数的学习，学生将更加深刻地理解数轴上的点与实数之间的一一对应关系，掌握实数的大小
比较、加减乘除运算规则，以及实数与数轴上的点、绝对值等概念之间的紧密联系。
本章的教学不仅注重理论知识的传授，更强调实践应用能力的培养。通过丰富的例题和习题练习，学生
将学会如何将开方的概念与性质应用于解决实际问题中，比如计算面积、体积、速度等问题时，经常需要用
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到平方根或立方根的知识。这种“学以致用”的教学理念，旨在培养学生的数学应用意识，提高他们的问题
解决能力。
《第 11 章 数的开方》是初中数学课程中的一个重要转折点，它不仅加深了学生对数的本质的理解，也
为他们后续的数学学习铺平了道路。通过本章的学习，学生不仅能够掌握开方运算的基本技能，更能在实践
中灵活运用这些知识，为成为具有扎实数学基础和良好数学素养的学习者打下坚实的基础。
（二）单元内容分析
本单元的核心内容围绕着平方根、立方根以及实数的深入理解展开，旨在帮助学生构建更为完整和准确
的实数体系认知。具体来说，本单元内容可以细分为以下几个关键部分 ：
1. 平方根的概念与性质
在这一部分，学生将首次系统地学习平方根的概念。平方根是一个重要的数学概念，它表示一个数的平
方运算的逆运算。学生将理解到，一个非负数的平方根有两个值，一个正数和一个负数，而 0 的平方根则是
0 。这一 特 性 使得 学生开 始 意识到， 某 些数的平方根不能 简 单地用一个数来表示，进而 引出 了无理数的概念。
学生 还 将学会如何求一个数的平方根，包括 利 用计算 器 来求 得近似 值，这对于 处 理实际应用中的数值问题 尤
为重要。
2. 立方根的概念与性质
与平方根 类似 ，立方根是立方运算的逆运算。立方根有一个 显著 的不 同 点， 即 无论 被 开方数是正是负，
其立方根 都只 有一个实数解。这 使得 立方根在实际应用中更加 直 接和 明 确。在这一部分，学生将深入理解立
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方根的概念，学会求 任 意实数的立方根，并进一步体会立方根与平方根在计算和性质上的 差异 。
3. 实数的认识
通过平方根的学习，学生将深刻认识到有理数 集 并不能涵盖所有的实数。 特别 地， 像√ 2 这 样 的数，它
不能表示为两个整数的比， 因 此不 属 于有理数 范畴 ，而是无理数。这一 发现极 大地扩展了学生的实数系统认
知，让学生 明白 实数实际上是 由 有理数和无理数 共同组 成的。学生 还 将学习到实数与数轴上的点 存 在一一对
应的关系，这一性质不仅 增 强了学生对实数系统的 直观 理解，也为后续更高 级 的数学概念学习奠定了基础。
4. 阅读材料 与拓展应用
为了加深学生对无理数和实数系统的理解，本单元 还特别设置 了 阅读材料 与拓展应用部分。通过 阅读 数
学 史 上关于无理数 发现 的 故事 ，如 古希腊 数学 家毕达哥拉斯 学 派发现√ 2 不是有理数的传 奇历 程，学生将深
刻 感受 到数学探 索 的 艰辛 与 乐趣 ， 增 强对数学 严谨 性的认识。学生 还 将学习一些 特殊 数的开方算法，如 √ 5
的 近似 计算，以及开方运算在实际问题中的应用 案 例，如 物 理、 工 程等 领域 的数值计算，这些 都 将帮助学生
将理论知识与实际应用 相结合 ，提 升 解决问题的能力。
本单元内容 设 计 全 面、系统，旨在通过平方根、立方根及实数的深入学习，帮助学生构建 起 完整、准确
的实数系统认知，并为后续更高层次的数学学习打下坚实的基础。
（三）单元内容整合
在数学学习的 旅 程中， 每 一个单元 都 是学生知识大 厦 的一 块 重要基 石 。本单元内容的 设 计，正是基于对
学生认知 发 展规 律 的深刻理解，精心构建了一个 逻辑严 密、层层 递 进的知识体系。 特别 是 从 平方根的概念 出
