国家开放大学2023秋《微积分基础-内蒙古》大作业参考答案

2023年12月2922:22:59发布者:江开学习小虫 73 views 举报
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微积分基础大作业

作业要求:从方案一和方案二中任意选择一项方案完成,提交作业方式有以下三种,请务必与辅导教师沟通后选择:

1. 将此次作业用 A4 纸打印出来,手工书写答题,字迹工整,解答题要有解答过程,完成作业后交给辅导教师批阅.

2. 在线提交 word 文档.

3. 自备答题纸张,将答题过程手工书写,并拍照上传.

方案一

完成下列题目,要求写出解题过程,满分 100 分

1. 欲做一个底为正方形,容积为 108 立方米的长方体开口容器,怎样做法用料最省?(12 分)

解:

设“容积为 108 立方米的长方体开口容器的底面正方形”的边长为 a 米,容积为 108 立方米的长方体开口容器的高为 b

米,那么:a^2×b=108, 原材料是一个正方形,这个正方形的边长是(a+2b)米, 应使原材料这个正方形的面积(a+2b)^2 最

小。而当(a+2b)最小时,(a+2b)^2 就最小,所以我们使 s=(a+2b)最小.s=a/2+a/2+2b≥(a/2×a/2×2b)的立方根的 3 倍=

(a^2×b)÷2 的立方根的 3 倍=108÷2 的立方根的 3 倍=54 的立方根的 3 倍=2 的立方根的 9 倍,所以,s=(a+2b)的最小值是

“2 的立方根的 9 倍“,仅当 a/2=2b 即 a=4b,16b^3=108, 4b^3=27, b=2 的立方根的 3/2 倍, a=2 的立方根的 6 倍。

2.欲用围墙围成面积为 216 平方米的一块矩形的土地,并在正中用一堵墙将其隔成两块,问这块土地的长和宽选取多大尺寸,

才能使所用建筑材料最省?(12 分)

解:

216=1×2×2×2×3×3×3.

长和宽越接近,相等的面积,周长越小.

所以,长为 3×3×2=18(米)

姓 名:

学 号:

得 分:

教师签名:

1

宽为 2×2×3=12(米)

答:长和宽分别选取 18 米和 12 米.

3.用钢板焊接一个容积为 4 立方米的底为正方形的无盖水箱,已知钢板每平方米 10 元,焊接费 40 元,问水箱的尺寸如何选

择,可使总费最低?最低总费是多少?(12 分)

解:

设正方形的边为 χ ,高为 h ,则 χ²h =4

国家开放大学2023秋《微积分基础-内蒙古》大作业参考答案

4.某制罐厂要生产一种体积为 V 的有盖圆柱形容器,问容器的底半径与高各为多少时可使用料最省?(12 分)

解:

2

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