《工科数学（ 1 ）》综合练习题（一）
一、填空题（每小题 3 分，共 18 分 ）
1 ．
x
x
x
1
0
3 )
lim 1(
___________ ．
2 ．函数
2
1
1
x
x
y
的连续区间为 ________________________________ ．
3 ．曲线
x
x
y
ln
在点（ 1 ， 0 ）处的切线斜率为 _______________ ．
4 ．函数
3
3
1 x
x
y
单调递增区间为 __________________ ，单调递减区间为 _____________ ．
5 ．曲线
xe x
y
2
的拐点是 ________________ ．
6 ．
dx
x
2
1
0
4 )1
（ 2
___________ ．
二、单项 选择题 （ 每小题 3 分，共 18 分 ）
1 ．下列各组函数中表示不同函数的为（ ）
A ．
x
y
1 3ln
与
3
2
y ln x
B ．
3
3
1
x
y
与
y x
2
C ．
x
y
2
1
cos
与
2
2
y cos x
D ．
|
1 |
y x
与
2
2
x
y
2 ．下列极限存在的是（ ）
A ．
x
x
x
2
0
lim
B ．
x
x
2
lim
C ．
1
1
lim
1
x x
D ．
x
x
sin 1
lim
0
3 ．下列等式中正确的是（ ）
Ａ．
2
1
(1)
x
x
Ｂ．
x
x
2
(2 )
Ｃ．
x
x
e
e
)
(
Ｄ．
x
x
sin
(cos )
4 ．下列函数在其定义区间内是单调递增函数的是（ ）
A ．
x
y
1
B ．
5 x
y
C ．
4 x
y
D ．
x
y
sin
5 ．下列广义积分收敛的是（ ）
A ．
e x dx
0
B ．
e x dx
0
C ．
x dx
1
1
D ．
xdx
0 cos
6 ．下列微分方程为变量可分离微分方程的是（ ）
A ．
t
yt
dt
dy
B ．
x
ye
dx
dy
xy sin
C ．
2 t
yt
dt
dy
D ．
2
2
x
y
dx
dy
三、计算题（每题 8 分，共 40 分 ）
1 ．计算极限
x
x
x
x
x
2
6
lim
2
2
2
． 2 ．已知
e x
x
y
3 2) 2
（
，求 dy ．
3 ．设
1
2
2
sin
x
x
y
，求 y . 4 ．计算不定积分
dx
x
x
2
ln
．
5 ．计算定积分
1
0
1
3
dx
x
．
四、应用题（第 1 、 2 题各 7 分，第 2 题 10 分，共计 24 分 ）
1 ．求由曲线
3 x
y
与直线
0
,1
x
y
所围成的平面图形的面积．
2 ．求由曲线
3 x
y
与直线
x 1
和 x 轴所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所成几何体的体积．
3 ．用长为 6m 的铝合金材料加工一个“日”字形的窗框，问该窗框的长和宽分别为多少时，才
能使窗户面积最大？最大面积是多少？
1
《工科数学（ 1 ）》综合练习题参考答案
练习题（一）
一、填空题（每小题 3 分，共 18 分）
1 、
3 e 2 、（－ 2 ， 1 ），
)
,1( 3 、
k 1
4 、（ -1 ， 1 ），
)1
,
(
和
)
,1( 5 、
)
1
2
， e
（
6 、 10
1
二、单项选择题（每小题 3 分，共 18 分）
C A A B A A
三、 计算题（每题 8 分，共 40 分）
1 、原式
x
x
x
x
x
2)
(
2)
3)(
(
lim
2
x
x
x
3
lim
2
2
5
2
3
2
2 、
x
x
x
e
x
e
x
e
x
y
2
2
2
)1
(6
)
(3 - 2 (
2)
(3
）
e dx
x
dy
)1 2 x
(6
3 、
2 )1
2
(
)1
sin 2 (2
)1
2 ) (2
(sin
x
x
x
x
x
y
2 )1
2
(
2
sin 2
)1
(2
cos2
2
x
x
x
x
2 )1
2
(
2sin 2
)1 cos2
(2
2
x
x
x
x
4 、
dx
x
x
2
ln
c
x
x
d
x
2 2 )
2 (ln
1
2)
2) (ln
(ln
5 、
9
14
1
9
2
4
9
2
]
)1
3 [(3
2
3
1
)1
(3
)1
3
3
1
1
3
2
3
1
0
2
3
1
0
2
1
1
0
x
x
d
x
dx
x
（
四、应用题（第 1 、 2 题各 7 分，第 2 题 10 分，共计 24 分）
1 、所求面积为 S=
1
0
3 )
1(
dx
x
4
3
]
4
1
[
1
0
4
x
x
（或 S=
4
3
]
4
3
[
1
0
3
4
1
0
3
1
y
y dy
4
3
]
4
1
[
1
0
4
x
x
）
2 、所求旋转体的体积为
7
|
7
)
(
1
0
7
1
0
3 2
x
dx
x
V x
3 、设窗框的长、宽分别为
x （ m ）
和
y （ m ）
，则由题意得
6
2
3
y
x
，所以
x
y
2
3 3
。
窗户的面积为
0 ）
(
2
3
3
2 )
3
(3
2
x
x
x
x
x
S
令
0
3 3
x
S
，得
x 1
是唯一驻点。
由问题的实际意义可知，面积 S 的最大值必存在，因而
x 1
即为函数 S 的最大值点。所以当
窗框的长为 1m, 宽为
2
3
2
3
3
x
y
m 时，窗户的面积最大．