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发 ， 逐 步 引导 学生深入探 索 立方根、实数等核心概念，不仅帮助学生 夯 实了数学基础，更为后续更高层次的
数学学习铺平了道路。
平方根 ： 探 索 数学之 美 的 起 点
平方根作为本单元的 起始 点，其重要性不 言 而 喻 。通过学习平方根，学生不仅能够掌握开方运算的基本
技 巧 ，更重要的是，他们能够 从 中 感受 到数学的 美妙 与和 谐 。平方根的概念 揭 示了数与形之间的深刻联系，
让学生初步 领略 到数学 世界 的 奥秘 。通过一系 列 精心 设 计的例题和练习，学生将 逐渐熟悉 平方根的性质和计
算方法，为后续学习打下坚实的基础。
立方根 ： 深化理解，拓展 视野
在掌握了平方根的基础上，本单元进一步 引 入立方根的概念。与平方根 相 比，立方根的计算和理解 难 度
有所 增 加， 但 这也为学生提 供 了更 广阔 的探 索 空间。通过学习立方根，学生将更深入地理解数学中的 幂 运算
和根运算之间的关系，进一步拓展自 己 的数学 视野 。立方根在实际问题中的应用也 极 为 广泛 ，如体积计算、
密度 换 算等，这些 都 将让学生深刻体会到数学与生活的紧密联系。
实数系统 ： 构建完整的数学 世界
实数系统是数学大 厦 的基 石 之一，而平方根和立方根的学习正是通 往 实数 世界 的 桥梁 。在本单元中，学
生将 逐 步构建 起 完整的实数概念体系，理解有理数、无理数、整数、分数、正数、负数等概念之间的内在联
系。这一过程不仅要求学生具 备 扎实的计算技能，更需要他们具 备严谨 的 逻辑 思维能力和 敏锐 的数学 直觉 。
通过实际 操 作和 反复 练习，学生将 逐渐 掌握实数系统的基本规 律 ，为后续的一元二次方程、不等式等学习奠
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定坚实的基础。
实际应用 ：激发 学习 兴趣 与 动 力
数学不仅仅是 抽象 的 符号 和 公 式，更是解决实际问题的有力 工 具。在本单元中，通过 引 入大 量贴近 生活
的实际问题，学生将深刻体会到数学的应用 价 值。例如，在解决面积、体积计算问题时，学生需要灵活运用
平方根和立方根的知识 ； 在 处 理经 济 数据、 物 理 量测量 时，学生将深刻 感受 到实数系统的重要性。这些实际
应用不仅帮助学生 巩固 了所学知识，更 激发 了他们学习数学的 兴趣 和 动 力。
本单元内容的整 合设 计充分 考虑 了学生的认知 发 展规 律 和实际需求，通过平方根、立方根和实数系统的
学习，学生将 逐 步构建 起 完整的数学知识体系，为后续更高层次的数学学习奠定坚实的基础。通过实际问题
的应用和解决，学生将深刻体会到数学与生活的紧密联系，进一步 激发 他们探 索 数学 世界 的 热情 和 动 力。
二、《义务教育课程标准（ 2022 年版）》分解
根据《 义务 教 育 数学课程 标 准（ 2022 年版 ）》的要求，本单元的教学 目标 可以分解为以下几个方面 ：
知识与技能 ：
理解平方根、立方根的概念及其性质。
掌握求一个数的平方根、立方根的方法，包括 使 用计算 器 求 近似 值。
认识实数系统，理解有理数和无理数的 区别 与联系。
能够 利 用平方根、立方根的概念解决实际问题。
过程与方法 ：
通过 观察 、 操 作、 归纳 等数学活 动 ，探 究 平方根、立方根的性质。
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运用 代 数方法解决与平方根、立方根 相 关的问题，培养数学建 模 能力。
通过 阅读材料 ，了解数学 史 知识， 增 强对数学 文 化的认识。
情感态 度与 价 值 观：
