微积分基础大作业

作业要求：从方案一和方案二中任意选择一项方案完成，提交作业方式有以下三种，请务必与辅导教师沟通后选择：

1. 将此次作业用 A4 纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，完成作业后交给辅导教师批阅．

2. 在线提交 word 文档．

3. 自备答题纸张，将答题过程手工书写，并拍照上传．

方案一

完成下列题目，要求写出解题过程，满分 100 分

1. 欲做一个底为正方形，容积为 108 立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？（12 分）

解：

设“容积为 108 立方米的长方体开口容器的底面正方形”的边长为 a 米，容积为 108 立方米的长方体开口容器的高为 b

米，那么：a^2×b=108， 原材料是一个正方形，这个正方形的边长是(a+2b)米, 应使原材料这个正方形的面积(a+2b)^2 最

小。而当(a+2b)最小时，(a+2b)^2 就最小，所以我们使 s=(a+2b)最小.s=a/2+a/2+2b≥（a/2×a/2×2b）的立方根的 3 倍=

（a^2×b)÷2 的立方根的 3 倍=108÷2 的立方根的 3 倍=54 的立方根的 3 倍=2 的立方根的 9 倍，所以，s=(a+2b)的最小值是

“2 的立方根的 9 倍“，仅当 a/2=2b 即 a=4b，16b^3=108, 4b^3=27, b=2 的立方根的 3/2 倍， a=2 的立方根的 6 倍。

2.欲用围墙围成面积为 216 平方米的一块矩形的土地，并在正中用一堵墙将其隔成两块，问这块土地的长和宽选取多大尺寸，

才能使所用建筑材料最省？（12 分）

解：

216=1×2×2×2×3×3×3.

长和宽越接近，相等的面积，周长越小 .

所以，长为 3×3×2=18 （米）

姓 名：

学 号：

得 分：

教师签名：

1

宽为 2×2×3=12 （米）

答：长和宽分别选取 18 米和 12 米 .

3.用钢板焊接一个容积为 4 立方米的底为正方形的无盖水箱，已知钢板每平方米 10 元，焊接费 40 元，问水箱的尺寸如何选

择，可使总费最低？最低总费是多少？（12 分）

解：

设正方形的边为 χ ，高为 h ，则 χ²h =4

4.某制罐厂要生产一种体积为 V 的有盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时可使用料最省？（12 分）

解：

2