激发 学生学习数学的 兴趣 和 热情 ，培养探 索 精 神 和 创新 意识。
培养学生的 逻辑 思维能力和 严谨 的 科 学 态 度。
通过小 组合 作学习， 增 强学生的 团队协 作能力和 沟 通能力。
三、学情分析
学 情 分 析 是教学 设 计的基 石 ，它 直 接关系到教学 策略 的 选择 和教学 效果 的实 现 。 针 对本单元的学习内容，
我 们将 从 已知内容、 新 知内容、学生学习能力以及学习 障碍突破策略四 个方面进 行 深入分 析 ，以 便 更好地了
解学生的实际 情况 ， 制 定 科 学 合 理的教学方 案 。
（一）已知内容分析
在学习本单元之前， 八年级 学生已经具 备 了一定的数学基础。首 先 ，他们已经掌握了有理数的基本概念
和运算规则，包括有理数的加减乘除以及 混合 运算。这些知识和技能不仅为学生解决了 日 常生活中 遇 到的数
学问题提 供 了可能，也为他们进一步学习更高 级 的数学概念打下了坚实的基础。
学生在之前的学习中已经掌握了整式的加减乘除等基本 代 数技能。整式的运算是 代 数学的核心内容之一，
它不仅 涉 及到了数的运算， 还 涵盖了 符号 的运算和式 子 的 变 形。通过整式的运算，学生能够更加灵活地 处 理
数学问题，理解数学中的 结 构化和 抽象 化思维。
学生 还 具 备 一定的几何 直观 和空间 想象 能力。几何 直观 是 指 通过 图 形和 图像 来 感 知和理解数学概念和规
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律 的能力，它是数学学习中不可或 缺 的一部分。通过几何 直观 ，学生可以将 抽象 的数学概念转化为具体的 图
形表示， 从 而更好地理解和解决问题。空间 想象 能力则是 指 学生在 脑海 中构建和 操 作空间 图 形的能力，它有
助于学生 把 握空间 结 构和关系，理解空间中的几何性质和 变 化规 律 。
这些已知内容的掌握，为学生学习本单元的 新 知内容提 供 了有力的 支持 。例如，在学习平方根和立方根
时，学生可以 利 用几何 直观 来理解其概念和性质。通过构建正方形和立方体等几何 图 形，学生可以 直观 地 看
到面积和体积与 边长 之间的关系， 从 而理解平方根和立方根的意 义 和求法。
（二）新知内容分析
本单元的 新 知内容 主 要包括平方根、立方根的概念及其性质，以及实数系统的认识。这些内容对于 八年
级 学生来说既是一个 新 的 挑战 ，也是一个成 长 的 机 会。
平方根和立方根作为 新 的运算 类型 ，对于学生来说具有一定的 抽象 性和 难 度。平方根是 指 一个非负数的
平方根是两个数，它们的乘积等于 给 定的数。例如， 4 的平方根是 ±2 ， 因 为 2 的平方和 (-2) 的平方 都 等于
4 。立方根则是 指 一个数的立方根是一个数，它的三次方等于 给 定的数。例如， 8 的立方根是 2 ， 因 为 2 的
三次方等于 8 。学生需要理解这些概念的本质和求法，并能够 熟 练地进 行相 关运算。
实数系统的扩展将 使 学生认识到数学 世界 的 广阔 和深 邃 。在有理数的基础上，实数系统 还 包括了无理数，
如 π 和 √ 2 等。无理数是不能表示为两个整数的比的数，它们在数轴上表 现 为无 限 不 循环 小数。实数系统的
引 入不仅丰富了数的种 类 ，也为学生解决更 复杂 的数学问题提 供 了可能。
在学习平方根和立方根的过程中，学生 还 需要掌握其性质和运算规 律 。例如，正数的平方根有两个， 且
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互为 相反 数 ；零 的平方根是 零； 负数的平方根在实数 范 围内不 存 在（ 但 在 复 数 范 围内 存 在）。立方根则 没 有
这 样 的 限制 ， 任 何实数 都 有一个 唯 一的立方根。此 外 ，学生 还 需要了解平方根和立方根与 幂 运算之间的关系，
如 a^2 = (√a)^2 （ a≥0 ）和 a^(1/3) = ³√a 等。
学生 还 需要理解实数系统在数轴上的表示和应用。数轴是表示实数的一种 直观工 具，它帮助学生将 抽象
的数学概念与具体的 图 形表示 相结合 。通过数轴，学生可以 清晰 地 看 到实数之间的大小关系和位 置 关系， 从
而更好地理解和应用实数系统的知识。
（三）学生学习能力分析
八年级 学生正 处 于 从 形 象 思维 向抽象 思维过 渡 的关键 期 ，他们具 备 了一定的 逻辑 思维能力和问题解决能
力。然而，在面对 新 的数学概念和方法时，他们 仍 然需要教 师 的 引导 和帮助。
学生在 逻辑 思维方面已经有了一定的基础。他们能够通过 观察 、分 析 、比较和 推 理等方法解决一些 简 单
的数学问题。然而，在 处 理更加 复杂 和 抽象 的问题时，他们可能会 感 到 困难 重重。 因 此，在教学过程中，教
师 需要注重培养学生的 逻辑 思维能力， 引导 他们学会 从 具体到 抽象 、 从特殊 到一 般 的思 考 方式。
学生在问题解决能力方面也有了一定的提高。他们能够运用已学的知识和技能解决一些实际生活中的数
学问题。然而，在面对 新 的数学问题时，他们可能会 感 到无 从 下 手 或者思路不 清 。这时，教 师 需要 给予 学生
足够的 指导 和 支持 ，帮助他们理 清 思路、 找 到解决问题的方法。
学生的个体 差异 也是教学中需要关注的重要方面。不 同 学生的数学基础、学习习 惯 、 兴趣爱 好等方面 都
存 在 差异 。 因 此，在教学过程中，教 师 需要 因材施 教、注重个性化教学。对于基础较好的学生，可以 给予 他
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们更多的 挑战 和拓展 机 会 ； 对于基础 薄 弱 的学生，则需要 给予 更多的关注和 辅 导 。教 师还 需要 鼓励 学生之间
的 相 互学习和 交流 ， 促 进 班 级 内部的良性 竞争 和 合 作 氛 围的形成。
（四）学习障碍突破策略
为了帮助学生更好地掌握本单元的 新 知内容并 克服 学习 障碍 ， 我 们将 采取 以下 策略：
直观 教学 ：利 用几何 直观 帮助学生理解平方根、立方根的概念和性质。在教学过程中，教 师 可以 借 助几
何 图 形、实 物模型 等 直观 教具来展示平方根和立方根的概念和求法。例如，可以通过构建正方形和立方体等
几何 图 形来 直观 展示面积和体积与 边长 之间的关系 ； 可以通过实际 测量 和计算来 验证 平方根和立方根的求法。
这种 直观 教学的方式有助于 降低 学生的理解 难 度、提高他们的学习 兴趣 和积 极 性。
循 序 渐 进 ： 按照 从 易 到 难 、 从 具体到 抽象 的 原 则 安排 教学内容。在教学过程中，教 师 应 该 先 让学生掌握
正数的平方根和立方根的求法， 再 逐 步过 渡 到负数和 零 的 情况 。在 引 入无理数和实数系统时也应 该 注意 逐 步
深入、 循 序 渐 进。通过这种方式可以让学生 逐 步 适 应 新 的数学概念和方法， 避免 因 为 难 度过大而 产 生 畏 难情
绪 或者 挫败 感 。
合 作学习 ： 通过小 组合 作学习的方式 促 进学生之间的 交流 与 合 作。在教学过程中，教 师 可以 布 置 一些需
要 团队协 作完成的 任务 或者问题让学生进 行 讨论和解 答 。这种方式不仅可以提高学生的 参 与度和积 极 性， 还
可以 促 进他们之间的 交流 和 合 作能力的培养。在 合 作学习中，学生可以 相 互学习、 相 互 启 发 、 相 互帮助 共同
解决问题 ；同 时也可以通过讨论和 交流 来 发现 自 己 的不足和需要 改 进的地方。
个 别 辅 导：针 对部分基础 薄 弱 或学习能力较 差 的学生 给予 更多的关注和 辅 导 。在教学过程中，教 师 应 该
